интеграл »
найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 2
Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Пример 1
2x-3y+6=0 y=0 ; x=3
Пример 2
y=-x^2+6x-5 y=0 ; x=2 ; x=3
Решение: 1. 2x-3y+6=0
3y = 2x+6
y = 2/3x+2
Точка пересечения графиков (приравниваем функции).
2/3x+2 = 0
2/3x = -2
x = -3
M(-3; 0)
Фигура сверху ограничена прямой y = 2/3x+2, снизу прямой y=0, слева точкой x=-3, справа прямой x=3.
$$ \int_{-3}^3(\frac23x+2-0)dx=\int_{-3}^3(\frac23x+2)dx=\left.(\frac13x^2+2x)\right|_{-3}^3=\\=\frac13(3)^2+2\cdot3-\frac13(-3)^2-2(-3)=\frac93+6-\frac93+6=12 $$
2. Сверху фигура ограничена параболой y=-x^2+6x-5, снизу прямой y=0, слева и справа прямыми x=2 и x=3 соответственно.
$$ \int_2^3(-x^2+6x-5-0)dx=\int_2^3(-x^2+6x-5)dx=\\=\left.(-\frac13x^3+3x^2-5x)\right|_2^3=-\frac{(3)^3}3+3(3)^2-5\cdot3+\frac{(2)^3}3-3(2)^2+5\cdot2=\\=-9+27-15+\frac83-12+10=1+\frac83=1+2\frac23=3\frac23 $$
Решается просто: сначала нарисуйте заданные линии (можно схематически), затем определите левую и правую границы (они либо заданы, как в примере 2, либо находятся, как точки пересечения графиков). Эти границы будут пределами интегрирования. Под знаком интеграла вычитаем из "верхней" (график которой выше) функции "нижнюю" (график которой ниже).Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=4x-x^2; e=4-x; б) y=x^2, y=2x; в) y=x^2-4x+4, y=4-x^2; г) y=x^2 -2x+2, y=2+6x-x^2;
Решение: 1) пределы интегрирования:
$$ 4x-x^{2}=4-x \\ 4x-x^{2}-4+x=0 \\ x^{2}-5x+4=0, D=25-16=9>0 \\ x_{1}= \frac{5-3}{2}=1 \\ x_{2}= \frac{5+3}{2}=4 \\ S= \int\limits^4_1 {(4x-x^{2}-4+x)} \\, dx= \int\limits^4_1 {(5x-x^{2}-4)} \\, dx= \frac{5x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-4x=\frac{5*4^{2}}{2}-\frac{4^{3}}{3}-4*4-(\frac{5}{2}-\frac{1}{3}-4)=\\=40-\frac{64}{3}-16-\frac{5}{2}+\frac{1}{3}+4=28-\frac{63}{3}-\frac{5}{2}=\\=28-\frac{63*2+15}{6}=28-23.5=4.5 $$
2) $$ x^{2}=2x \\ x*(x-2)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=2 \\ S= \int\limits^2_0 {(2x-x^{2})} \, dx=\\= x^{2}-\frac{x^{3}}{3}=2^{2}-\frac{2^{3}}{3}=\frac{12-8}{3}=\\=\frac{4}{3} $$
3) $$ x^{2}-4x+4=4-x^{2} \\ 2x^{2}-4x=0 \\ 2x*(x-2)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=2 \\ S= \int\limits^2_0 {(4-x^{2}-x^{2}+4x-4)} \, dx=\int\limits^2_0 {(-2x^{2}+4x)} \, dx= -\frac{2x^{3}}{3}+2x^{2}=\\=-\frac{2*2^{3}}{3}+2*2^{2}=8-\frac{16}{3}=\\=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3} $$
4) $$ x^{2}-2x+2=2+6x-x^{2} \\ 2x^{2}-8x=0 \\ 2x*(x-4)=0 \\ x_{1}=0, x_{2}=4 \\ S= \int\limits^4_0 {(2+6x-x^{2}-x^{2}+2x-2)} \\, dx=\int\limits^4_0 {(8x-2x^{2})} \\, dx=4x^{2}- \frac{2x^{3}}{3}=4*4^{2}-\frac{2*4^{3}}{3}=\\=64-\frac{64*2}{3}=\frac{64*3-64*2}{3}=\frac{64*(3-2)}{3}=\frac{64}{3} $$
Желтым закрашена искомая площадь
найти площадь фигуры ограниченной функциями у=х^2,y=2x. через интеграл нужно решить
Решение: Построим график. Будет видно, что площадь надо искать на промежутке [0;2]. В данном случаеf(x) = 2x
g(x) = x^2
Площадь данной фигуры находим по формуле
S = $$ \int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx $$
Теперь подставляем и находим
S = $$ \int\limits^2_0 {(2x - x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} = 2^2 - \frac{2^3}{3} = 4 - \frac{8}{3} = 1\frac{1}{3} $$ ед^2
Запишите интеграл, с помощью которого можно найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой АВ гиперболы у=6/(х-1)-1, если А(0,5), В(5,0)
Решение: Рассмотрим точку В(5;0). При х=5 у=6/(5-1)-1=1,5-1=0,5. То есть криволинейная трапеция ограничена линиями х=0, y=5 (точка А), у=0,5 (точка В) и y=6/(x-1)-1.
Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОY необходимо перейти к обратной функции, грубо говоря нужно выразить "икс" через "игрек":
y=6/(x-1)-1=(6-(x-1))/(x-1)=(7-x)/(x-1)
y(x-1)=7-x
yx-y-7+x=0
x(y+1)=7+y
x=(7+y)/(y+1)=6/(y+1)+1
Теперь подставляем в формулу объема для тела полученного вращением
$$ V= \pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx $$
В данном случае
$$ V= \pi \int\limits^5_ \frac{1}{2} {( \frac{6}{y+1)}+1)^2 } \, dx $$
Задание найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^3 y=0 x= -3 x=1 площадь нужно найти через интеграл
Решение: Здесь разбивается на 2 интеграла
И сумма будет положительный
Нижний интеграл брать с минусом не надо, его просто складывают с верхним
См. рисунокS =S₁+S₂= интеграл (0 - x³)dx + интеграл (x³ -0)dx =
a₁ = - 3, b₁ =0 a₂ = 0, b2 =1
-(x^4)/4 | a₁ = - 3, b₁ =0 +(x^4)/4 | a₂ = 0, b2 =1 = -((0^4)/4 -((-3)^4)/4) +(1^4)/4 -(0^4)/4 =
=81/4 +1/4 =82/4 =20,5.
* * * интеграл f(x)dx =F(x) | a ->b =F(b) - F(a) * * *
a ->b