найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 3
Площадь фигуры ограниченной линиями и интегралы
1) y=x^2, y=0, x=2, x=3
2) y=4-x^2. y=2+x
3) y=4/x. y=5-x
Решение: 1) ∫x²dx = x³/3 | в пределах от 2 до 3 = 3³/3 - 2³/3 =27/3 - 8/3 = 19/3
2) сначала надо найти пределы интегрирования. Для этого решим:
4 - х² = 2 + х
х² + х -2 = 0
По т. Виета х1 = -2 и х2 = 1. На чертеже парабола ветвями вниз и прямая, проходящая через общие с параболой точки (- 2; 0) и (1;3)
Фигура состоит из треугольника, образованного прямой у = 2 +х и криволинейного треугольника Образованного параболой и осью х
S фиг = S Δ + ∫ (4-x²) dx в пределах от 1 до 2 =
= 1/2*3*3 + (4х - х³/3) в пределах от 1 до 2=
= 4,5 + (4*2 -2³/3 - 4*1 + 1/3) = 4,5 +12 - 7/3 = 16,5 -2 1/3= 14 1/6
Площадь фигуры D, ограниченной линиями и, определяется интегралом …
Решение: Сначала определяются пределы интегрирования.
Для этого находим точки пересечения графиков заданных функций:
x²-2x+2 = -x² + 6
2x² - 2x -4 = 0 сократим на 2:
х² - х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;
x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Так как графики заданных функций - это параболы, у одной из которых ветви вниз ( это вторая - коэффициент перед х² отрицателен), то заданная площадь определяется вычитанием из верхней нижней:
$$ \int\limits^2_{-1}( {-x^2+6-x^2+2x-2}) \, dx = \int\limits^2_{-1} {(-2x^2+2x+4)} \, dx $$
Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-1, y=3
Решение: Площадь = интеграл от разности "верхней" и "нижней" функции.Верхней здесь является у=3, нижней: y=x^2-1. Пределы интегрирования = точки пересечения графиков (в порядке возрастания расположены), а именно x^2-1=3, x=2 и х=-2. Т. е. пределы интегрирования: от -2 до +2.
интеграл (3 - x^2 + 1) dx = 3x - x^3 /3 + x = 4x - x^3 /3 = x*(4 - x^2 /3)
Подставляем вначале верхнее значение (+2), затем отнимаем значение при нижнем (-2):
2*(4-4/3)=2*(8/3) = 16/3
-2*(4-4/3) = -16/3
16/3 + 16/3 = 32/3 - это и есть площадь фигуры.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями(при помощи определённого интеграла)
y=x^2-6, y=-x^2+5*x-6
Решение: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y₁=x+2, y₂=2x - (x^2/2) + 6или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2
для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части
-0,5х² + 2x + 6 = x + 2
-0,5х² + x + 4 = 0
или
-х² + 2х + 8 = 0
D = 4 + 32 = 36
√D = 6
x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2
x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4
Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.
Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой
найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6
m = -2:(-1) = 2; n = -2+ 4 + 6 = 8
в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8
в точке x₁ = -2 и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.
Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.
Находим интеграл
∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =
= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =
= -х³/6 + х²/2 + 4x
Подставим пределы и вычислим площадь
S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =
= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14
Ответ: S = 14
Найдите площади фигур, ограниченных линиями. y= -x^2 +2x+3, y=0
Решение: Y = - x² +2x +3 ; y = 0.
y = 4 - (x - 1)² *** = (2 - x +1 )(2+x -1) = -(x+1)(x-3) ***
y =4 при x=1
График этой функции парабола вершина которой в точке x = 1 ; y = 4 : G(1 ;4).
Ветви направлены вниз. Определим точки пересечения с осью y и x
с осью y : x = 0 ⇒y = - 0² +2*0 +3 =3 =3 т. е. точка A(0 ;3)
с осью x : y = 0 ⇒ 0 = - x² +2x +3
x² -2x -3 = 0 ;
x₁= -1;
x₂ = 3.
S = интеграл ((a) => (b)) (ydx) = интеграл ((a) => (b)) ( - x² +2x +3 )dx) ;
границы интегрирования a = x₁= -1 ; b=x₂ = 3.
S = интеграл ((-1) => (3)) ( - x² +2x +3 )dx) =( -x³/3 +x² +3x) | (-1) =>(3) =
=( -3³/3 +3² +3*3 ) - ( - ( -1)³/3 +( -1)² +3 (-1)) = 9 -(-5/3) =32/3.
-
* * * * *F(b) -F(a) формула Ньютон - Лейбница * * * * *
ответ : 32 / 3.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
у=1/х2
у=1
х=-3
х=-2
Решение: Делаем рисунок(во вложении).
Находим пределы интегрирования по х и у(для перехода к повторному).
Как видно х изменяется от -3 до -2.
Для у проводим стрелку снизу вверх и смотрим через что она входит в фигуру и выходит. Входит через y=1/x², выходит через y=1.
Нашли пределы, осталось вычислить интеграл:
$$ \iint\limits_{D}dxdy=\int\limits_{-3}^{-2}dx\int\limits_{\frac{1}{x^2}}^{1}dy=\int\limits_{-3}^{-2}(y|^1_{\frac{1}{x^2}})dx=\int\limits_{-3}^{-2}(1-\frac{1}{x^2})dx=\\=(x+\frac{1}{x})|^{-2}_{-3}=(-2-\frac{1}{2})-(-3-\frac{1}{3})=-\frac{5}{2}+\frac{10}{3}=\frac{-15+20}{6}=\frac{5}{6} $$
Не нужно никаких двойных интегралов.$$ S= \int\limits^{-2}_{-3} {(1- \frac{1}{x^2} )} \, dx =(x+ \frac{1}{x} )|^{-2}_{-3}=(-2+ \frac{1}{-2} )-(-3+ \frac{1}{-3} )=1- \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$
1) Найдите общий вид первообразных для функции:
\( f(x)=\frac{1}{3sin^{2}x} +\frac{1}{x^{3}} \)
\( f(x)=1+cos\frac{x}{4} \)
2) Вычислите интегралы
\( \int\limits^1_0 {\frac{dx}{(2x+1)^3}} \, \)
\( \int\limits^\frac{\pi}{8}_0 {(1-2sin^2 2x)} \, dx \)
3) Найдите площадь фигуры ограниченной линиями,
\( y=-x^2-4 \), \( y=x+4 \)
4) Вычислите:
\( \sqrt[3]{-2\sqrt{2}}+ \sqrt[6]{2}*\sqrt[3]{2} \)
\( \sqrt[4]{7+4\sqrt{3}} *\sqrt{2-\sqrt{3}} \)
5) Решите уравнение:
\( \sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x} \)
Решение: 1) $$ f(x)=\frac{1}{3sin^{2}x} +\frac{1}{x^{3}}\\ F(x)=\frac{-ctg x}{3} -\frac{1}{2x^{2}}+c; $$c є R
$$ f(x)=1+cos \frac{x}{4};\\ F(x)=x+4sin \frac{x}{4}+c; $$
2)
$$ \int\limits^\frac{\pi}{8}_0 {(1-2sin^2 2x)} \, dx =\\ \int\limits^\frac{\pi}{8}_0 {cos (4x)} \, dx= \frac{1}{4}sin(4x)| \int\limits^\frac{\pi}{8}_0=\\ \frac{1}{4}(sin (4*\frac{\pi}{8})-sin(4*0))=\\ 0.25*(1-0)=0.25 $$
3) Ищем точки пересечения
$$ -x^2-4=x+4;\\-x^2-4-x-4=0;\\ x^2+x+8=0;\\D=1-4*1*8<0 $$
точек пересечения нет, фигура неограничена, найти площадь не представляется возможным
4) $$ \sqrt[3] {-2\sqrt{2}}+\sqrt[6] {2}\sqrt [3]{2}=\\ \sqrt[3] {(-\sqrt{2})^3}+\sqrt[6] {2}\sqrt [6]{2^2}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt[6] {2*2^2}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt[6] {2^3}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt {2}=0 $$
5) $$ \sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x};\\ x^2+x-3 \geq 0; 1-2x \geq 0;\\ x^2+x-3=1-2x;\\ x^2+3x-4=0;\\ (x+4)(x-1)=0; \\ x_1=-4;\\ x_2=1; $$
1-2*1<0 - корень 1 не подходит
-4 удовлетворяет
ответ: -4
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 -3x+2 и y=3x-1
Решение: $$ x^2-3x+2=3x-1, \\ x^2-6x+3=0, \\ D_1=6, x=3\pm\sqrt{6}, \\ S= \int\limits^{3+\sqrt{6}}_{3-\sqrt{6}} {3x-1-(x^2-3x+2)} \, dx = \int\limits^{3+\sqrt{6}}_{3-\sqrt{6}} {-x^2+6x-3} \, dx = \\ = (-\frac{1}{3}x^3+3x^2-3x)|^{3+\sqrt{6}}_{3-\sqrt{6}} = -\frac{1}{3}(3+\sqrt{6})^3+3(3+\sqrt{6})^2-3(3+\sqrt{6}) + \\ +\frac{1}{3}(3-\sqrt{6})^3-3(3-\sqrt{6})^2+3(3-\sqrt{6}) = \\ \frac{1}{3}(3-\sqrt{6}-(3+\sqrt{6}))((3-\sqrt{6})^2+(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})+(3+\sqrt{6})^2) + \\ + 3(3+\sqrt{6}-(3-\sqrt{6}))(3+\sqrt{6}+(3-\sqrt{6}))+3(3-\sqrt{6}-(3+\sqrt{6})) = \\ = -\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{6}\cdot(9-6\sqrt{6}+6+9-6+9+6\sqrt{6}+6) + \\ + 3\cdot2\sqrt{6}\cdot6-3\cdot2\sqrt{6} = -\frac{2}{3}\sqrt{6}\cdot33 + 36\sqrt{6}-6\sqrt{6} = -22\sqrt{6}+ 30\sqrt{6} = \\ = 8\sqrt{6} $$
Вычислить площадь плоских фигур с помощью интеграла:
f(x)=4-x^2
y=0
y=x+2
Решение: Заданная фигура состоит из двух частей - из треугольника и криволинейной трапеции.
Находим граничные точки.
Крайняя левая точка - пересечение прямой х + 2 с осью ОХ. При этом у = 0, поэтому х + 2 =0 х = -2.
Следующая точка - пресечение прямой х + 2 с параболой 4 - х²:
Приравниваем х + 2 = 4 - х².
х² + х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;
x₂=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.
Теперь находим последнюю точку - пересечение параболы с осью ОХ: 4 - х² = 0 х² = 4 х = +-2. Нужна правая точка х = +2,
Площадь левой части (треугольника) S = (1/2)*3*3 = 4.5.
Правая часть: $$ S= \int\limits^2_1 {(4-x^2)} \, dx =4x- \frac{x^3}{3}| _{1} ^{2} =4*2- \frac{2^3}{3} -4*1+ \frac{1^3}{3} = $$
4 - 7/3 = 1 2/3 = 1.6667.
Общая площадь равна 4,5 + 1,66667 = 6,1667 кв. ед.
Вычислить площадь плоских фигур с помощью определённого ингеграла.
y=1/x; y=1; x=3; y=0
Решение: Дано:
y=1/x
y=1
x=3
y=0.
Найти: Sфиг
Решение
Рисунок смотри в вложении.
$$ \int\limits^3_1 {1- \frac{1}{x} } \, dx = \int\limits^3_1 {x} \, dx - \int\limits^3_1 { \frac{1}{x} } \, dx= $$
| 3
=(x-ln|x|)| =2- ln|3|≈0,9 кв. ед
|1
Ответ: ≈0,9 кв. ед
