найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 3
1. Найдите производную функции:
а) f(x)=1/2x^4-x^3+5 б) f(x)=1-2x/2x+1 в) f(x)=x^2*cosx
2. Найдите производную сложной функции:
а) f(x)=(3x+4)^5 б) f(x)=sin(5x^2+2)
3. напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)=x^3-3x^2 в точке с абциссой a=-1
4. Найдите интеграл:
a) ∫(3x^2+4x-5)dx б) ∫sin(8x-12)dx в) ∫_1^3 (4x-2)dx
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2, осью Ox
Решение: A. f (x) = 1*4/2 *x³-3x² = 2x³-3x²
б. если функция это (1-2x) / (2x+1) f (x) = (1-2x) *(2x+1)- (2x+1)(1-2x) / (2x+1)² = (2(2x+1) - 2(1-2x)) / (2x+1)² = 4x+2-2+4x / (2x+1)² = 4x/ (2x+1)²
с. f (x) = 2x*cos(x) + x² *(-sin(x)) = 2x*cos(x) - x²*sin (x)
2.a. 5(3x+4)⁴ *(3x+4) = 5*(3x+4)⁴* 3 = 15 (3x+4)⁴
cos (5x²+2) * (5x²+2) = 10 x cos (5x²+2)
3.y(x) =f(x₀) - f (x₀)*(x-x₀) f (x) = 3x²-6x f (-1) = 3*1 - 6*(-1) = 9 f (-1) = -1-3 = -4
y(x) = -4 - 9(x+1) = 5-9xВычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-1/2x+1,y=3/2x+3, x=-1,x=1
Решение: График y = 3/2x+3 можем не использовать. Он всё равно не влияет на площадь данной фигуры на промежутке [-1;1]. ЗначитS = $$ \int\limits^1_{-1} {(-\frac{x}{2}+1)} \, dx = -\frac{x^3}{6} + x|_{-1}^1 = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + 1 = 2 $$ ед^2
1) Для функции f (x) = 6х5 найдите первоначальную, график которой проходит через точку:
2) Какой из следующих выражений равен площади фигуры, заштрихованной на рисунке:
3) Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4) Установите соответствие между интегралами и их значениями.
5) Вычислите интеграл:
6) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
7) Вычислите интеграл:
Решение: 1. y=x^6+C оба варианта ответ В)2. площадь 1 вариант 2 ответ В)
2 Вариант ответ аналогичен В)
3. Вариант 1 =4/3 вариант 2 = 2/3
4. Вариант 1
1 - Г
2-В
3 - Б
Вариант 2
1- А
2 -В
3 - Г
5. Вариант 1
первообразная равна
x^3/3-5x^2/2+4x
подстановка верхняя
64/3-40+16
Постановка нижняя
1/3-5/2+4
S=|64/3-1/3-40+16-4+5/2|=|21-28+2,5|=4,5
Вариант 2
первообразная равна
x^3/3+5x^2/2+4x
Постановка нижняя
-1/3+5/2-4
подстановка верхняя
-64/3+40-16
S=|-64/3+40-16+1/3-5/2+4|=|-21+44-16-2,5|=4,5
1) первоначальная для функции f(x) = 6х⁵ это семейство функций
F(x) = х⁶ + с, c є R\
cреди них ищем ту которая проходит через точку А
1 вариант:
0 = (-1)⁶ + с
0 = 1 + с
с = -1
F(x)= х⁶-1 в)
2 вариант:
-1 = 0⁶ + с
-1 = с
с= -1
F(x)= х⁶-1 в)
3) 1 вариант:
$$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {sinx} \, dx = -(cos\frac{\pi}{2}-cos(-\frac{\pi}{2}))=0 $$ д)
2 вариант:
$$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx = sin\frac{\pi}{2}-sin(-\frac{\pi}{2}))=1-(-1)=2 $$ в)
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2+4x-x^2 и y=x^2-2x+2
Решение: Y=2+4x-x² - парабола с ветвями, направленными вниз,
вершина в точке (2,6). Пересекает ось ОУ в точке (0,2).
у=х²-2х+2 - парабола с ветвями, направленными вверх,
вершина в точке (1,1). Пересекает ось ОУ в точке (0,2).
Обе параболы проходят через точки (3,5).
Точки пересечения парабол:
$$ 2+4x-x^2=x^2-2x+2\\\\2x^2-6x=0\\\\2x(x-3)=0\; \; \Rightarrow \; \; x_1=0\;,\; \; x_2=3\\\\S=\int _0^3(2+4x-x^2-(x^2-2x+2))dx=\int _0^3(6x-2x^2)dx=\\\\=(6\cdot \frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^3}{3})|_0^3=3\cdot 3^2-\frac{2}{3}\cdot 3^3=9\\ $$Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xy=1, y=x, x=3
Решение: 1) Надо определить пределы интегрирования, то есть определить точку пересечения гиперболы ху=1 и прямой у=х.
Для этого подставляем значение у = х в уравнение гиперболы:
х*х = 1. Отсюда х = +-1. Значение -1 отбрасываем - это третья четверть.
Уравнение гиперболы выразим относительно у = 1/х.
$$ \int\limits^3_1 {(x-(1/x))} \, dx = \frac{x^2}{2} -ln(x)| _{1 } ^{3} = $$
=(9/2)-1,09861-((1/2)-0) = 2,90139 кв. ед