интеграл »

найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 3

  • 1. Найдите производную функции:
    а) f(x)=1/2x^4-x^3+5 б) f(x)=1-2x/2x+1 в) f(x)=x^2*cosx
    2. Найдите производную сложной функции:
    а) f(x)=(3x+4)^5 б) f(x)=sin(5x^2+2)
    3. напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции f(x)=x^3-3x^2 в точке с абциссой a=-1
    4. Найдите интеграл:
    a) ∫(3x^2+4x-5)dx б) ∫sin(8x-12)dx в) ∫_1^3 (4x-2)dx
    5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2, осью Ox


    Решение: A. f ’ (x) = 1*4/2 *x³-3x² = 2x³-3x²
    б. если функция это (1-2x) / (2x+1) f ’(x) = (1-2x)’ *(2x+1)- (2x+1)’(1-2x) / (2x+1)² = (2(2x+1) - 2(1-2x)) / (2x+1)² = 4x+2-2+4x / (2x+1)² = 4x/ (2x+1)²
    с. f ’(x) = 2x*cos(x) + x² *(-sin(x)) = 2x*cos(x) - x²*sin (x)
    2.a. 5(3x+4)⁴ *(3x+4)’ = 5*(3x+4)⁴* 3 = 15 (3x+4)⁴
      cos (5x²+2) * (5x²+2)’ = 10 x cos (5x²+2)
    3.y(x) =f(x₀) - f ’(x₀)*(x-x₀)  f ’(x) = 3x²-6x f ’(-1) = 3*1 - 6*(-1) = 9 f (-1) = -1-3 = -4
    y(x) = -4 - 9(x+1) = 5-9x

  • Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-1/2x+1,y=3/2x+3, x=-1,x=1


    Решение: График y = 3/2x+3 можем не использовать. Он всё равно не влияет на площадь данной фигуры на промежутке [-1;1]. Значит

    S = $$ \int\limits^1_{-1} {(-\frac{x}{2}+1)} \, dx = -\frac{x^3}{6} + x|_{-1}^1 = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + 1 = 2 $$ ед^2

  • 1) Для функции f (x) = 6х5 найдите первоначальную, график которой проходит через точку:
    2) Какой из следующих выражений равен площади фигуры, заштрихованной на рисунке:
    3) Найдите площадь заштрихованной фигуры.
    4) Установите соответствие между интегралами и их значениями.
    5) Вычислите интеграл:
    6) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
    7) Вычислите интеграл:


    Решение: 1. y=x^6+C  оба варианта ответ В)

    2. площадь 1 вариант 2 ответ В)

                       2 Вариант ответ аналогичен В)

    3. Вариант 1 =4/3 вариант 2 = 2/3

    4. Вариант 1

      1 - Г

       2-В

      3 - Б

    Вариант 2

    1- А

     2 -В

    3 - Г

    5. Вариант 1

    первообразная равна

    x^3/3-5x^2/2+4x

    подстановка верхняя

    64/3-40+16

    Постановка нижняя

    1/3-5/2+4

    S=|64/3-1/3-40+16-4+5/2|=|21-28+2,5|=4,5

    Вариант 2

    первообразная равна

    x^3/3+5x^2/2+4x

    Постановка нижняя

    -1/3+5/2-4

    подстановка верхняя

    -64/3+40-16

    S=|-64/3+40-16+1/3-5/2+4|=|-21+44-16-2,5|=4,5

    1)  первоначальная для функции  f(x) = 6х⁵ это семейство функций

    F(x) = х⁶ + с, c є R\

    cреди них ищем ту которая проходит через точку А

    1 вариант:

    0 = (-1)⁶ + с

    0 = 1 + с

    с = -1

    F(x)= х⁶-1 в)

    2 вариант:

    -1 = 0⁶ + с

    -1 = с

    с= -1

    F(x)= х⁶-1 в)

    3) 1 вариант:

    $$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {sinx} \, dx = -(cos\frac{\pi}{2}-cos(-\frac{\pi}{2}))=0 $$ д)

    2 вариант:

    $$ S =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx = sin\frac{\pi}{2}-sin(-\frac{\pi}{2}))=1-(-1)=2 $$ в)

  • Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2+4x-x^2 и y=x^2-2x+2


    Решение: Y=2+4x-x²  -  парабола с ветвями, направленными вниз,
    вершина в точке (2,6). Пересекает ось ОУ в точке (0,2).
    у=х²-2х+2 -  парабола с ветвями, направленными вверх,
    вершина в точке (1,1). Пересекает ось ОУ в точке (0,2).
    Обе параболы проходят через точки (3,5).
    Точки пересечения парабол:
    $$ 2+4x-x^2=x^2-2x+2\\\\2x^2-6x=0\\\\2x(x-3)=0\; \; \Rightarrow \; \; x_1=0\;,\; \; x_2=3\\\\S=\int _0^3(2+4x-x^2-(x^2-2x+2))dx=\int _0^3(6x-2x^2)dx=\\\\=(6\cdot \frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^3}{3})|_0^3=3\cdot 3^2-\frac{2}{3}\cdot 3^3=9\\ $$

  • Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xy=1, y=x, x=3


    Решение: 1) Надо определить пределы интегрирования, то есть определить точку пересечения гиперболы ху=1 и прямой у=х.
    Для этого подставляем значение у = х в уравнение гиперболы:
    х*х = 1. Отсюда х = +-1. Значение -1 отбрасываем - это третья четверть.
    Уравнение гиперболы выразим относительно у = 1/х.
    $$ \int\limits^3_1 {(x-(1/x))} \, dx = \frac{x^2}{2} -ln(x)| _{1 } ^{3} = $$
    =(9/2)-1,09861-((1/2)-0) = 2,90139 кв. ед

<< < 123 4 5 > >>