найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 4
найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=x^4 и у = 1 с помощью интеграла
Решение: Точки пересечения кривой y = x^4 и прямой y = 1 находим, приравняв уравнения: х1 = 1, х2 = -1. Это пределы интегрирования.
Итак, нам требуется вычислить определенный интеграл от функции y = x^4 по пределам от -1 до 1.
Первообразная равна x^5/5. Подставляем верхний предел, равный 1, получаем 1/5. Подставляем нижний предел, равный -1, получаем - 1/5.
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, отнимаем от первого значения второе:
1/5 - (- 1/5) = 2/5.
Это и есть искомая площадь.
Ответ: 2/5.Найдем промежутки интегрирования
x^4=1
x^4-1=0
(x²-1)(x²+1)=(x-1)(x+1)(x²+1)=0
x²+1>0при любом х
х-1=0⇒х=1 и х+1=0⇒х=-1
s=S(от -1 до 1)(1-x^4)dx=x-x^5/5(от -1 до 1)=1-1/5+1-1/5=1 3/5кв ед
у=x^4 квадратичная парабола
х -2 -1 0 1 2
у 16 1 0 1 16
у=1-прямая параллельная оси ох
вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-5, y=x-1 (тема: определенный интеграл)
Решение: чертите на координатной прямой два этих графика(будет парабола и прямая)нижний предел интегрирования будет наименьшее значение х удовлетворяющее обоим уравнениям, верхний предел-наибольшее значение
даллее по формуле, интеграл от наим. зн до наиб. зна (-x^2+6x-5-x+1)
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y=sinx, y=l, х=0, х=П/2.(Пи разделить на 2)
2. Боковое ребро наклонной призмы равно 20дм и наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите высоту призмы.
1. Преобразовать выражение sin2a/sina
2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 1см, а сторона основания 4см. Найдите боковое ребро.
1. Найдите боковую поверхность цилиндра с высотой 3 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат.
2. Исследуйте функцию f(x) = 1/x^6-8x^2 на чётность.
1. Радиус основания конуса 5см, его высота 12см. Найдите площадь осевого сечения, длину образующей.
2. решить уравнение sinx-1/2=0
Решение: В 1) применены формулы интегрирования, формула Ньютона-Лейбница; во 2) теорема Пифагора.1). = (2sina cosa)/sina = 2 cosa
2) y(x) = (1/x^6) - 8x^2; y(-x) = (1/(-x)^6) -8 (-x)^2 = (1/x^6) - 8x^2 = y(x) - функция четная
2) sinx = 1/2, x = (-1)^n * (pi/6) + pi n
Прямая у= -2х+2 пересекает прямую у=х и ось абсцисс в точках АиВ соответственно. Найдите площадь треугольника АОВ, где О-начало координат.
Решение: Находим точку пересечения А прямых у=х и у=-2х+2:
х=-2х+2, 3х=2, х=2/3 и у=2/3(т. к. у=х) А(2/3,2/3)
Точка В - точка пересечения прямой у=-2х+2 и оси ОХ (у=0):
-2х+2=0, 2х=2, х=1, В(1,0)
Основание прямоугольника равно ОВ=1, а высота равна ординате точки А, то
есть 2/3.
S=1/2 * 1*2/3=1/3 (квадратных единиц)
1) Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y=x²-1 и y=1-x²
2) Найдите множество значений функции y=-4x², y=tgx-1, y=|x|+4, y=|x-4|
3) Найдите координаты вершины параболы : y=x²+2x
Решение: 1) S =интеграл(1- x² -(x² -1))dx =интеграл 2(1-x²)dx =2(x-x³/3)| a =-1 b=1
=2(1 -1³/3 -(-1 -(-1)³/3 ) =2*2(1-1/3 ) = 8/3.
* * * 1- x² =x² -1⇔2x² =2 ⇔x² =1 ⇒x =± 1 a = -1 ; b=1 * * *
-
2) y = - 4x², E(y) =( -∞ ;0].
y =tqx -1, E(y) =( -∞ ;∞).
y=|x|+4, E(y) =[ 4 ;∞).
y=|x-4|, E(y) =[ 0 ;∞).
-
3) y=x²+2x ;
y=x²+2x= x²+2x +1 -1 =(x+1)² -1. B(-1 ; -1).
1. Найдите координаты точки М относительно которой симметричны точки Е (-3;8;7) и К (-9;6;1)
2. Найдите расстояние от точки А (2;3;-6) к координатной площади ху
3. Ортогональной проекцией отрезка с концами в точках А (-1;0;5) и В (-1;0;8) на координатную площадь ху это :
а) прямая б) луч в) отрезок г) точка д) фигура отличающиеся от выше сказанных
4. Найдите вектор с=2а-b f(3 ;-1;2),b(-2;2;5)
5. Параллелограмм ABCD построено на векторах а и b как на сторонах. Известно что модуль вектора а равен 3 а модуль вектора b равен 5 сума по модулю этих векторов равно 7 найдите величину угла между векторами а и b.
Решение: 1) Если точка М симметрична точкам Е и К, то точка М есть серединой отрезка ЕК.
М((-3-9)/2=-6; (8+6)/2=7; (7+1)/2=4) = (-6;7;4).
2) Расстояние от точки А (2;3;-6) до координатной плоскости хОу соответствует модулю координаты z и равно 6.
3) Ортогональная проекция отрезка с концами в точках А (-1;0;5) и В (-1;0;8) на координатную плоскость хОу это :
г) точка, так как координаты х и у совпадают и проекция - это точка.
4) Вектор с=2а-b а(3 ;-1;2),b(-2;2;5)
a b
x y z x y z
3 -1 2 -2 2 5
a * m m = 2 b * n n = -1
6 -2 4 2 -2 -5
Результат am+bn = x y z
8 -4 -1
5. Параллелограмм ABCD построено на векторах а и b как на сторонах. Известно что модуль вектора а равен 3 а модуль вектора b равен 5 сумма по модулю этих векторов равна 7. Найти величину угла между векторами а и b.
При известных модулях воспользуемся теоремой косинусов:
cos C = |(a² + b² - c²)/(2ab)| = |(25+9-49)/)2*5*3)| = 15/30 = 1/2.
arc cos (1/2) = 60°.Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функций f(x) = x^2-6x+9 и прямой x=2
Решение: Фигура ограничена осью OX и OY и прямой x = 2OY = 0 по иксу, значит площадь фигуры будем искать на промежутке 0,2. Они же будут пределами интегрирования.
Нижний предел - 0, верхний - 2
Площадь фигуры находится по формуле
$$ \int\limits^a_b {f(x)} \, dx $$
Теперь подставляем
$$ \int\limits^2_0 {(x^2 - 6x + 9)} \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 9x = \frac{2^3}{3} - \frac{6 * 2^2}{2} + 9 * 2 \ =\\= \frac{8}{3} - \frac{24}{2} + 18 = \frac{16 - 72}{6} + 18 = -9\frac{1}{3} + 18 = 8\frac{2}{3} $$ ед^2
1) вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции у=f(x) и осями координат f(x)=-x^2+6x-9
2) Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2 y=-2x
Решение: Найдём границы интегрирования: -x² + 6x -9 = 0
-(х² - 6х + 9) = 0
-(х - 3)² = 0
х = 3
Данная функция на графике парабола ветвями вниз. Она пересекает ось у в точке у = -9
Ищем интеграл от 0 до 3, под интегралом
( -x² + 6x -9) dx = -х³/3 + 6х/2 - 9х в пределах от 0 до 3=
= -9 + 9 - 27 = 27
Получили результат с минусом.
Это значит, что наша фигура под осью х
Ответ: 271.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат. 2.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абсцисс.
Решение: 1) площадь = интеграл от (-2) до (0) (x^2+8x+16) dx == 1/3*x^3+4x^2+16x (подстановка от (-2) до (0) =
= 0 - ( 1/3*(-2)^3+4(-2)^2+16*(-2) ) = 0 - (-8/3 +16 - 32) = 16 + 8/3 = 18 + 2/3
2) площадь = интеграл от (-1) до (3) (x^2-6x+10) dx =
= 1/3*x^3-3x^2+10x (подстановка от (-1) до (3) =
= 1/3*(3)^3-3*(3)^2+10*(3) - ( 1/3*(-1)^3-3*(-1)^2+10*(-1) ) =
= 9 - 27 + 30 - ( -1/3 - 3 - 10 ) = 12 - ( - 13 - 1/3) = 25+1/3
1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат.
2.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абсцисс.
, очень надо
Решение: Просто подставляем значения в формулу S = $$ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx $$ и решаем1) Фигура ограничена осями OX и OY.
OY - x = 0
Значит будем искать площадь фигуры на промежутке [-2;0]
S = $$ \int\limits^0_{-2} {x^2 + 8x + 16} \, dx = -(\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + 16x) =\\= -(-\frac{8}{3} + \frac{32}{2} - 32) = \frac{8}{3} - 16 + 32 = \frac{8}{3} + 16 = 2\frac{2}{3} + 16 = 18\frac{2}{3} $$ ед^2
2) Тут так же. Ищем площадь фигуры на промежутке [-1;3]
Для начала найдём первообразную этой функции, чтоб не переписывать потом
F(x) = F(x^2-6x+10) = $$ \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 10x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x $$
S = $$ \int\limits^3_{-1} {(x^2-6x+10)} \, dx = (\frac{3^3}{3} - 3 * 3^2 + 10 * 3) - (-\frac{1^3}{3} - 3 * (-1)^2 + 10 * (-1)) =\\= 9 - 27 + 30 + \frac{1}{3} + 3 + 10 = 25\frac{1}{3} $$ ед^2
