НОД и НОК »

наименьшим общим кратным чисел m n

  • Наименьшее общее кратное семи чисел равно 2012. Найдите наименьшую возможную сумму этих чисел


    Решение: если речь о натуральных числах

    2012=2*2*503 -разложение в произведение простых чисел

    чтобы наименьшее общее кратное семи чисел было равно 2012 в него должны входить числа кратные 503 и 4, наименьшие возможные (так как мы ищем наименьшую возможную сумму) будут 503 и 4, остальные чтоб быть наименее возможными должны равняться 1,

    тогда сумма равна 1+1+1+1+1+4+503=512

    если речь о целых числах то

    2012=2*2*503 -разложение в произведение простых чисел

    чтобы наименьшее общее кратное семи чисел было равно 2012 в него должны входить числа кратные 503 и 4, наименьшие возможные (так как мы ищем наименьшую возможную сумму) будут -503 и -4, остальные чтоб быть наименее возможными должны равняться -1,1,1,1,1 (так чтоб произведение при этом равнолялось 2012)

    тогда сумма равна -1+(-1)+(-1)+(-1)+1+(-4)+(-503)=-510

  • Наименьшее общее кратное чисел 18,63,35


    Решение: Сначала разложим числа на простые множители:

    18 = 2 · 3*3

    63 = 3* 3 · 7

    35 = 5 · 7

    выпишем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел, каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в заданные числа и умножим.

    Наименьшее общее кратное = 2 · 32 · 7 · 5 = 630

    разложим 18, 63, 35 на простые множители

    18=2*3*3

    63=3*3*7

    35=5*7

    НОК(18, 63, 35)=63*2*5=630

  • Наименьшее общее кратное чисел 12 и 15


    Решение: НОК (12, 15) = 2*2*3*5 = 60, так как 
    12 = 2*2*3 
    15 = 3*5

    Чтобы найти НОК (наименьшее общее кратное), надо разложить данные числа на простые множители и найти произведение всех множителей, взятых с наибольшим показателем степени.

    12 = 2 * 2 * 3

    15 = 3 * 5

    НОК (12; 15) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60 - наименьшее общее кратное

    60 : 12 = 5        60 : 15 = 4

  • Наименьшее общее кратное чисел 8,32,16,64.


    Решение: Наименьшее общее кратное этих чисел 2. Общее кратное всех чисел равно 8. 8:8=1, 32:8=4, 16:8=2,64:8=8. Но, заметим также, что и число 8 можно разложить на множители 2 и 4. То есть числа 8, 32, 16, 64 можно разделить еще и 2. Получаем 8:2=4,32:2=16,16:2=8,64:2=32. 2-есть наименьшее общее кратное. Правильнее было бы расписать разложения на множители всех чисел.

  • Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b, c и d равно a +b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).


    Решение: Можно считать, что a <= b <= c <= d.
    Т. к. a + b + c + d - НОК, то должно делиться на d и быть больше d.
    a + b + c + d <= 4d, значит, 2d, 3d или 4d.
    1) Если a + b + c + d = 4d, то a = b = c = d, но тогда НОК был бы равен d, а не 4d. Значит, этот случай не выполняется.
    2) Если a + b + c + d = 3d, то хотя бы одно из чисел a, b, c, d делится на 3 (т. к. НОК делится на 3).
    3) Если a + b + c + d = 2d, то a + b + c = d и 2(a + b + c) = НОК(a, b, c, d).
    Аналогично, НОК должен делиться на c и быть больше 2c, значит
    2c < 2(a + b + c) <= 6c, и 2(a + b + c) = 3c, 4c, 5c или 6с.
    - Если 3с, 5с или 6с - всё ок, хотя бы одно из чисел делится на 3 (в первом или третьем случае) или на 5 (во втором).
    - Если 2(a + b + c) = 4c, то a + b = c, и НОК = 4(a + b) = 4a + 4b - должно делиться на b. Значит, 4a делится на b, 4a = b, 2b. 3b, 4b. Остался последний перебор:
    * Если 4a = b, то НОК(a, b, c, d) = НОК(a, b, a + b, 2(a + b)) = НОК(a, 4a, 5a, 10a) делится на 5, значит, произведение делится на 5.
    * Если 4a = 2b, 2a = b, то есть делимость на 3, т. к. c = 3a
    * Если 4a = 3b, то a делится на 3
    * Если 4a = 4b, a = b, то НОК = НОК(a, a, 2a, 4a) = 4a, а не a + a + 2a + 4a = 8a.
    Все случаи разобраны, и в каждом возможном случае произведение делится на 3 или 5.

1 2 3 > >>