НОД и НОК »

наименьшим общим кратным чисел m n

  • Наименьшее общее кратное семи чисел равно 2012. Найдите наименьшую возможную сумму этих чисел


    Решение: если речь о натуральных числах

    2012=2*2*503 -разложение в произведение простых чисел

    чтобы наименьшее общее кратное семи чисел было равно 2012 в него должны входить числа кратные 503 и 4, наименьшие возможные (так как мы ищем наименьшую возможную сумму) будут 503 и 4, остальные чтоб быть наименее возможными должны равняться 1,

    тогда сумма равна 1+1+1+1+1+4+503=512

    если речь о целых числах то

    2012=2*2*503 -разложение в произведение простых чисел

    чтобы наименьшее общее кратное семи чисел было равно 2012 в него должны входить числа кратные 503 и 4, наименьшие возможные (так как мы ищем наименьшую возможную сумму) будут -503 и -4, остальные чтоб быть наименее возможными должны равняться -1,1,1,1,1 (так чтоб произведение при этом равнолялось 2012)

    тогда сумма равна -1+(-1)+(-1)+(-1)+1+(-4)+(-503)=-510

  • Наименьшее общее кратное чисел 18,63,35


    Решение: Сначала разложим числа на простые множители:

    18 = 2 · 3*3

    63 = 3* 3 · 7

    35 = 5 · 7

    выпишем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел, каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в заданные числа и умножим.

    Наименьшее общее кратное = 2 · 32 · 7 · 5 = 630

    разложим 18, 63, 35 на простые множители

    18=2*3*3

    63=3*3*7

    35=5*7

    НОК(18, 63, 35)=63*2*5=630

  • Наименьшее общее кратное чисел 12 и 15


    Решение: НОК (12, 15) = 2*2*3*5 = 60, так как 
    12 = 2*2*3 
    15 = 3*5

    Чтобы найти НОК (наименьшее общее кратное), надо разложить данные числа на простые множители и найти произведение всех множителей, взятых с наибольшим показателем степени.

    12 = 2 * 2 * 3

    15 = 3 * 5

    НОК (12; 15) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60 - наименьшее общее кратное

    60 : 12 = 5        60 : 15 = 4

  • Наименьшее общее кратное чисел 8,32,16,64.


    Решение: Наименьшее общее кратное этих чисел 2. Общее кратное всех чисел равно 8. 8:8=1, 32:8=4, 16:8=2,64:8=8. Но, заметим также, что и число 8 можно разложить на множители 2 и 4. То есть числа 8, 32, 16, 64 можно разделить еще и 2. Получаем 8:2=4,32:2=16,16:2=8,64:2=32. 2-есть наименьшее общее кратное. Правильнее было бы расписать разложения на множители всех чисел.

  • Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b, c и d равно a +b + c + d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).


    Решение: Можно считать, что a <= b <= c <= d.
    Т. к. a + b + c + d - НОК, то должно делиться на d и быть больше d.
    a + b + c + d <= 4d, значит, 2d, 3d или 4d.
    1) Если a + b + c + d = 4d, то a = b = c = d, но тогда НОК был бы равен d, а не 4d. Значит, этот случай не выполняется.
    2) Если a + b + c + d = 3d, то хотя бы одно из чисел a, b, c, d делится на 3 (т. к. НОК делится на 3).
    3) Если a + b + c + d = 2d, то a + b + c = d и 2(a + b + c) = НОК(a, b, c, d).
    Аналогично, НОК должен делиться на c и быть больше 2c, значит
    2c < 2(a + b + c) <= 6c, и 2(a + b + c) = 3c, 4c, 5c или 6с.
    - Если 3с, 5с или 6с - всё ок, хотя бы одно из чисел делится на 3 (в первом или третьем случае) или на 5 (во втором).
    - Если 2(a + b + c) = 4c, то a + b = c, и НОК = 4(a + b) = 4a + 4b - должно делиться на b. Значит, 4a делится на b, 4a = b, 2b. 3b, 4b. Остался последний перебор:
    * Если 4a = b, то НОК(a, b, c, d) = НОК(a, b, a + b, 2(a + b)) = НОК(a, 4a, 5a, 10a) делится на 5, значит, произведение делится на 5.
    * Если 4a = 2b, 2a = b, то есть делимость на 3, т. к. c = 3a
    * Если 4a = 3b, то a делится на 3
    * Если 4a = 4b, a = b, то НОК = НОК(a, a, 2a, 4a) = 4a, а не a + a + 2a + 4a = 8a.
    Все случаи разобраны, и в каждом возможном случае произведение делится на 3 или 5.

  • Наименьшее общее кратное чисел 14;70


    Решение: 14=2*7
    70=2*5*7
    Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел - это наименьшее натуральное число, которое одновременно делится на первое число и на второе. То есть это число содержит как множители первого числа, так и множители второго числа. НОК(14,70)=2*5*7=70.

    14=2*7. 70=2*7*5 нок(14,70)=2*7*5=70

  • Наименьшее общее кратное чисел 30 и 45 105


    Решение: Методом подбора получилось 630.
    Я считал так, большее число складывал. Получилось 210.
    210 на 45 не делится, идем дальше. И все числа у которых на конце 5 не будут делиться на 5, значит берем удвоенную сумму 105.
    Следующее число 420. 420 не делится на 45.
    Следующее число 630. 
    630 делится на 105, так как мы брали его по сумме этого числа.
    45+45=90, 630 делится на 90, значит 630 делится на 45. Так же 630 делится на 30. Получаем что НОК равен 630.

  • Какое наименьшее общее кратное чисел 936 и 1404


    Решение: Разложим оба числа на простые множители.
    936=2*2*2*3*3*13
    1404=2*2*3*3*3*13
    Общие множители у них 2*2*3*3*13 (подчеркнуты).
    Для нахождения наименьшего общего кратного нужно умножить одно из чисел на множители другого, которые не являются общими.
    То есть, в данном случае нужно умножить 936*3 или 1404*2.
    Получим: 936*3=1404*2=2808
    Ответ: 2808

    Чтобы найти НОК (936; 1404), нужно разложить данные числа на простые множители и найти произведение всех простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени:

    936 = 2*2*2*3*3*13

    1404 = 2*2*3*3*3*13

    НОК = 2 в третьей степени * 3 в третьей степени * 13 = 2808

    Проверяем: 2808:936=3; 2808:1404=2 

  • Найди наименьшее общее кратное данных чисел
    3,2 и 5
    32,36,72 и 48,
    30,75,18 и 27


    Решение: Раскладываем числа на простые множители:
    936 : 2=
    468 :2=
    234:2=
    116:2=
    58:2=
    29:29=
    1
    1404:2=
    702:2=
    351:3=
    117:3=
    39:3=
    13:13=
    1
    Те числа, на которые мы делили, называются простыми множителями.
    Наибольший общий делитель - это то число (наибольшее), на которое делятся оба числа. Для этого выписываем и перемножаем все совпадающие делители:
    2*2=4

  • Найди наименьшее общее кратное чисел: 28,35 и 70; 18,24 и 27; 36,54 и 81; 88,132 и 264; 25,75 и 150; 54,90 и 135.


    Решение: ▪НОК(28; 35; 70)=2×5×7×2=140
    28=2×2×7
    35=5×7
    70=2×5×7
    ▪НОК(18; 24; 27)=3×3×3×2×2×2=216
    18=2×3×3
    24=2×2×2×3
    27=3×3×3
    ▪НОК(36; 54; 81)=3×3×3×3×2×2=324
    36=2×2×3×3
    54=2×3×3×3
    81=3×3×3×3
    ▪НОК(88; 132; 264)=2×2×2×3×11=264
    88=2×2×2×11
    132=2×2×3×11
    264=2×2×2×3×11
    ▪НОК(25; 75; 150)=2×3×5×5=150
    25=5×5
    75=3×5×5
    150=2×3×5×5
    ▪НОК(54; 90; 135)=3×3×3×5×2=270
    54=2×3×3×3
    90=2×3×3×5
    135=3×3×3×5

1 2 3 > >>