найти 3 члена арифметической прогрессии
1) Восемнадцатый член арифметической прогрессии равен 11, а двадцать четвертый 29. Найти сумму сорока членов прогрессии.
2) Сумма тринадцати членов арифметической прогрессии равна 78, а а шестнадцати 144. Найти сумму 40 членов этой прогрессии.
3) Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Найти сумму тринадцати членов этой прогрессии
Решение:1)a₁₈=a₁+d(18-1)=11
a₂₄=a₁+d(24-1)=29
отсюда найдем a₁ и d
23d-17d=18
$$ S_{40}= \frac{2a_1+d*39}{2}*40= \frac{-40*2+3*39}{2}*40=(-80+3*39)*20=740 $$
a₁=11-3*17=-40
2)$$ S_{13}= \frac{2a_1+d*12}{2}*13 =78 \\ S_{16}= \frac{2a_1+d*15}{2}*16 =144$$отсюда
(a₁+6d)*13=78
(2a₁+15d)*8=144
a₁+6d=6
2a₁+15d=18
a₁=6-6d
2(6-6d)+15d=18
3d=6
d=2
a₁=6-12=-6
$$ S_{40}= \frac{2a_1+39*d}{2}*40=\frac{-12+39*2}{2}*40=(-12+39*2)*20=1320 $$
3) a₅+a₉=a₁+4d+a₁+8d=2a₁-12d
$$ S_{13}= \frac{2a_1+12d}{2}*13=\frac{18}{2}*13=9*13=117 $$В арифметической прогрессии третий член равен 12, пяты 20, найти одиннадцатый член
Решение: Найдём шаг прогрессии (d):
$$ d=\frac{ a_{n}-a_{m}}{n-m} = \frac{ a_{5}-a_{3}}{5-3}= \frac{20-12}{2} =4 $$
Найдём первый член прогрессии:
$$ a_{1}= a_{n}-(n-1)*d=a_{3}-2*d=12-2*4=4 $$
Теперь найдём одиннадцатый член прогрессии:
$$ a_{11}= a_{1}+(11-1)*d=4+10*4=44 $$А3=12
а5=20
а1+2d=12 /*(-2)
a1+4d=20
-2a1-4d=-24
a1+4d=20
-a1=-4
a1=4
4+2d=12
2d=8
d=4
a11=a1+10d=4+40=44
Ответ: 44
В арифметической прогрессии третий член равен 10, а десятый 12,1. Найтиде все члены прогрессии, расположенные между ними.
Решение: a₃ = a₁ + 2d = 10a₁₀ = a₁ + 9d = 12,1
Вычтем из второго первое и найдем разность прогрессии:
7d = 2,1
d = 0,3
Теперь последовательно найдем требуемые члены прогрессии:
а₄ = 10 + 0,3 = 10,3
a₅ = 10,3 + 0,3 = 10,6
a₆ = 10,6 + 0,3 = 10,9
a₇ = 10,9 + 0,3 = 11,2
a₈ = 11,2 + 0,3 = 11,5
a₉ = 11,5 + 0,3 = 11,8
Найти формулу n-го члена арифметической прогрессии, если : a2 = -7, a7 = 18.
Решение:
а(2) = -7а(7) = 18
Система:
а(2) = а(1) + d
a(7) = a(1) +6d
Система:
-7 = a(1) +d
18 = a(1) +6d, вычтем из второго уравнения первое, получим:
25 = 5d
d=5
подставим d в первое уравнение системы, получим:
-7= а(1) +5
а(1) = -12
Формула n-ого члена:
a(n) =a(1) + d(n-1)
a(n) = -12 +5(n-1) = -12+5n-5 = 5n-17
Найти три последовательных члена арифметической прогрессии, если их сумма равна 33, а произведение равно 1287.
Решение: Предположим, что первый член прогресси это Х, тогда второй (Х+а), где а- число, на которое увеличивается каждый последующий член прогрессии, тогда третий член ((х+а)+а), следовательно:х+х+а+х+а+а = 33
3х+3а=33
3(х+а)=33
х+а=11, х=11-а
То есть, второй член прогрессии равен 11Методом подбора определяем что, искомые числа 9,11,13
1) Решить уравнение: 2 в степени 3х+5=(1/16) в степени 5-2х
2) найти пятнадцатый член арифметической прогрессии, если сумма ее третьего и пятого членов равна 50, а сумма ее седьмого и одиннадцатого членов равна 80?
Решение: 2^(3х+5)=(1/16)^( 5-2х)
2^(3х+5)=(2)^( -4*(5-2х))
3х+5= -4*(5-2х)
3х+5= -20+8x
5x=25
x=5
a3+a5=a1+2*d+a1+4d=2*a1+6*d=50
a7+a11=2*a1+16*d=80
******************
2*a1+6*d=50
2*a1+16*d=80
*************
d=3
a1=(50-6*3)/2=16
*********
a15=a1+14*d=16+14*3=58
Сумма 3 и 9 членов арифметической прогрессии равна 6 а произведение равно 135/16 найти S15?
Решение: Записываем формулу для третьего члена: А3 = А1 + 2dЗаписываем формулу для девятого члена: A9 = A1 + 8d
Складывая, получаем:
2А1 + 10d = 6 (по условию)
(А1 + 2d)*(A1 + 8d) = 135/16
Система из этих двух уравнений даст значения для A1 и d
Затем их нужно будет подставить в формулу суммы первых 15 членов:
S15 = 15*(2*A1 + 14d)/2
Таким образом вы получите искомое значение суммы.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a14.
Решение: A₅*a₁₂=-2,5 (a₁+4d)*(a₁+11d)=-2,5 (-6d+4d)*(-6d+11d)=-2,5
a₃+a₁₁=0 a₁+2d+a₁+10d=0 2a₁=-12d a₁=-6d
-2d*5d=-2,5 -10d²=-2,5 d²=0,25 d=+/-0,5
Так как арифметическая прогрессия возрастающая, d=0,5
a₁=-6d=-3 ⇒ a₁₄=a₁+13d=-3+13*0,5=-3+6,5=3,5.___________________________
Сума восьмого и двадцатого членов арифметической просрессии равна 48. Найти четырнадцатый член прогрессии.
Решение: Пусть а8 - это первый член арифм прогрессии. тогда а20 будет 13 членом ариф прогресс.тогда полуится система:
а20=а8+d(13-1) а20-а8=12d
а20+а8=48 a20+a8=48
Сложим два выражения:
2a20=48+12d
a20=24+6d
Отсюда полчаем, что a20 - это 7 член арифм прогрессии (6+1=7), тогда получаем, что в этом равенстве 24 - это 14 член арифм прогрессии ( 20-6=14 ). т. е. а14=24
4. Дана арифметическая прогрессия (an):
-148; -143,8; -139,6; -135,4,
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
Решение: Формула арифметической прогрессии : a_n = a_1+d(n-1), где d - разность геометрической прогрессии, а n - номер члена арифметической прогрессии. В нашей арифметической прогрессии a_1 = -148, a_2=-143.8, a_3 = -139.6 и т. д.
Найдём разность по формуле d=a_2 - a_1 d=-143,8 - (-148) = 4,2
Арифметическая прогрессия возрастает от -148, до бесконечности положительных чисел.
Первое положительное число будет стоять сразу после 0. Значит a_n >1 / Составим неравенство
a_1 + d(n-1)>1
d(n-1)>1-a_1
n-1>1-(a_1:d)
n>1-(a_1:d)+1
n>2-(a_1:d)
Подставляем числа
n>2 - (-148:(-4.2)
n> 37,238
Значит мы можем сделать вывод, что наименьшее положительное число имеет 37 номер.
Давайте найдём его.a_37 = a_1 + d(37-1) = a_1+36d=-148 + 36 * 4.2=3,2 - наименьший положительный член прогрессии. Сразу же можем найти наибольший отрицательный член прогрессии 3.2 - 4.2 = -1. А сумма наибольшего с наименьшим равна -1 + 3.2 = 2.2
