прогрессия » найти 3 члена арифметической прогрессии
  • 1) Восемнадцатый член арифметической прогрессии равен 11, а двадцать четвертый 29. Найти сумму сорока членов прогрессии.
    2) Сумма тринадцати членов арифметической прогрессии равна 78, а а шестнадцати 144. Найти сумму 40 членов этой прогрессии.
    3) Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Найти сумму тринадцати членов этой прогрессии


    Решение:

    1)a₁₈=a₁+d(18-1)=11
    a₂₄=a₁+d(24-1)=29
    отсюда найдем a₁ и d
    23d-17d=18
    $$ S_{40}= \frac{2a_1+d*39}{2}*40= \frac{-40*2+3*39}{2}*40=(-80+3*39)*20=740 $$
    a₁=11-3*17=-40
    2)$$ S_{13}= \frac{2a_1+d*12}{2}*13 =78 \\ S_{16}= \frac{2a_1+d*15}{2}*16 =144$$отсюда
    (a₁+6d)*13=78
    (2a₁+15d)*8=144

    a₁+6d=6
    2a₁+15d=18

    a₁=6-6d
    2(6-6d)+15d=18

    3d=6
    d=2
    a₁=6-12=-6

    $$ S_{40}= \frac{2a_1+39*d}{2}*40=\frac{-12+39*2}{2}*40=(-12+39*2)*20=1320 $$
    3) a₅+a₉=a₁+4d+a₁+8d=2a₁-12d
    $$ S_{13}= \frac{2a_1+12d}{2}*13=\frac{18}{2}*13=9*13=117 $$

  • В арифметической прогрессии третий член равен 12, пяты 20, найти одиннадцатый член


    Решение: Найдём шаг прогрессии (d):
    $$ d=\frac{ a_{n}-a_{m}}{n-m} = \frac{ a_{5}-a_{3}}{5-3}= \frac{20-12}{2} =4 $$
    Найдём первый член прогрессии:
    $$ a_{1}= a_{n}-(n-1)*d=a_{3}-2*d=12-2*4=4 $$
    Теперь найдём одиннадцатый член прогрессии:
    $$ a_{11}= a_{1}+(11-1)*d=4+10*4=44 $$

    А3=12
    а5=20
    а1+2d=12 /*(-2)
    a1+4d=20
    -2a1-4d=-24
    a1+4d=20
    -a1=-4
    a1=4
    4+2d=12
    2d=8
    d=4
    a11=a1+10d=4+40=44
    Ответ: 44

  • В арифметической прогрессии третий член равен 10, а десятый 12,1. Найтиде все члены прогрессии, расположенные между ними.


    Решение: a₃ = a₁ + 2d = 10

    a₁₀ = a₁ + 9d = 12,1

    Вычтем из второго первое и найдем разность прогрессии:

    7d = 2,1

    d = 0,3

    Теперь последовательно найдем требуемые члены прогрессии:

    а₄ = 10 + 0,3 = 10,3

    a₅ = 10,3 + 0,3 = 10,6

    a₆ = 10,6 + 0,3 = 10,9

    a₇ = 10,9 + 0,3 = 11,2

    a₈ = 11,2 + 0,3 = 11,5

    a₉ = 11,5 + 0,3 = 11,8

  • Найти формулу n-го члена арифметической прогрессии, если : a2 = -7, a7 = 18.


    Решение:
    а(2) = -7

    а(7) = 18

    Система:

    а(2) = а(1) + d

    a(7) = a(1) +6d

    Система:

    -7 = a(1) +d

    18 = a(1) +6d, вычтем из второго уравнения первое, получим:

    25 = 5d

    d=5

    подставим d в первое уравнение системы, получим:

    -7= а(1) +5

    а(1) = -12

    Формула n-ого члена:

    a(n) =a(1) + d(n-1)

    a(n) = -12 +5(n-1) = -12+5n-5 = 5n-17


  • Найти три последовательных члена арифметической прогрессии, если их сумма равна 33, а произведение равно 1287.


    Решение: Предположим, что первый член прогресси это Х, тогда второй (Х+а), где а- число, на которое увеличивается каждый последующий член прогрессии, тогда третий член ((х+а)+а), следовательно:

    х+х+а+х+а+а = 33

    3х+3а=33

    3(х+а)=33

    х+а=11, х=11-а
    То есть, второй член прогрессии равен 11 

    Методом подбора определяем что, искомые числа 9,11,13
     

  • 1) Решить уравнение: 2 в степени 3х+5=(1/16) в степени 5-2х
    2) найти пятнадцатый член арифметической прогрессии, если сумма ее третьего и пятого членов равна 50, а сумма ее седьмого и одиннадцатого членов равна 80?


    Решение: 2^(3х+5)=(1/16)^( 5-2х)
    2^(3х+5)=(2)^( -4*(5-2х))
    3х+5= -4*(5-2х)
    3х+5= -20+8x
    5x=25
    x=5
    a3+a5=a1+2*d+a1+4d=2*a1+6*d=50
    a7+a11=2*a1+16*d=80
    ******************
    2*a1+6*d=50
    2*a1+16*d=80
    *************
    d=3
    a1=(50-6*3)/2=16
    *********
    a15=a1+14*d=16+14*3=58

    х - х х - - х х - - х х - x x x a a a d a d a d a a a d a d a d d a - a a d...
  • Сумма 3 и 9 членов арифметической прогрессии равна 6 а произведение равно 135/16 найти S15?


    Решение: Записываем формулу для третьего члена: А3 = А1 + 2d

    Записываем формулу для девятого члена: A9 = A1 + 8d

    Складывая, получаем:

    2А1 + 10d = 6 (по условию)

    (А1 + 2d)*(A1 + 8d) = 135/16

    Система из этих двух уравнений даст значения для A1 и d

    Затем их нужно будет подставить в формулу суммы первых 15 членов:

    S15 = 15*(2*A1 + 14d)/2

    Таким образом вы получите искомое значение суммы.

  • 6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a14.


    Решение: A₅*a₁₂=-2,5 (a₁+4d)*(a₁+11d)=-2,5 (-6d+4d)*(-6d+11d)=-2,5 
    a₃+a₁₁=0     a₁+2d+a₁+10d=0         2a₁=-12d    a₁=-6d  
    -2d*5d=-2,5  -10d²=-2,5  d²=0,25  d=+/-0,5
    Так как арифметическая прогрессия возрастающая, d=0,5
    a₁=-6d=-3 ⇒  a₁₄=a₁+13d=-3+13*0,5=-3+6,5=3,5.

    ___________________________

    A a -   a d a d - - d d - d d -  a a      a d a d          a - d    a - d  - d d -   - d -   d   d - Так как арифметическая прогрессия возрастающая d a - d -   a a d - - ....
  • Сума восьмого и двадцатого членов арифметической просрессии равна 48. Найти четырнадцатый член прогрессии.


    Решение: Пусть а8 - это первый член арифм прогрессии. тогда а20 будет 13 членом ариф прогресс.

     тогда полуится система: 

    а20=а8+d(13-1) а20-а8=12d

    а20+а8=48 a20+a8=48

    Сложим два выражения:

    2a20=48+12d

    a20=24+6d

    Отсюда полчаем, что a20 - это 7 член арифм прогрессии (6+1=7), тогда получаем, что в этом равенстве 24 - это 14 член арифм прогрессии ( 20-6=14 ). т. е. а14=24

  • 4. Дана арифметическая прогрессия (an):
    -148; -143,8; -139,6; -135,4,
    Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
    5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.


    Решение: Формула арифметической прогрессии : a_n = a_1+d(n-1), где d - разность геометрической прогрессии, а n - номер члена арифметической прогрессии. В нашей арифметической прогрессии a_1 = -148, a_2=-143.8, a_3 = -139.6 и т. д. 
    Найдём разность по формуле d=a_2 - a_1 d=-143,8 - (-148) = 4,2
    Арифметическая прогрессия возрастает от -148, до бесконечности положительных чисел.
    Первое положительное число будет стоять сразу после 0. Значит a_n >1 / Составим неравенство
    a_1 + d(n-1)>1
    d(n-1)>1-a_1
    n-1>1-(a_1:d)
    n>1-(a_1:d)+1
     n>2-(a_1:d)
    Подставляем числа
    n>2 - (-148:(-4.2)
    n> 37,238
    Значит мы можем сделать вывод, что наименьшее положительное число имеет 37 номер. 
    Давайте найдём его.a_37 = a_1 + d(37-1) = a_1+36d=-148 + 36 * 4.2=3,2 - наименьший положительный член прогрессии. Сразу же можем найти наибольший отрицательный член прогрессии 3.2 - 4.2 = -1. А сумма наибольшего с наименьшим равна -1 + 3.2 = 2.2 

1 2 3 > >>