прогрессия »

найти 3 члена арифметической прогрессии - страница 2

  • Арифметическая прогрессия 10; 3; -7. Найти сумму првых её 101 членов


    Решение: d=-7 a101=a1+100d=10+100*(-7)=-690

    Sn=a₁+an/2*n S₁₀₁=10+(-690)/2*101=-34340

     

    d - a a d - - Sn a an n S - -  ...

  • Если \( {a}_p \)=q

    \( {a}_q \)=p

    тогда найти n член {\( {a}_n \)} арифметической прогрессии, выразив его как p и q


    Решение: $$ a_n=a_1+(n-1)d, \\ a_p=a_1+(p-1)d=q, \\ a_q=a_1+(q-1)d=p, \\ a_1=q-(p-1)d, \\ q-(p-1)d+(q-1)d=p, \\ (q-1-(p-1))d=p-q, \\ (q-p)d=p-q, \\ d=-1, \\ a_1=q+p-1, \\ a_n=q+p+1-(n-1)=q+p-n+2 $$

    a p =q

    a q =p

    a n= a1+d(n-1) 

    a p= a1+d(p-1) =q

    a q= a1+d(q-1) =p

    d=q-a1/p-1

    d=p-a1/q-1

    q-a1/p-1 = p-a1/q-1

    (q-a1)(q-1) = (p-a1)( p-1)

    отудого a1=p+q-1 ставим значит d=-1

    an = p+q-1+(n-1)=p+q-1+1-n=p+q-n

  • В арифметической прогрессии известны члены a11=-156, a36=169. найти номер n-го члена этой прогрессии, начиная с которого все ее члены положительны.


    Решение: A(11) = a(1) + 10d
    a(36) = a(1) + 35d
    -156 = a(1) + 10d
    169 = a(1) + 35d
    Вычтем из второго уравнения первое:
    325 = 25d
    d = 13
    Составим неравенство:
    a(n) = a(1) + d(n -1)
    Найдем a(1): 169 = a(1) + 455 => a(1) = -286
    a(n) = -286 + d(n -1)
    -286 + d(n -1) > 0 
    d(n - 1) > 286
    13n - 13 > 286
    13n > 299
    n > 23
    23 член прогрессии равен нулю, а вот уже 24 - положителен.
    Ответ: 24

  • Найти восьмой член арифметической прогрессии, если
    \( a_2+a_5-a_3=21\\ a_3+a_6=-9 \)


    Решение: А2+а5-а3=21
    а3+а6=-9
    а1+d+a1+4d-a1-2d=21
    а1+2d+а1+5d=-9
    a1+3d=21/(-2)
    2a1+7d=-9
    -2a1-6d=-42
    2a1+7d=-9
    d=-51
    a1-153=21
    a1=174
    a8=a1+7d=174+7*(-51)=-183
    Ответ: -183.

    а1+в+а1+4в-а1-2в=21
    а1+3в=21
    а1=21-3в
    а1+2в+а1+5в=-9
    2а1+7в=-9
    2(21-3в)+7в=-9
    42-6в+7в=-9
    в=-9-42
    в=-51
    а8=а1+7в
    а1=21-3*(-51)=174
    а8=174+7*(-51)  =174-357=-183
    ответ:8 член будет (-183)

  • В арифметической прогрессии 3;6;9. содержится 463 члена, а в арифметической прогрессии 2;6:10. содержится 351 член. Найти количество одинаковых членов в этих прогрессиях


    Решение: Если мы продолжим первую прогрессию, то получим:

    3 6 9 12 15 18 21 24 30 33 36 39 42 45 48 51 54.

    Если продолжим вторую, то получим:

    2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62

    т. е. в первой прогрессии в каждой последующей четверке имеется число, находящееся во второй последовательности. Таких чисел будет 463:4=115 и 3 в остатке. Из этих первых трех чисел одно будет обязательно входить во вторую последовательность. т. е. одинаковых чисел будет 116.

    Аналогично в каждой тройке второй последовательности имеется число входящее в 1, таких чисел будет 351:3=117

    Берем наименьшее число, т. е. 116

    В первой прогрессий разность членов равна 6-3=3

    В второй прогрессий разность членов равна 6-2=4

    найдем последний член в первой прогрессий a463=3+462*3=1389

    второй a351=2+350*4 = 1402

    1) 3.6.9.12.15.18.21.24.27.30.33.36.39.42.45.48.51.54

    2) 2.6.10.14.18.22.26.30.34.38.42.46.50.54

     то есть видите в первой прогрессий и во второй наблюдаеться периодичность то есть законмерность кроме первых 6, идет так в первой через 3, во второй через 2 числа повторяються!

    всего в 1 -ой прог 463 члена значит зная период повторения 463-2=461 не учитываем посл

    461/4=115 так как четвертый уже будет число то есть всего 115 

    351-2=349/3=116 всего 116

  • В арифметической прогрессии девятый член больше четвертого члена на 10 и больше третьего в 5 раз. Найти сумму всех членов начиная с 200 до 300 члена


    Решение: 1) Т. к. в арифметической прогрессии девятый член больше четвертого члена на 10, то 

    a₉ - a₄ = 10.

    Поскольку a₉ = а₁ + 8d;  a₄ = а₁ + 3d, то

    а₁ + 8d -  а₁ - 3d = 10

    5d = 10

    d = 2

    2) Т. к. девятый член больше третьего в 5 раз, то a₉ = 5a₃.

    а₁ + 8d = 5(а₁ + 2d)

    а₁ + 8d = 5а₁ + 10d

    4а₁ = -2d

    а₁ = -0,5d = -0,5*2= -1

    Для вычисления  суммы всех членов начиная с 200 до 300 члена выполним переобозначения:

    b₁ =  a₂₀₀ = а₁ + 199d = -1 + 199*2= 397

    b₁₀₁ = a₃₀₀ = а₁ + 299d = -1 + 299*2= 597

    Тогда

    $$ S_{101}=\frac{b_1+b_{101}}{2}*101=\frac{397+597}{2}*101=50197 $$

    $$ a_9 = a_1+8d $$

    $$ a_4 = a_1+3d $$

    $$ a_9 - a_4=10 $$

    $$ (a_1+8d) - (a_1+3d)=10 $$

    $$ 5d=10 $$

    $$ d=2 $$

    $$ a_9 = a_1+8d=a_1+16 $$

    $$ a_3 = a_1+2d=a_1+4 $$

    $$ a_9 : a_3=5 $$

    $$ a_9 =5*a_3 $$

    $$ a_1+16 =5 (a_1+4) $$

    $$ a_1+16 =5a_1+20 $$

    $$ -4a_1 =4 $$

    $$ a_1 =-1 $$

    Сумму от 200 до 300 члена посчитаем так: найдем сумму от 1 до 300, и вычтем сумму от 1 до 199:

    $$ S_{300}=\frac{a_1+a_{300}}{2}*300=\frac{a_1+a_1+299*d}{2}*300=\\ =\frac{(-1)+(-1)+299*2}{2}*300=89400 $$

    $$ S_{199}=\frac{a_1+a_{199}}{2}*199=\frac{a_1+a_1+198*d}{2}*199=\\ =\frac{(-1)+(-1)+198*2}{2}*199=39203 $$

    S$$ S=S_{300}-S_{199}=89400-39203=50197 $$

  • Арифметическая прогрессия состоит из 105 членов. Сумма членов с нечетными номерами на 1 больше суммы остальных членов. Найти 53-й член прогрессии.


    Решение: Прогрессия нечетных членов имеет первым членом а1 и разность 2d (всего элементов 52)

    Прогрессия четных членов имеет первым членом а2 и разность 2d (всего элементов 53)

    $$ S_{odd} = (a_1+a_{105})\frac{53}{2}\\ S_{even} = (a_2 + a_{104})\frac{52}{2}\\ \\ (a_1+a_{105})\frac{53}{2} = (a_2 + a_{104})\frac{52}{2} + 1\\ 53a_1 + 53a_{105} = 52a_2+52a_{104} + 2\\ 53a_1 + 53(a_1+104d) = 52(a_1+d)+52(a_1+103d) + 2\\ 106a_1+5512d = 104a_1 + 5408d+2\\ 2a_1+104d = 2\\ a_1+52d = 1\\ a_{53} = 1 $$

  • Арифметическая прогрессия : -5,3,1;. Найти сумму членов этой прогрессии с пятого по пятнадцатый (включительно)


    Решение: A₅+a₆+.+a₁₅=S₁₅-S₄=135-(-8)=143
    Ответ 143, так как

    $$ S_n= \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$
    d=a₂-a₁=-3-(-5)=2
    $$ S_4= \frac{2\cdot(-5)+2\cdot(4-1)}{2}\cdot 4=-8 \\ \\ S_{15}= \frac{2\cdot(-5)+2\cdot(15-1)}{2}\cdot 15=135 $$
    или
    -5;-3;-1;1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23
    Найти сумму
    3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23=(3+23)+(5+21)+(7+19)+(9+17)+(11+15)+13=26+26+26+26+26+13=130+13=143

  • Найти сумму четырех целых чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, в которой наибольший член равен сумме квадратов остальных членов.


    Решение: Пусть эти числа a-d, a, a+d, a+2d. Понятно, что a и d должны быть целыми.
    Тогда (a-d)²+a²+(a+d)²=a+2d, т. е. 3a²-a+2d(d-1)=0
    Если посмотреть на это как на квадратное уравнение относительно а, то D=1-24d(d-1)≥0. При целых d это возможно только при d=0 (что не подходит, т. к. прогрессия возрастающая) или d=1. Итак, d=1, откуда a=0 (a=1/3 не подходит), т. е. эти числа: -1, 0, 1, 2.

  • Найти пятый член арифметической прогрессии. найти пятый член арифметической прогрессии, если b2=6, b4=54


    Решение: 1. Итак что бы найти b5 нужно: Найти d.
    2. Для этого через b4 и b2 выразить d.
    3. Формула арифметической прогрессии: b2=b1+d
    4. Чтобы найти b4 надо: b4=b3+d=b2+2d.
    5. Подставляем числа: 54=6+2d.
      (54-6):2=d
      24=d
    6. Чтобы найти b5: нужно b4+d.
    7. Подставляем: b5=54+24=78.
    Ответ: b5=78

<< < 12 3 4 > >>