прогрессия »

найти 3 члена арифметической прогрессии - страница 4

  • В арифметической прогрессии девятый член больше четвертого члена на 10 и больше третьего в 5 раз. Найти сумму всех членов начиная с 200 до 300 члена


    Решение: 1) Т. к. в арифметической прогрессии девятый член больше четвертого члена на 10, то 

    a₉ - a₄ = 10.

    Поскольку a₉ = а₁ + 8d;  a₄ = а₁ + 3d, то

    а₁ + 8d -  а₁ - 3d = 10

    5d = 10

    d = 2

    2) Т. к. девятый член больше третьего в 5 раз, то a₉ = 5a₃.

    а₁ + 8d = 5(а₁ + 2d)

    а₁ + 8d = 5а₁ + 10d

    4а₁ = -2d

    а₁ = -0,5d = -0,5*2= -1

    Для вычисления  суммы всех членов начиная с 200 до 300 члена выполним переобозначения:

    b₁ =  a₂₀₀ = а₁ + 199d = -1 + 199*2= 397

    b₁₀₁ = a₃₀₀ = а₁ + 299d = -1 + 299*2= 597

    Тогда

    $$ S_{101}=\frac{b_1+b_{101}}{2}*101=\frac{397+597}{2}*101=50197 $$

    $$ a_9 = a_1+8d $$

    $$ a_4 = a_1+3d $$

    $$ a_9 - a_4=10 $$

    $$ (a_1+8d) - (a_1+3d)=10 $$

    $$ 5d=10 $$

    $$ d=2 $$

    $$ a_9 = a_1+8d=a_1+16 $$

    $$ a_3 = a_1+2d=a_1+4 $$

    $$ a_9 : a_3=5 $$

    $$ a_9 =5*a_3 $$

    $$ a_1+16 =5 (a_1+4) $$

    $$ a_1+16 =5a_1+20 $$

    $$ -4a_1 =4 $$

    $$ a_1 =-1 $$

    Сумму от 200 до 300 члена посчитаем так: найдем сумму от 1 до 300, и вычтем сумму от 1 до 199:

    $$ S_{300}=\frac{a_1+a_{300}}{2}*300=\frac{a_1+a_1+299*d}{2}*300=\\ =\frac{(-1)+(-1)+299*2}{2}*300=89400 $$

    $$ S_{199}=\frac{a_1+a_{199}}{2}*199=\frac{a_1+a_1+198*d}{2}*199=\\ =\frac{(-1)+(-1)+198*2}{2}*199=39203 $$

    S$$ S=S_{300}-S_{199}=89400-39203=50197 $$

  • Арифметическая прогрессия состоит из 105 членов. Сумма членов с нечетными номерами на 1 больше суммы остальных членов. Найти 53-й член прогрессии.


    Решение: Прогрессия нечетных членов имеет первым членом а1 и разность 2d (всего элементов 52)

    Прогрессия четных членов имеет первым членом а2 и разность 2d (всего элементов 53)

    $$ S_{odd} = (a_1+a_{105})\frac{53}{2}\\ S_{even} = (a_2 + a_{104})\frac{52}{2}\\ \\ (a_1+a_{105})\frac{53}{2} = (a_2 + a_{104})\frac{52}{2} + 1\\ 53a_1 + 53a_{105} = 52a_2+52a_{104} + 2\\ 53a_1 + 53(a_1+104d) = 52(a_1+d)+52(a_1+103d) + 2\\ 106a_1+5512d = 104a_1 + 5408d+2\\ 2a_1+104d = 2\\ a_1+52d = 1\\ a_{53} = 1 $$

  • Арифметическая прогрессия : -5,3,1;. Найти сумму членов этой прогрессии с пятого по пятнадцатый (включительно)


    Решение: A₅+a₆+.+a₁₅=S₁₅-S₄=135-(-8)=143
    Ответ 143, так как

    $$ S_n= \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$
    d=a₂-a₁=-3-(-5)=2
    $$ S_4= \frac{2\cdot(-5)+2\cdot(4-1)}{2}\cdot 4=-8 \\ \\ S_{15}= \frac{2\cdot(-5)+2\cdot(15-1)}{2}\cdot 15=135 $$
    или
    -5;-3;-1;1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23
    Найти сумму
    3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23=(3+23)+(5+21)+(7+19)+(9+17)+(11+15)+13=26+26+26+26+26+13=130+13=143

  • Найти сумму четырех целых чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, в которой наибольший член равен сумме квадратов остальных членов.


    Решение: Пусть эти числа a-d, a, a+d, a+2d. Понятно, что a и d должны быть целыми.
    Тогда (a-d)²+a²+(a+d)²=a+2d, т. е. 3a²-a+2d(d-1)=0
    Если посмотреть на это как на квадратное уравнение относительно а, то D=1-24d(d-1)≥0. При целых d это возможно только при d=0 (что не подходит, т. к. прогрессия возрастающая) или d=1. Итак, d=1, откуда a=0 (a=1/3 не подходит), т. е. эти числа: -1, 0, 1, 2.

  • Найти пятый член арифметической прогрессии. найти пятый член арифметической прогрессии, если b2=6, b4=54


    Решение: 1. Итак что бы найти b5 нужно: Найти d.
    2. Для этого через b4 и b2 выразить d.
    3. Формула арифметической прогрессии: b2=b1+d
    4. Чтобы найти b4 надо: b4=b3+d=b2+2d.
    5. Подставляем числа: 54=6+2d.
      (54-6):2=d
      24=d
    6. Чтобы найти b5: нужно b4+d.
    7. Подставляем: b5=54+24=78.
    Ответ: b5=78

<< < 234 5 6 > >>