прогрессия » арифметическая прогрессия - страница 2
  • Арифметическая прогрессия, A₁*a₁₁=24, a₁₁=a₁+10d. Надо найти а1, d


    Решение: A₁*a₁₁=24, учтем чтоa₁₁=a₁+10d, тогда a₁(a₁+10d)=24 или a₁²+10a₁d=24
    a₂+a₁₀=14, a₁+d+a₁+9d=2a₁+10d=14 или a₁+5d=7
    Решаем систему
    a₁²+10a₁d=24
    a₁+5d=7
    5d=7-a₁
    a₁²+2(7-a₁)a₁=24
    a₁²+14a₁-2a₁²-24=0
    14a₁-a₁²-24=0
    a₁²-14a₁+24=0
    D=14²-4*24=196-96=100
    a₁=(14-10)/2=2 d=(7-2)/5=1
    или
    a₁=(14+10)/2=12 d=(7-12)/5=-1
    Ответ:a₁=2, d=1  и a₁=12, d=-1

  • Арифметическая прогрессия
    S7 = 4 * S5
    a20 = 54
    a1 = ?


    Решение: $$ a_n=a_1+(n-1)d $$ - общая формула
    $$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)d}{2a}\cdot n $$ - сумма n членов
    $$ a_{20}=a_1+19d $$
    $$ S_7=4S_5 \\ \frac{2a_1+6d}{2}\cdot 7 =4\cdot \frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5 \\ 7(a_1+3d)=10(2a_1+4d)\\ 7a_1+21d=20a_1+40d \\ 13a_1+19d=0 $$
    Запишем в систему
    $$ \left \{ {{13a_1+19d=0} \atop {54=a_1+19d}} \right. =\ > \ \left \{ {{13a_1+54-a_1=0} \atop {19d=54-a_1}} \right. \\ 12a_1=-54\\ a_1=-4.5 $$

    $$ S_7 = S_5 + a_6 + a_7 = 4 S_5 $$
    $$ a_6 + a_7 = 3S_5 $$
    $$ 3 S_5 = 3 \cdot \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \dfrac{15}{2} (2a_1 + 4d) = 15(a_1 + 2d) = 15a_3 $$
    $$ 15a_3 = a_6 + a_7 = a_3 + 3d + a_{10} - 3d = a_3 + a_{10}, \\ 14a_3 = a_{10} \\ 14a_3 = a_3 + 7d, \\ 13a_3 = 13(a_1 + 2d) = 13a_1 + 26d = 7d, \\ 13a_1 = -19d $$
    $$ a_{20} = a_1 + 19d = a_1 - 13a_1 = -12a_1 = 54, \quad a_1 = -\dfrac{54}{12} = -4{,}5 $$
    Ответ: -4,5

  • Пятый член ариф. прогрессии равен 15 сумма четвертого и одиннадцатого равна 40 найти произведение второго и третьего членов


    Решение: Решение 
    а (n) = а (1) + d(n-1) 
    формула любого члена арифметической прогрессии 
    Распишем по этой формуле условие задачи, тогда получим систему из двух уравнений 
    1) а (1) +4d = 15 
    2) а (1) +3d + а (1) +10d =40 или 
    2а (1) +13d = 40 
    Решая эту систему получим 
    а (1) = 7 и d =2 
    3) тогда а (2) = а (1) +d = 7+2 =9 
    а (3) = а (1) +2d = 7+4 =11 
    4) а (2)*а (3) = 9*11 =99

  • Величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти в градусах меньший угол, если больший равен 105


    Решение: 105+105+a+105+2a=180
    315+3a=180
    3a=-315+180
    3a= -135
    a=45 градусов

    Вот решение: (рядом более простая форма, но эти решения для похожих задач, более сложных, тренирует ариф. прогрессию)

    a a a a - a - a градусов Вот решение рядом более простая форма но эти решения для похожих задач более сложных  тренирует ариф. прогрессию...
  • Длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Найти синус большего острого угла.


    Решение: Стороны обозначим х, х+d и х+2d.
    Тогда по теореме Пифагора х²+(х+d)²=(х+2d)²
    х²+х²+2dх+d²=х² +4dx+4d²
    x²-2dx-3d²=0
    Разделим уравнение на d²
    (x/d)² -2*(x/d)-3=0
    Обозначим x/d=y.
    y²-2y-3=0
    D/4=1+3=4
    y₁=1+√4=3
    y₂=1-√4=-1 - не удовлетворяет смыслу задачи.
    Тогда х/d=3
    x=3d
    тогда стороны треугольника будут равны 3d, 4d, 5d (классический треугольник Пифагора со сторонами 3,4,5 и подобные ему).
    синус большего острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
    sinα=4d/5d=0,8

    Стороны обозначим х  х d и х d.Тогда по теореме Пифагора х х d х d х х dх d х dx d x - dx- d Разделим уравнение на d x d - x d - Обозначим x d y.y - y- D y y - - - не удовлетв...
  • Стороны прямоугольного треугольника создают арифметическую прогрессию, меньший катет 18см. Нужно найти, чему равна площадь.


    Решение: а1, а2, а3- арифметическая прогрессия 

    а2=а1+d, a3=a1+2d

    а1 и а2 - катеты, а3 - гипотенуза

    теорема Пифагора:

    а3ֶ=a1ֶ+a2ֶ

    (a+2d)ֶ=aֶ+(a+d)ֶ

    3dֶ+2ad-aֶ=0

    D1=aֶ+3aֶ=4aֶ=(2a)ֶ

    d1=(-a-2a)/3)=-a

    d2=(-a+2a)/3=1/3a

    d=1/3a=>a2=a+1/3a=4/3a, a3=a+2/3a=5/3a

    Площадь прямоугольного треугольника

    S=1/2*a1*a2=1/2*a*4/3a

    S=2/3aֶ

     S=2/3*18ֶ=216смֶ

    Ответ: 16 смֶ

    Пусть а₁ и а₂ - катеты; а₃ - гипотенуза;

    арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃
    а₂ = а₁ + d, a₃ = a₁ + 2d;
    По теореме Пифагора:
    а₃² = a₁² + a₂²
    (a₁ +2d)’² = a₁² + (a₁ + d)²
    3d² + 2a₁d - a₁² = 0
    D₁=a² + 3a² = 4a² = (2a)²
    d₁ = (-a₁ - 2a₁)/3 = -a₁
    d₂=(-a₁ + 2a₁)/3=1/3a₁
    d=1/3a₁, a₂=a₁+1/3a=4/3a₁, a3=a₁+2/3 a₁=5/3a₁
    Площадь:

    S=1/2*a₁*a₂=1/2*a*4/3a
    S=2/3a²
     S=2/3*18²=216(см²)
    Ответ: 16(см²).

  • Длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифм. прогрессию. Периметр треугольника равенг 24. Найти длины сторон треугольника.


    Решение: одна сторона х 

    вторая х+1

    третья х+2

    периметр х+ х+1 + х+2 =24

    3х +3 =24

    3х = 21

    х =7

    х+1=8

    х+2=9

    ответ 7,8,9

    Пусть одна сторона - х ед, вторая х+k ед, третья х+2k  ед. Периметр х+ х+k + х+2k =24

    3х +3k =24

    3х = 24-3k

    х =8-k (ед) - одна сторона

    х+k=8(ед) - вторая

    х+2k=8+k(ед) третья

    ответ 8-k,8,8+k ед.

  • В прямоугольном треугольнике короткий катет равен 6 см, найти площадь, если стороны образуют арифметическую прогрессию


    Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значит
    а₁-короткий катет
    а₂-больший катет
    а₃-гипотенуза
    д-разность прогрессии
    а₁=6
    а₂=6+д
    а₃=6+2д
    а₃²=а₁²+а₂²
    получим
    (6+2д)²=36+(6+д)²
    36+24д+4д²=36+36+12д+д²
    3д²+12д-36=0
    д²+4д-12=0
    дискриминант=16-4*(-12)=64
    д=(-4+8)/2=2
    значит
    а₁=6
    а₂=8
    а₃=10 
    теперь площаль прямоугольного треугольника равна
    а₁*а₂/2=24см²
  • Периметр прямоугольного треугольника равен 12см. Найти радиус вписанной окружности, если известно, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.


    Решение: Пусть для начала стороны x, 12-(x+y), y.

    2*(12-(x+y))=x+y, т. е. x+y=8, знаем один катет, равный 12-8=4.

    Пусть неизвестный катет равен Х. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна sqrt(X^2+16).

    X+sqrt(X^2+16)=8

    sqrt(X^2+16)=8-X

    X^2+16=X^2-16X+64

    16X=48

    X=3

    Теперь понятно, что речь идет о треугольнике со сторонами 3-4-5.

    S=0.5*3*4=6

    S=pr=6r

    r=1

  • В прямоугольном треугольнике самый короткий катет равен 6 см. Найти площадь треугольника, если стороны этого треугольника образуют арифметическую прогрессию.


    Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значит

    а₁-короткий катет

    а₂-больший катет

    а₃-гипотенуза

    д-разность прогрессии

    а₁=6

    а₂=6+д

    а₃=6+2д

    а₃²=а₁²+а₂²

    получим

    (6+2д)²=36+(6+д)²

    36+24д+4д²=36+36+12д+д²

    3д²+12д-36=0

    д²+4д-12=0

    дискриминант=16-4*(-12)=64

    д=(-4+8)/2=2

    значит

    а₁=6

    а₂=8

    а₃=10

    теперь площаль прямоугольного треугольника равна

    а₁*а₂/2=24см²

<< < 1 2 3 > >>