арифметическая прогрессия - страница 2
Арифметическая прогрессия, A₁*a₁₁=24, a₁₁=a₁+10d. Надо найти а1, d
Решение: A₁*a₁₁=24, учтем чтоa₁₁=a₁+10d, тогда a₁(a₁+10d)=24 или a₁²+10a₁d=24
a₂+a₁₀=14, a₁+d+a₁+9d=2a₁+10d=14 или a₁+5d=7
Решаем систему
a₁²+10a₁d=24
a₁+5d=7
5d=7-a₁
a₁²+2(7-a₁)a₁=24
a₁²+14a₁-2a₁²-24=0
14a₁-a₁²-24=0
a₁²-14a₁+24=0
D=14²-4*24=196-96=100
a₁=(14-10)/2=2 d=(7-2)/5=1
или
a₁=(14+10)/2=12 d=(7-12)/5=-1
Ответ:a₁=2, d=1 и a₁=12, d=-1
Арифметическая прогрессия
S7 = 4 * S5
a20 = 54
a1 = ?
Решение: $$ a_n=a_1+(n-1)d $$ - общая формула
$$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)d}{2a}\cdot n $$ - сумма n членов
$$ a_{20}=a_1+19d $$
$$ S_7=4S_5 \\ \frac{2a_1+6d}{2}\cdot 7 =4\cdot \frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5 \\ 7(a_1+3d)=10(2a_1+4d)\\ 7a_1+21d=20a_1+40d \\ 13a_1+19d=0 $$
Запишем в систему
$$ \left \{ {{13a_1+19d=0} \atop {54=a_1+19d}} \right. =\ > \ \left \{ {{13a_1+54-a_1=0} \atop {19d=54-a_1}} \right. \\ 12a_1=-54\\ a_1=-4.5 $$
$$ S_7 = S_5 + a_6 + a_7 = 4 S_5 $$
$$ a_6 + a_7 = 3S_5 $$
$$ 3 S_5 = 3 \cdot \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \dfrac{15}{2} (2a_1 + 4d) = 15(a_1 + 2d) = 15a_3 $$
$$ 15a_3 = a_6 + a_7 = a_3 + 3d + a_{10} - 3d = a_3 + a_{10}, \\ 14a_3 = a_{10} \\ 14a_3 = a_3 + 7d, \\ 13a_3 = 13(a_1 + 2d) = 13a_1 + 26d = 7d, \\ 13a_1 = -19d $$
$$ a_{20} = a_1 + 19d = a_1 - 13a_1 = -12a_1 = 54, \quad a_1 = -\dfrac{54}{12} = -4{,}5 $$
Ответ: -4,5
Пятый член ариф. прогрессии равен 15 сумма четвертого и одиннадцатого равна 40 найти произведение второго и третьего членов
Решение: Решение
а (n) = а (1) + d(n-1)
формула любого члена арифметической прогрессии
Распишем по этой формуле условие задачи, тогда получим систему из двух уравнений
1) а (1) +4d = 15
2) а (1) +3d + а (1) +10d =40 или
2а (1) +13d = 40
Решая эту систему получим
а (1) = 7 и d =2
3) тогда а (2) = а (1) +d = 7+2 =9
а (3) = а (1) +2d = 7+4 =11
4) а (2)*а (3) = 9*11 =99Величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти в градусах меньший угол, если больший равен 105
Решение: 105+105+a+105+2a=180
315+3a=180
3a=-315+180
3a= -135
a=45 градусовВот решение: (рядом более простая форма, но эти решения для похожих задач, более сложных, тренирует ариф. прогрессию)
Длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Найти синус большего острого угла.
Решение: Стороны обозначим х, х+d и х+2d.
Тогда по теореме Пифагора х²+(х+d)²=(х+2d)²
х²+х²+2dх+d²=х² +4dx+4d²
x²-2dx-3d²=0
Разделим уравнение на d²
(x/d)² -2*(x/d)-3=0
Обозначим x/d=y.
y²-2y-3=0
D/4=1+3=4
y₁=1+√4=3
y₂=1-√4=-1 - не удовлетворяет смыслу задачи.
Тогда х/d=3
x=3d
тогда стороны треугольника будут равны 3d, 4d, 5d (классический треугольник Пифагора со сторонами 3,4,5 и подобные ему).
синус большего острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
sinα=4d/5d=0,8
Стороны прямоугольного треугольника создают арифметическую прогрессию, меньший катет 18см. Нужно найти, чему равна площадь.
Решение: а1, а2, а3- арифметическая прогрессияа2=а1+d, a3=a1+2d
а1 и а2 - катеты, а3 - гипотенуза
теорема Пифагора:
а3ֶ=a1ֶ+a2ֶ
(a+2d)ֶ=aֶ+(a+d)ֶ
3dֶ+2ad-aֶ=0
D1=aֶ+3aֶ=4aֶ=(2a)ֶ
d1=(-a-2a)/3)=-a
d2=(-a+2a)/3=1/3a
d=1/3a=>a2=a+1/3a=4/3a, a3=a+2/3a=5/3a
Площадь прямоугольного треугольника
S=1/2*a1*a2=1/2*a*4/3a
S=2/3aֶ
S=2/3*18ֶ=216смֶ
Ответ: 16 смֶ
Пусть а₁ и а₂ - катеты; а₃ - гипотенуза;
арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃
а₂ = а₁ + d, a₃ = a₁ + 2d;
По теореме Пифагора:
а₃² = a₁² + a₂²
(a₁ +2d)’² = a₁² + (a₁ + d)²
3d² + 2a₁d - a₁² = 0
D₁=a² + 3a² = 4a² = (2a)²
d₁ = (-a₁ - 2a₁)/3 = -a₁
d₂=(-a₁ + 2a₁)/3=1/3a₁
d=1/3a₁, a₂=a₁+1/3a=4/3a₁, a3=a₁+2/3 a₁=5/3a₁
Площадь:S=1/2*a₁*a₂=1/2*a*4/3a
S=2/3a²
S=2/3*18²=216(см²)
Ответ: 16(см²).Длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифм. прогрессию. Периметр треугольника равенг 24. Найти длины сторон треугольника.
Решение: одна сторона хвторая х+1
третья х+2
периметр х+ х+1 + х+2 =24
3х +3 =24
3х = 21
х =7
х+1=8
х+2=9
ответ 7,8,9
Пусть одна сторона - х ед, вторая х+k ед, третья х+2k ед. Периметр х+ х+k + х+2k =24
3х +3k =24
3х = 24-3k
х =8-k (ед) - одна сторона
х+k=8(ед) - вторая
х+2k=8+k(ед) третья
ответ 8-k,8,8+k ед.
В прямоугольном треугольнике короткий катет равен 6 см, найти площадь, если стороны образуют арифметическую прогрессию
Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значит
а₁-короткий катет
а₂-больший катет
а₃-гипотенуза
д-разность прогрессии
а₁=6
а₂=6+д
а₃=6+2д
а₃²=а₁²+а₂²
получим
(6+2д)²=36+(6+д)²
36+24д+4д²=36+36+12д+д²
3д²+12д-36=0
д²+4д-12=0
дискриминант=16-4*(-12)=64
д=(-4+8)/2=2
значит
а₁=6
а₂=8
а₃=10
теперь площаль прямоугольного треугольника равна
а₁*а₂/2=24см²Периметр прямоугольного треугольника равен 12см. Найти радиус вписанной окружности, если известно, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Решение: Пусть для начала стороны x, 12-(x+y), y.2*(12-(x+y))=x+y, т. е. x+y=8, знаем один катет, равный 12-8=4.
Пусть неизвестный катет равен Х. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна sqrt(X^2+16).
X+sqrt(X^2+16)=8
sqrt(X^2+16)=8-X
X^2+16=X^2-16X+64
16X=48
X=3
Теперь понятно, что речь идет о треугольнике со сторонами 3-4-5.
S=0.5*3*4=6
S=pr=6r
r=1
В прямоугольном треугольнике самый короткий катет равен 6 см. Найти площадь треугольника, если стороны этого треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значита₁-короткий катет
а₂-больший катет
а₃-гипотенуза
д-разность прогрессии
а₁=6
а₂=6+д
а₃=6+2д
а₃²=а₁²+а₂²
получим
(6+2д)²=36+(6+д)²
36+24д+4д²=36+36+12д+д²
3д²+12д-36=0
д²+4д-12=0
дискриминант=16-4*(-12)=64
д=(-4+8)/2=2
значит
а₁=6
а₂=8
а₃=10
теперь площаль прямоугольного треугольника равна
а₁*а₂/2=24см²
