прогрессия »

арифметическая прогрессия - страница 4

  • Стороны прямоугольного треугольника создают арифметическую прогрессию, меньший катет 18см. Нужно найти, чему равна площадь.


    Решение: а1, а2, а3- арифметическая прогрессия 

    а2=а1+d, a3=a1+2d

    а1 и а2 - катеты, а3 - гипотенуза

    теорема Пифагора:

    а3ֶ=a1ֶ+a2ֶ

    (a+2d)ֶ=aֶ+(a+d)ֶ

    3dֶ+2ad-aֶ=0

    D1=aֶ+3aֶ=4aֶ=(2a)ֶ

    d1=(-a-2a)/3)=-a

    d2=(-a+2a)/3=1/3a

    d=1/3a=>a2=a+1/3a=4/3a, a3=a+2/3a=5/3a

    Площадь прямоугольного треугольника

    S=1/2*a1*a2=1/2*a*4/3a

    S=2/3aֶ

     S=2/3*18ֶ=216смֶ

    Ответ: 16 смֶ

    Пусть а₁ и а₂ - катеты; а₃ - гипотенуза;

    арифметическая прогрессия: а₁, а₂, а₃
    а₂ = а₁ + d, a₃ = a₁ + 2d;
    По теореме Пифагора:
    а₃² = a₁² + a₂²
    (a₁ +2d)’² = a₁² + (a₁ + d)²
    3d² + 2a₁d - a₁² = 0
    D₁=a² + 3a² = 4a² = (2a)²
    d₁ = (-a₁ - 2a₁)/3 = -a₁
    d₂=(-a₁ + 2a₁)/3=1/3a₁
    d=1/3a₁, a₂=a₁+1/3a=4/3a₁, a3=a₁+2/3 a₁=5/3a₁
    Площадь:

    S=1/2*a₁*a₂=1/2*a*4/3a
    S=2/3a²
     S=2/3*18²=216(см²)
    Ответ: 16(см²).

  • Длины сторон прямоугольного треугольника составляют арифм. прогрессию. Периметр треугольника равенг 24. Найти длины сторон треугольника.


    Решение: одна сторона х 

    вторая х+1

    третья х+2

    периметр х+ х+1 + х+2 =24

    3х +3 =24

    3х = 21

    х =7

    х+1=8

    х+2=9

    ответ 7,8,9

    Пусть одна сторона - х ед, вторая х+k ед, третья х+2k  ед. Периметр х+ х+k + х+2k =24

    3х +3k =24

    3х = 24-3k

    х =8-k (ед) - одна сторона

    х+k=8(ед) - вторая

    х+2k=8+k(ед) третья

    ответ 8-k,8,8+k ед.

  • В прямоугольном треугольнике короткий катет равен 6 см, найти площадь, если стороны образуют арифметическую прогрессию


    Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значит
    а₁-короткий катет
    а₂-больший катет
    а₃-гипотенуза
    д-разность прогрессии
    а₁=6
    а₂=6+д
    а₃=6+2д
    а₃²=а₁²+а₂²
    получим
    (6+2д)²=36+(6+д)²
    36+24д+4д²=36+36+12д+д²
    3д²+12д-36=0
    д²+4д-12=0
    дискриминант=16-4*(-12)=64
    д=(-4+8)/2=2
    значит
    а₁=6
    а₂=8
    а₃=10 
    теперь площаль прямоугольного треугольника равна
    а₁*а₂/2=24см²

  • Периметр прямоугольного треугольника равен 12см. Найти радиус вписанной окружности, если известно, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.


    Решение: Пусть для начала стороны x, 12-(x+y), y.

    2*(12-(x+y))=x+y, т. е. x+y=8, знаем один катет, равный 12-8=4.

    Пусть неизвестный катет равен Х. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна sqrt(X^2+16).

    X+sqrt(X^2+16)=8

    sqrt(X^2+16)=8-X

    X^2+16=X^2-16X+64

    16X=48

    X=3

    Теперь понятно, что речь идет о треугольнике со сторонами 3-4-5.

    S=0.5*3*4=6

    S=pr=6r

    r=1

  • В прямоугольном треугольнике самый короткий катет равен 6 см. Найти площадь треугольника, если стороны этого треугольника образуют арифметическую прогрессию.


    Решение: Катеты образуют арифметическую прогрессию, значит

    а₁-короткий катет

    а₂-больший катет

    а₃-гипотенуза

    д-разность прогрессии

    а₁=6

    а₂=6+д

    а₃=6+2д

    а₃²=а₁²+а₂²

    получим

    (6+2д)²=36+(6+д)²

    36+24д+4д²=36+36+12д+д²

    3д²+12д-36=0

    д²+4д-12=0

    дискриминант=16-4*(-12)=64

    д=(-4+8)/2=2

    значит

    а₁=6

    а₂=8

    а₃=10

    теперь площаль прямоугольного треугольника равна

    а₁*а₂/2=24см²

<< < 234 5 > >>