прогрессия »

арифметическая прогрессия - страница 3

  • Арифметическая прогрессия, A₁*a₁₁=24, a₁₁=a₁+10d. Надо найти а1, d


    Решение: A₁*a₁₁=24, учтем чтоa₁₁=a₁+10d, тогда a₁(a₁+10d)=24 или a₁²+10a₁d=24
    a₂+a₁₀=14, a₁+d+a₁+9d=2a₁+10d=14 или a₁+5d=7
    Решаем систему
    a₁²+10a₁d=24
    a₁+5d=7
    5d=7-a₁
    a₁²+2(7-a₁)a₁=24
    a₁²+14a₁-2a₁²-24=0
    14a₁-a₁²-24=0
    a₁²-14a₁+24=0
    D=14²-4*24=196-96=100
    a₁=(14-10)/2=2 d=(7-2)/5=1
    или
    a₁=(14+10)/2=12 d=(7-12)/5=-1
    Ответ:a₁=2, d=1  и a₁=12, d=-1

  • Арифметическая прогрессия
    S7 = 4 * S5
    a20 = 54
    a1 = ?


    Решение: $$ a_n=a_1+(n-1)d $$ - общая формула
    $$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)d}{2a}\cdot n $$ - сумма n членов
    $$ a_{20}=a_1+19d $$
    $$ S_7=4S_5 \\ \frac{2a_1+6d}{2}\cdot 7 =4\cdot \frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5 \\ 7(a_1+3d)=10(2a_1+4d)\\ 7a_1+21d=20a_1+40d \\ 13a_1+19d=0 $$
    Запишем в систему
    $$ \left \{ {{13a_1+19d=0} \atop {54=a_1+19d}} \right. =\ > \ \left \{ {{13a_1+54-a_1=0} \atop {19d=54-a_1}} \right. \\ 12a_1=-54\\ a_1=-4.5 $$

    $$ S_7 = S_5 + a_6 + a_7 = 4 S_5 $$
    $$ a_6 + a_7 = 3S_5 $$
    $$ 3 S_5 = 3 \cdot \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \dfrac{15}{2} (2a_1 + 4d) = 15(a_1 + 2d) = 15a_3 $$
    $$ 15a_3 = a_6 + a_7 = a_3 + 3d + a_{10} - 3d = a_3 + a_{10}, \\ 14a_3 = a_{10} \\ 14a_3 = a_3 + 7d, \\ 13a_3 = 13(a_1 + 2d) = 13a_1 + 26d = 7d, \\ 13a_1 = -19d $$
    $$ a_{20} = a_1 + 19d = a_1 - 13a_1 = -12a_1 = 54, \quad a_1 = -\dfrac{54}{12} = -4{,}5 $$
    Ответ: -4,5

  • Пятый член ариф. прогрессии равен 15 сумма четвертого и одиннадцатого равна 40 найти произведение второго и третьего членов


    Решение: Решение 
    а (n) = а (1) + d(n-1) 
    формула любого члена арифметической прогрессии 
    Распишем по этой формуле условие задачи, тогда получим систему из двух уравнений 
    1) а (1) +4d = 15 
    2) а (1) +3d + а (1) +10d =40 или 
    2а (1) +13d = 40 
    Решая эту систему получим 
    а (1) = 7 и d =2 
    3) тогда а (2) = а (1) +d = 7+2 =9 
    а (3) = а (1) +2d = 7+4 =11 
    4) а (2)*а (3) = 9*11 =99

  • Величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найти в градусах меньший угол, если больший равен 105


    Решение: 105+105+a+105+2a=180
    315+3a=180
    3a=-315+180
    3a= -135
    a=45 градусов

    Вот решение: (рядом более простая форма, но эти решения для похожих задач, более сложных, тренирует ариф. прогрессию)

    a a a a - a - a градусов Вот решение рядом более простая форма но эти решения для похожих задач более сложных  тренирует ариф. прогрессию...

  • Длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Найти синус большего острого угла.


    Решение: Стороны обозначим х, х+d и х+2d.
    Тогда по теореме Пифагора х²+(х+d)²=(х+2d)²
    х²+х²+2dх+d²=х² +4dx+4d²
    x²-2dx-3d²=0
    Разделим уравнение на d²
    (x/d)² -2*(x/d)-3=0
    Обозначим x/d=y.
    y²-2y-3=0
    D/4=1+3=4
    y₁=1+√4=3
    y₂=1-√4=-1 - не удовлетворяет смыслу задачи.
    Тогда х/d=3
    x=3d
    тогда стороны треугольника будут равны 3d, 4d, 5d (классический треугольник Пифагора со сторонами 3,4,5 и подобные ему).
    синус большего острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
    sinα=4d/5d=0,8

    Стороны обозначим х  х d и х d.Тогда по теореме Пифагора х х d х d х х dх d х dx d x - dx- d Разделим уравнение на d x d - x d - Обозначим x d y.y - y- D y y - - - не удовлетв...
<< < 123 4 5 > >>