бесконечная прогрессия

1. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби. 2.найти производную функции у=х/х в квадрате +1 3.докажите, что функция у=(2х+3) в 9 степени удовлетворяет соотношению 3у=(2х+3)в 5 степени * под знаком корня у`/2 4.найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов

1========

1.1818181818...   = 1+(18/100+18/10000+18/1000000+... ) выражениее в скобках это сумма бесконечно убывающей геом. прогрессии, найдем элементы этой прогрессии:

b1 = 18/100  q = b2/b1 = (18/10000) / (18/100) = 1/100

(сумма убыв. геом. прогрессии)

S = b1/(1-q) = (18/100) / (1-1/100) = 18/(100* 1-1/100) 18/(100*99/100) 

(трехэтажная дробь, 100 сокращается)  = 18/99 = 2/11

следовательно 1.18181818 = 1 + 2/11 = 1 цел 2/11

2=====

[x/(x^2+1)]’

используем две формулы дифференцирования

(u/v)’ = (vu’-uv’)/v^2 (деление)

и

(x^n)’ = n x^(n-1) (степенная)

вычисляем :

[ (x^2+1) * (x)’ - x * (x^2+1)’ ] / [ (x^2+1)^2 ] (дробь)

(x)’ = 1

и

(x^2+1)’ = 2x (смотри формулы выше, степенная)

[ (x^2+1) * 1 - x * 2x] / [ (x^2+1)^2 ] =

= [ (x^2+1) - 2x^2] / [ (x^2+1)^2 ]        (дробь)

Если есть желание, можно сокращать выражение

Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов.найдите второй член прогессии.

Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

$$ \frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2}, $$

$$ \frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}. $$

Или:

$$ \frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3, $$

$$ \frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}. $$

Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

$$ \frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \\ \ \\ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \\ \ \\ 3q^2+10q+3=0,\ \\ D=64 $$

$$ q_{1}=-\frac{1}{3},\ \\ \ \\ q_{2}=-3 $$ (не входит в ОДЗ).

Находим первый член прогрессии:

$$ b_{1}=3(1+q)=2. $$

Тогда второй член прогрессии:

$$ b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}. $$

Ответ: -2/3.

А1. Выпишите три следующих члена арифметической прогрессии:
а) 13; 10; …; б) 2х; 3х + 2; …
А2. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если b1 = 8, q = 0,5.
A3. Найдите сумму 29 первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1 = 18,7; а29 = -19,6.
А4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии -32; 64; …
В1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -40; 30; -22,5; …
C1. Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую прогрессию

1) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии если:
a) b1=6, q=-\( \frac{1}{3} \)
в) b1=12, q=\( \frac{5}{7} \)
2) Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:
а) q=-\( \frac{3}{4} \) и S=8
3) Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, если
а) b1=1 и S=\( \frac{2}{3} \)

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S(3) = b1(q³ - 1) / (q-1)

По осномвному свойству пропорции:

S(3) * (q-1) = b1(q³-1)

6.2(q³-1) = 80.6 * (q-1)

Разделим обе части уравнения на 6.2:

q³-1 = 13(q-1)

(q³ - 1) - 13(q-1) = 0

(q-1)(q² + q + 1) - 13(q-1) = 0

(q-1)(q² + q + 1 - 13) = 0

q - 1 = 0                                    или               q² + q + 1 - 13 = 0

 q = 1                                                               q² + q - 12 = 0

                                                                         q1 = -4; q2 = 3

Решая кубическое уравнение, мы получили, что знаменатель может быть равен одновременно и 1, и -4, и 3. Такого, естественно, быть не может. Поэтому определим тот знаменатель, который нам нужен, просто подставив его в формулу для расчёта суммы 3 первых членов.

6.2(1³ - 1)  / (1 - 1) явно не равно 80.6(более того, это выражение даже не имеет смысла, поскольку знаменатель при q = 1 обращается в 0). Значит, значение q = 1 нам не подходит. Продолжим проверку.

Пусть q = 3, тогда подставляя, получаем следующее:

6.2(3³ - 1) / (3 - 1) = 6.2 * 26 / 2 = 80.6 - как раз то, что нам нужно. Но проверим на всякий случай q = -4.

6.2((-4)³ - 1)  / (-4 - 1) = 6.2 * (-65) / (-5) = -403 / (-5) = 80.6 - сюрприз

Подсчёты показали, что возможны аж два варианта знаменателя, чего никак нельзя было ожидать. Таким образом, q = 3 или  q = -4

 Теперь найдём b3. Вполне очевидно, что будут тоже 2 значения.

b3 = b1q² = 6.2 * 3² = 6.2 * 9 = 55.8 - это первый вариант

b3 = 6.2 * (-4)² = 6.2 * 16 = 99.2 - вторая возможность

Таким образом, возможны два варианта прогрессии.

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 63, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна -18.