прогрессия »

бесконечная прогрессия

  • 1. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби. 2.найти производную функции у=х/х в квадрате +1 3.докажите, что функция у=(2х+3) в 9 степени удовлетворяет соотношению 3у=(2х+3)в 5 степени * под знаком корня у`/2 4.найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов


    Решение: 595+=5886969995959+53+5090+,69880,98820=988589

    1========

    1.1818181818...   = 1+(18/100+18/10000+18/1000000+... ) выражениее в скобках это сумма бесконечно убывающей геом. прогрессии, найдем элементы этой прогрессии:

    b1 = 18/100  q = b2/b1 = (18/10000) / (18/100) = 1/100

    (сумма убыв. геом. прогрессии)

    S = b1/(1-q) = (18/100) / (1-1/100) = 18/(100* 1-1/100) 18/(100*99/100) 

    (трехэтажная дробь, 100 сокращается)  = 18/99 = 2/11

    следовательно 1.18181818 = 1 + 2/11 = 1 цел 2/11

    2=====

    [x/(x^2+1)]’

    используем две формулы дифференцирования

    (u/v)’ = (vu’-uv’)/v^2 (деление)

    и

    (x^n)’ = n x^(n-1) (степенная)

    вычисляем :

    [ (x^2+1) * (x)’ - x * (x^2+1)’ ] / [ (x^2+1)^2 ] (дробь)

    (x)’ = 1

    и

    (x^2+1)’ = 2x (смотри формулы выше, степенная)

    [ (x^2+1) * 1 - x * 2x] / [ (x^2+1)^2 ] =

    = [ (x^2+1) - 2x^2] / [ (x^2+1)^2 ]        (дробь)

    Если есть желание, можно сокращать выражение

  • Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов.найдите второй член прогессии.


    Решение:

    Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

    $$ \frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2}, $$

    $$ \frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}. $$

    Или:

    $$ \frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3, $$

    $$ \frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}. $$

    Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

    $$ \frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \\ \ \\ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \\ \ \\ 3q^2+10q+3=0,\ \\ D=64 $$

    $$ q_{1}=-\frac{1}{3},\ \\ \ \\ q_{2}=-3 $$ (не входит в ОДЗ).

    Находим первый член прогрессии:

    $$ b_{1}=3(1+q)=2. $$

    Тогда второй член прогрессии:

    $$ b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}. $$

    Ответ: -2/3.

  • А1. Выпишите три следующих члена арифметической прогрессии:
    а) 13; 10; …; б) 2х; 3х + 2; …
    А2. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если b1 = 8, q = 0,5.
    A3. Найдите сумму 29 первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1 = 18,7; а29 = -19,6.
    А4. Найдите знаменатель геометрической прогрессии -32; 64; …
    В1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -40; 30; -22,5; …
    C1. Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую прогрессию


    Решение: Дана арифметическая прогрессия:
    а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10, а11, а12, а13, а14, а15, а16, а17, а18, а19, а20.
    где аn = а1 + (n - 1)х
    х - некое произвольное число, которое прибавляется к каждому следующему члену прогрессии.
    Известно, что:
    а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 = 4
    Нужно найти:
    а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14 + а15 + а16 + а17 + а18 = ?

    Решение:
    а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 = а1 + 6х + а1 + 7х + а1 + 8х + а1 + 9х + а1 + 10 х + а1 + 11х = 6 а1 + 51х
    6 а1 + 51х = 4
    а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 + а11 + а12 + а13 + а14 + а15 + а16 + а17 + а18 = 18 а1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17)х = 18 а1 + 153х = 3 (6 а1 + 51х) = 3 * 4 = 12

    Ответ: 12

  • 1) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии если:
    a) b1=6, q=-\( \frac{1}{3} \)
    в) b1=12, q=\( \frac{5}{7} \)
    2) Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:
    а) q=-\( \frac{3}{4} \) и S=8
    3) Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, если
    а) b1=1 и S=\( \frac{2}{3} \)


    Решение: Вот подобный пример по нему, найди и решать научитеся )

    Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

    S(3) = b1(q³ - 1) / (q-1)

    По осномвному свойству пропорции:

    S(3) * (q-1) = b1(q³-1)

    6.2(q³-1) = 80.6 * (q-1)

    Разделим обе части уравнения на 6.2:

    q³-1 = 13(q-1)

    (q³ - 1) - 13(q-1) = 0

    (q-1)(q² + q + 1) - 13(q-1) = 0

    (q-1)(q² + q + 1 - 13) = 0

    q - 1 = 0                                    или               q² + q + 1 - 13 = 0

     q = 1                                                               q² + q - 12 = 0

                                                                             q1 = -4; q2 = 3

    Решая кубическое уравнение, мы получили, что знаменатель может быть равен одновременно и 1, и -4, и 3. Такого, естественно, быть не может. Поэтому определим тот знаменатель, который нам нужен, просто подставив его в формулу для расчёта суммы 3 первых членов.

    6.2(1³ - 1)  / (1 - 1) явно не равно 80.6(более того, это выражение даже не имеет смысла, поскольку знаменатель при q = 1 обращается в 0). Значит, значение q = 1 нам не подходит. Продолжим проверку.

    Пусть q = 3, тогда подставляя, получаем следующее:

    6.2(3³ - 1) / (3 - 1) = 6.2 * 26 / 2 = 80.6 - как раз то, что нам нужно. Но проверим на всякий случай q = -4.

    6.2((-4)³ - 1)  / (-4 - 1) = 6.2 * (-65) / (-5) = -403 / (-5) = 80.6 - сюрприз

    Подсчёты показали, что возможны аж два варианта знаменателя, чего никак нельзя было ожидать. Таким образом, q = 3 или  q = -4

     Теперь найдём b3. Вполне очевидно, что будут тоже 2 значения.

    b3 = b1q² = 6.2 * 3² = 6.2 * 9 = 55.8 - это первый вариант

    b3 = 6.2 * (-4)² = 6.2 * 16 = 99.2 - вторая возможность

    Таким образом, возможны два варианта прогрессии.

  • Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 63, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна -18.


    Решение: Для исходной бесконечно убывающей геом. прогрессии $$ (b_n) $$ по условию: $$ S=b_1+b_2+b_3+.=\dfrac{b_1}{1-q}=63 $$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
    Теперь рассмотрим прогрессию $$ (c_n) $$, составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т. е. $$ c_1=b_2,c_2=b_4,c_3=b_6, $$
    Эта новая прогрессия - также геом. бесконечно убывающая. Следовательно,
    $$ \tilde{S}=c_1+c_2+c_3+.=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=-18 $$, где $$ \tilde{q}=\dfrac{c_2}{c_1}=\dfrac{b_4}{b_2} $$ - знаменатель новой геом. прогрессии.
    Преобразуем:
    $$ \tilde{S}=-18=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2} $$
    Получаем систему: $$ \begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=63 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=-18 \end{cases} $$
    Делим первое уравнение на второе:
    $$ \dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\dfrac{63}{-18} \\ \dfrac{1+q}{q}=-\dfrac{7}{2} \\ 2+2q=-7q \\ 9q=-2 \\ q=- \frac{2}{9} $$
    Ответ: \( - \frac{2}{9} \)

  • Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогресси равна 36, а сумма всех членов этой прогресси с четными номерами равна 3


    Решение: Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( b_n \) имеем по условию: $$ S=b_1+b_2+b_3+.=\dfrac{b_1}{1-q}=36 $$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
    Теперь рассмотрим прогрессию \( c_n \), составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т. е. $$ c_1=b_2,\ c_2=b_4,\ c_3=b_6,\. $$. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,
    $$ \tilde{S}=c_1+c_2+c_3+.=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=3 $$, где $$ \tilde{q} $$ - знаменатель уже новой прогрессии.
    Преобразуем: 
    $$ \tilde{S}=3=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2} $$
    Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=36 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=3 \end{cases} $$
    Делим первое уравнение на второе:
    $$ \dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\frac{36}{3} \\ \dfrac{1+q}{q}=12 \\ 1+q=12q \\ 11q=1 \\ q= \frac{1}{11} $$
    Ответ: \( \frac{1}{11}\)

  • Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов равна 36, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 3


    Решение: Если геометрическая прогрессия убывающая, значит знаменатель q меньше 1. Пусть дана геометрическая прогрессия: b1; b1*q; b1*q²; b1*q³;. и ее сумма равна 36, а прогрессия состоящая из четных членов данной прогрессии имеет вид: b1*q; b1*q³;.  ; значит воспользуемся формулой суммы бесконечной убывающей прогрессии S= b1/ (1-q) и составим два уравнения, получим систему:
    36 = b1/ (1 - q) и 3 = b1*q/ (1 - q²) (q² является знаменателем второй прогрессии). Выразим из первого уравнения b1 = 36*(1-q) и подставим во второе уравнение 3 = 36*(1-q)*q/ (1 - q²)  разделим обе части уравнения на 3 

    1 = 12*(1-q)*q/ (1 - q)(1+q); сократим скобки, они не равны нулю, значит можно сокращать. 1 = 12*q/ (1+q) дробь равна 1, значит числитель равен знаменателю 12*q=1+q или 11*q=1 откуда q= 1/11
    Ответ: 1/11

  • Найдите знаменатель g бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 9, а первый член b1=5,4


    Решение: 1) b6=-8*(0.5 в 5 степени) =-0,25

    2) В5=корень (В4*В6)=15 корней из 3

    3) q=В2/В1=0,5
    В3=-0,25
    В4=-0,125
    В5=-0,0625
    В6=-0,03125
    В7=-0,015625

    4)не ясно что за прогрессия, то ли 2; -23. то ли 2; -2; 3.;

    5)-В3=корень (В2*В4)=30 следовательно В3=-30
    q=В3/В2 = 2 корня из 5

    6) первый член геометрической прогрессии? так он ведь дан В1=3

    7) 13/10 - обыкновенная дробь. а ответ = 13/10 * 30 = 39

    8)
    В4+В6=-40
    В3+В5=-20

    В1*(q в кубе) + В1*(q в пятой степени ) = -40
    В1*(q в квадрате) + В1*(q в четвертой степени) = -20

    делим первое уравнение на второе и получаем:

    q+q=2
    2q=2
    q=1

  • 1. Найти знаменатель бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6 если первый член равен 0,2
    2. Найти сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, если b₁=4, q=2
    3. Найти производную функции: f(x)=x⁵-4x⁴-3x²+3x-5cos x-2
    4. Найти одну из первообразных функции f(x)=(2+sin x)


    Решение: 1) Сумма б-у г. п. равна S=b1/(1-q). Выразим q: 1-q = b1/S, q = 1-b1/S. Поставляем в формулу S=1.6 и b1=0.2:
    q = 1 - 0.2/1.6 = 7/8=0.875.
    2) Сумма геометрической прогрессии равна S=b1*(q^n-1)/(q-1).
    S = 4*(2^5-1)/(2-1)=124.
    3) f(x)=x⁵-4x⁴-3x²+3x-5cos(x-2)
    f’(x) = 5x^4-16x^3-6x+3+5sin(x-2)
    4) f(x)=(2+sin x)
    F(x) = 2x - cos(x) + C, где C - константа. Поставим любое значение вместо C. Например, C=0. Тогда F(x) = 2x - cos(x), ибо требуется найти одну из первообразных.

  • 1. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии (Xn) равна 56. Известно, что все члены этой прогрессии натуральные числа и член X12 больше 67, но меньше 74. Найти X20.

    2. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы всех членов, а сумма квадратов всех членов в корень(7) раз больше суммы всех членов.


    Решение: Если члены последовательность - натуральные числа, то и ее разность - натуральное число
    $$ a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=56 \\\ 4a_1+6d=56 \\\ a_1+1.5d=14 \\\ a_{12}=a_1+11d \\\ a_{12}=a_1+1.5d+9.5d=14+9.5d \\\ 67<14+9.5d<74 \\\ 53<9.5d<60 $$
    $$ 5.6 \ < \ d \ < \ 6.3 $$
    $$ d=6 \\\ a_1=14-1.5d=14-9=5 \\\ a_{20}=a_1+19d \\\ a_{20}=5+19\cdot6=119 $$
    Ответ: 119

    $$ S= \frac{a_1}{1-q} $$
    $$ \left \{ {{ \frac{b_1^3}{1-q^3}= \frac{4b_1)}{1-q} } \atop {\frac{b_1^2}{1-q^2}= \frac{ \sqrt{7} b_1)}{1-q}}} \right. \\\ \left \{ {{ \frac{b_1^2}{1+q+q^2}= 4 } \atop {\frac{b_1}{1+q}= \sqrt{7} }} \right. \\\ b_1= \sqrt{7}(1+q) \\\ b_1^2=7(1+q)^2 \\\ b_1^2=4(1+q+q^2) \\\ 7+14q+7q^2=4+4q+4q^2 \\\ 3q^2+10q+3=0 \\\ D_1=25-9=16 \\\ q_1 eq -3<-1 \\\ q_2=- \frac{1}{3} $$
    Ответ: -1/3

1 2 3 > >>