прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 2

  • 1. представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби.

    2. найти производную функции у=х/х в квадрате +1

    3. докажите, что функция у=(2х+3) в 9 степени удовлетворяет соотношению 3у=(2х+3)в 5 степени * под знаком корня у`/2

    4. найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов


    Решение: 1========

    1.1818181818.   = 1+(18/100+18/10000+18/1000000+. ) выражение в скобках это сумма бесконечно убывающей геом. прогрессии, найдем элементы этой прогрессии:

    b1 = 18/100  q = b2/b1 = (18/10000) / (18/100) = 1/100

    (сумма убыв. геом. прогрессии)

    S = b1/(1-q) = (18/100) / (1-1/100) = 18/(100* 1-1/100) 18/(100*99/100) 

    (трехэтажная дробь, 100 сокращается)  = 18/99 = 2/11

    следовательно 1.18181818 = 1 + 2/11 = 1 цел 2/11

    2=====

    [x/(x^2+1)]’

    используем две формулы дифференцирования

    (u/v)’ = (vu’-uv’)/v^2 (деление)

    и

    (x^n)’ = n x^(n-1) (степенная)

    вычисляем :

    [ (x^2+1) * (x)’ - x * (x^2+1)’ ] / [ (x^2+1)^2 ] (дробь)

    (x)’ = 1

    и

    (x^2+1)’ = 2x (смотри формулы выше, степенная)

    [ (x^2+1) * 1 - x * 2x] / [ (x^2+1)^2 ] =

    = [ (x^2+1) - 2x^2] / [ (x^2+1)^2 ]        (дробь)

    Если есть желание, можно сокращать выражение...

  • чему равняется второй член бесконечной геометрической прогрессии, сумма и знаменатель которой соответственно равны 72 и 1/3?


    Решение: $$ S=\frac{b_1}{1-q} \\\ b_1=S(1-q) \\\ b_1=72(1-\frac{1}{3})=48 \\\ b_2=b_1q=48\cdot\frac{1}{3}=16 $$

    Ответ: 16

    S_n  =72,    q  =   1/3

    S_n  =  b_1 /(1  -  q)   сумма  членов  бесконечно  убывающей  геометрической  рогрессии

    b_1  =  S_n / (1  -  q)

    b_1  =  72 / (1  -  1/3)  =  72 : 2/3  72 * 2/3  =  48

    b_2  =  b_1 * q

    b_2  =  48 * 1/3  =  16

    Ответ.   16

  • 1) Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 2, а знаменатель 4
    Найдите сумму первых 3 членов этой прогрессии.
    2)Найдите сумму бесконечности геометрической прогрессии 9;-3;1
    3)Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительным члена, зная b6=0,03 B b8=0,27
    4)Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь а) 0,(198); б 0,5(8).


    Решение: B1=bn:q^(n-1) - расшифровываю- первый член равен частному n-го члена на q в степени (n-1) 
    номер члена можно вывести из формулы q^(n-1)=bn:b1 когда известны q, bn и b1 
    сумма первых семи членов равна Sn= (bn*q-b1) : (q-1) или Sn= b1*(1- q^n) : (1-q) 
    последнее можно решить СИСТЕМОЙ вида: 
    b4= b1*q^3 
    b7= b1*q^6

  • Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив предварительно, что ее знаменатель q удовлетворяет условию |q|<1
    а)36;12;4.
    г)√2;1;1/√2


    Решение: А)
    $$ 36; 12; 4;.\\ b_1=36;\\ b_2=12; b_3=4;\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{36}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac13;\\ |q|=|\frac13|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac13}=\frac{36}{\frac23}=18\cdot3=54. $$


    г)
    $$ \sqrt2; 1; \frac{1}{\sqrt2};.\\ b_1=\sqrt2;\\ b_2=1;\\ b_3=\frac{1}{\sqrt2};\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{1}=\frac{1}{\sqrt2};\\ |q|=|\frac{1}{\sqrt2}|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt2}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2}{\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{2}{\sqrt2-1}=\frac{2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2)^2-1^2}=\\ =\frac{2\sqrt2+2}{2-1}=\frac{2\sqrt2+2}{1}=2\sqrt2+2. $$

  • 1)Найдите пятый член геометрической прогрессии (bn), если
    b1=-125,q=1\5.
    2)Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 4, а знаменатель 2
    Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
    3)Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:36;-12;4;.
    4)Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (bn)
    с положительными членами, зная, что b3=0,05 и b5=0,45,
    5)Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь: а)0,
    (162); б)0,8(4),


    Решение: 1) B5=-125*1\625

    B5=1\5

    2) S8=4* (128-1)\(2-1)

    S8=4*127  = 508

    3)

    SБеск=36*  ((3^беск-1)-1)\(3-1)

    4) {B1*q^2=0,05,

        {B1*q^4=0,45;

    {B1*Q^2\B1*Q^4=0,05\0.45,

    {B1*q^4=0,45;

    1)   {Q*Q*0,05=0.45     -     Q^2=9    -   Q=-3 OR Q=3;

    2.1 Or 2.2)   {b1=0.45\81     -    B1=1\540

    Тут два случая:

    1)S8=1\540* (-3^7)\(-3-1)    -    1\540*(-2147)\(-4)  -  1\20*81\4   -  81\80   -   1,1\80

    2)S8=1\540* (3^7)\(3-1)   -   1\540* 2147\2   - 1\20*81\2   -   81\40  -  2,1\40

  • 1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии bn, если b1=-32 и q=\( \frac{1}{2} \)
    2. Первый член геометрической прогрессии bn равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.
    3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 24; -12; 6; ….
    4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии bn

    с положительными членами, зная, что b2 =0,04 и b4 =0,16.


    Решение: Решение:

    1) b(7)=b1*q^6=-32*(1/2)^6=-32/64=-1/2
    2)b1=2 q=3
    S=b1(q^n-1)/(q-1)=2(3^6-1)/(3-1)=3^6-1=729-1=728
    3) -12/24=-1/2
    S=b1/(1-q)=24/(1+1/2)=24*2/3=16
    4) S=b1(q^9-1)/(q-1)
    b1q=0,04
    b1q^3=0.16
    q^2=0.16/0.04=4 
    q=2
    b1=0,04/2=0.02
    S=0,02(2^9-1)/1=10,22.

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56
    а сумма квадратов членов этой прогрессии 448
    найдите знаменатель прогрессии


    Решение: B[1], b[1]q, b[1]q^2, данная геометричесская прогрессия
    b[1]^2, b[1]^2q^2, b[1]^2q^4 - геометричческая прогрессия, члены которой являются квадратами данной (ее знаменатель равен q^2) - тоже убывающая |q^2|=q^2<1 (так как |q|<1 - из услови убывания первой)
     
    сумма первой b[1]/(1-q)=56
    сумма второй b[1]^2/(1-q^2)=448
     
    448/56=b[1]/(1-q^2): b[1]/(1-q)=b[1]/(1+q)
    8=b[1]/(1+q)
     
    отсюда 56*(1-q)=8*(1+q)
    56-56q=8+8q
    56q+8q=56-8
    64q=48
    q=48/64=3/4=0.75

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов членов прогрессии 448. Найти знаменатель


    Решение: b[1], b[1]q, b[1]q^2, данная геометричесская прогрессия

    b[1]^2, b[1]^2q^2, b[1]^2q^4 - геометричческая прогрессия, члены которой являются квадратами данной (ее знаменатель равен q^2) - тоже убывающая |q^2|=q^2<1 (так как |q|<1 - из услови убывания первой)

    сумма первой b[1]/(1-q)=56

    сумма второй b[1]^2/(1-q^2)=448

    448/56=b[1]/(1-q^2): b[1]/(1-q)=b[1]/(1+q)

    8=b[1]/(1+q)

    отсюда 56*(1-q)=8*(1+q)

    56-56q=8+8q

    56q+8q=56-8

    64q=48

    q=48/64=3/4=0.75

  • Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше первого е члена. Найдите знаменатель этой прогрессии.


    Решение: S=b1/(1-q), но в тоже время S=3b1, значит, 3b1=b1(1-q);

                                                                        3=1/(1-q);

                                                                        3-3q=1;

                                                                        3q=2;

                                                                         q=2/3;

  • 1 Четвертый член геометрической прогрессии на 18 больше второго члена, а сумма первого и третьего членов равна -15. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии

    2)Найдите пятый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 4, разность между первым и третьим членами равна 7/16, а знаменатель прогрессии является рациональным числом


    Решение: 1) a1q^3 - a1q=18

       a1+a1q^2=15

     из второго уравнения, имеем

       a1(1+q^2)=15 => a1=15/(1+q^2)

    подставим в первое уравнение значение a1, получим

      15 q^3/(1+q^2)-15q/(1+q^2)=18

    15q^3-15q=18(1+q^2)

    15q^3-18q^2-15q-18=0

    5q^3-6q^2-5q-6=0

    5q^3-10q^2+4q^2-8q+3q-6=0

    (5q^3-10q^2)+(4q^2-8q)+(3q-6)=0

    5q^3(q-2)+4q(q-2)+3(q-2)=0

    (q-2)(5q^2+4q+3)=0

    a) q-2=0 => q=2

    б) 5q^2+4q+3=0

       D=b^2-4ac=-44 - нет решений

    итак, a1=15/(1+q^2)=15/(1+4)=3

    то есть, a1=3 и q=2

    s8=a1*(1-q^8)/(1-q)=3*(1-2^8)/(1-2)=3*255=765

    1) Из условия составим систему уравнений для нахождения b1 и q:

    $$ b_{1}q^3-b_{1}q=18, $$

    $$ b_{1}+b_{1}q^2=-15. $$

    Поделив уравнения, получим:

    $$ \frac{q(q^2-1)}{q^2+1}=-\frac{6}{5}. $$

    Домножив на общий знаменатель и приведя подобные члены, получим кубическое уравнение для нахождения q:

    $$ 5q^3+6q^2-5q+6=0 $$

    Подбором сразу находим один корень: q = -2.

    Поделив кубический многочлен на (q+2), получим:

    $$ (q+2)(5q^2-4q+3)=0 $$

    Корень (-2) - единственный, так как второй множитель корней не имеет (D<0).

    Итак  q= -2.   Из второго уравнения системы найдем b1:

    $$ b_{1}=\frac{-15}{1+q^2}=-3 $$

    Теперь находим искомую сумму:

    $$ S_{8}=\frac{b_{1}(1-q^8)}{1-q}=\frac{(-3)(1-2^8)}{1-(-2)}=\frac{765}{3}=255 $$

    Ответ: 255

    2. Исходя из условия, составим систему:

    $$ \frac{b_{1}}{1-q}=4 $$

    $$ b_{1}(1-q^2)=\frac{7}{16} $$

    Или разделив второе на первое, получим:$$(1-q^2)(1-q)=\frac{7}{64} \\ q^3-q^2-q+\frac{57}{64}=0$$Тогда:$$b_{5}=b_{1}q^4=\frac{81}{256}$$

<< < 12 3 4 > >>