прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 2
Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогресси равна 36, а сумма всех членов этой прогресси с четными номерами равна 3
Решение: Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( b_n \) имеем по условию: $$ S=b_1+b_2+b_3+.=\dfrac{b_1}{1-q}=36 $$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию \( c_n \), составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т. е. $$ c_1=b_2,\ c_2=b_4,\ c_3=b_6,\. $$. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,
$$ \tilde{S}=c_1+c_2+c_3+.=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=3 $$, где $$ \tilde{q} $$ - знаменатель уже новой прогрессии.
Преобразуем:
$$ \tilde{S}=3=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2} $$
Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=36 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=3 \end{cases} $$
Делим первое уравнение на второе:
$$ \dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\frac{36}{3} \\ \dfrac{1+q}{q}=12 \\ 1+q=12q \\ 11q=1 \\ q= \frac{1}{11} $$
Ответ: \( \frac{1}{11}\)Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов равна 36, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 3
Решение: Если геометрическая прогрессия убывающая, значит знаменатель q меньше 1. Пусть дана геометрическая прогрессия: b1; b1*q; b1*q²; b1*q³;. и ее сумма равна 36, а прогрессия состоящая из четных членов данной прогрессии имеет вид: b1*q; b1*q³;. ; значит воспользуемся формулой суммы бесконечной убывающей прогрессии S= b1/ (1-q) и составим два уравнения, получим систему:
36 = b1/ (1 - q) и 3 = b1*q/ (1 - q²) (q² является знаменателем второй прогрессии). Выразим из первого уравнения b1 = 36*(1-q) и подставим во второе уравнение 3 = 36*(1-q)*q/ (1 - q²) разделим обе части уравнения на 3
1 = 12*(1-q)*q/ (1 - q)(1+q); сократим скобки, они не равны нулю, значит можно сокращать. 1 = 12*q/ (1+q) дробь равна 1, значит числитель равен знаменателю 12*q=1+q или 11*q=1 откуда q= 1/11
Ответ: 1/11
Найдите знаменатель g бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 9, а первый член b1=5,4
Решение: 1) b6=-8*(0.5 в 5 степени) =-0,25
2) В5=корень (В4*В6)=15 корней из 3
3) q=В2/В1=0,5
В3=-0,25
В4=-0,125
В5=-0,0625
В6=-0,03125
В7=-0,015625
4)не ясно что за прогрессия, то ли 2; -23. то ли 2; -2; 3.;
5)-В3=корень (В2*В4)=30 следовательно В3=-30
q=В3/В2 = 2 корня из 5
6) первый член геометрической прогрессии? так он ведь дан В1=3
7) 13/10 - обыкновенная дробь. а ответ = 13/10 * 30 = 39
8)
В4+В6=-40
В3+В5=-20
В1*(q в кубе) + В1*(q в пятой степени ) = -40
В1*(q в квадрате) + В1*(q в четвертой степени) = -20
делим первое уравнение на второе и получаем:
q+q=2
2q=2
q=11. Найти знаменатель бесконечно-убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6 если первый член равен 0,2
2. Найти сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, если b₁=4, q=2
3. Найти производную функции: f(x)=x⁵-4x⁴-3x²+3x-5cos x-2
4. Найти одну из первообразных функции f(x)=(2+sin x)
Решение: 1) Сумма б-у г. п. равна S=b1/(1-q). Выразим q: 1-q = b1/S, q = 1-b1/S. Поставляем в формулу S=1.6 и b1=0.2:
q = 1 - 0.2/1.6 = 7/8=0.875.
2) Сумма геометрической прогрессии равна S=b1*(q^n-1)/(q-1).
S = 4*(2^5-1)/(2-1)=124.
3) f(x)=x⁵-4x⁴-3x²+3x-5cos(x-2)
f’(x) = 5x^4-16x^3-6x+3+5sin(x-2)
4) f(x)=(2+sin x)
F(x) = 2x - cos(x) + C, где C - константа. Поставим любое значение вместо C. Например, C=0. Тогда F(x) = 2x - cos(x), ибо требуется найти одну из первообразных.1. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии (Xn) равна 56. Известно, что все члены этой прогрессии натуральные числа и член X12 больше 67, но меньше 74. Найти X20.
2. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы всех членов, а сумма квадратов всех членов в корень(7) раз больше суммы всех членов.
Решение: Если члены последовательность - натуральные числа, то и ее разность - натуральное число
$$ a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=56 \\\ 4a_1+6d=56 \\\ a_1+1.5d=14 \\\ a_{12}=a_1+11d \\\ a_{12}=a_1+1.5d+9.5d=14+9.5d \\\ 67<14+9.5d<74 \\\ 53<9.5d<60 $$
$$ 5.6 \ < \ d \ < \ 6.3 $$
$$ d=6 \\\ a_1=14-1.5d=14-9=5 \\\ a_{20}=a_1+19d \\\ a_{20}=5+19\cdot6=119 $$
Ответ: 119
$$ S= \frac{a_1}{1-q} $$
$$ \left \{ {{ \frac{b_1^3}{1-q^3}= \frac{4b_1)}{1-q} } \atop {\frac{b_1^2}{1-q^2}= \frac{ \sqrt{7} b_1)}{1-q}}} \right. \\\ \left \{ {{ \frac{b_1^2}{1+q+q^2}= 4 } \atop {\frac{b_1}{1+q}= \sqrt{7} }} \right. \\\ b_1= \sqrt{7}(1+q) \\\ b_1^2=7(1+q)^2 \\\ b_1^2=4(1+q+q^2) \\\ 7+14q+7q^2=4+4q+4q^2 \\\ 3q^2+10q+3=0 \\\ D_1=25-9=16 \\\ q_1 eq -3<-1 \\\ q_2=- \frac{1}{3} $$
Ответ: -1/3
