бесконечная прогрессия - страница 4

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии bn, если b1=-32 и q=\( \frac{1}{2} \)
2. Первый член геометрической прогрессии bn равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 24; -12; 6; ….
4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии bn

с положительными членами, зная, что b2 =0,04 и b4 =0,16.

1) b(7)=b1*q^6=-32*(1/2)^6=-32/64=-1/2
2)b1=2 q=3
S=b1(q^n-1)/(q-1)=2(3^6-1)/(3-1)=3^6-1=729-1=728
3) -12/24=-1/2
S=b1/(1-q)=24/(1+1/2)=24*2/3=16
4) S=b1(q^9-1)/(q-1)
b1q=0,04
b1q^3=0.16
q^2=0.16/0.04=4 
q=2
b1=0,04/2=0.02
S=0,02(2^9-1)/1=10,22.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56
а сумма квадратов членов этой прогрессии 448
найдите знаменатель прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов членов прогрессии 448. Найти знаменатель

b[1]^2, b[1]^2q^2, b[1]^2q^4 - геометричческая прогрессия, члены которой являются квадратами данной (ее знаменатель равен q^2) - тоже убывающая |q^2|=q^2<1 (так как |q|<1 - из услови убывания первой)

сумма первой b[1]/(1-q)=56

сумма второй b[1]^2/(1-q^2)=448

448/56=b[1]/(1-q^2): b[1]/(1-q)=b[1]/(1+q)

8=b[1]/(1+q)

отсюда 56*(1-q)=8*(1+q)

56-56q=8+8q

56q+8q=56-8

64q=48

q=48/64=3/4=0.75

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше первого е члена. Найдите знаменатель этой прогрессии.

                                                                    3=1/(1-q);

                                                                    3-3q=1;

                                                                    3q=2;

                                                                     q=2/3;

1 Четвертый член геометрической прогрессии на 18 больше второго члена, а сумма первого и третьего членов равна -15. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии

2)Найдите пятый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 4, разность между первым и третьим членами равна 7/16, а знаменатель прогрессии является рациональным числом

   a1+a1q^2=15

 из второго уравнения, имеем

   a1(1+q^2)=15 => a1=15/(1+q^2)

подставим в первое уравнение значение a1, получим

  15 q^3/(1+q^2)-15q/(1+q^2)=18

15q^3-15q=18(1+q^2)

15q^3-18q^2-15q-18=0

5q^3-6q^2-5q-6=0

5q^3-10q^2+4q^2-8q+3q-6=0

(5q^3-10q^2)+(4q^2-8q)+(3q-6)=0

5q^3(q-2)+4q(q-2)+3(q-2)=0

(q-2)(5q^2+4q+3)=0

a) q-2=0 => q=2

б) 5q^2+4q+3=0

   D=b^2-4ac=-44 - нет решений

итак, a1=15/(1+q^2)=15/(1+4)=3

то есть, a1=3 и q=2

s8=a1*(1-q^8)/(1-q)=3*(1-2^8)/(1-2)=3*255=765

1) Из условия составим систему уравнений для нахождения b1 и q:

$$ b_{1}q^3-b_{1}q=18, $$

$$ b_{1}+b_{1}q^2=-15. $$

Поделив уравнения, получим:

$$ \frac{q(q^2-1)}{q^2+1}=-\frac{6}{5}. $$

Домножив на общий знаменатель и приведя подобные члены, получим кубическое уравнение для нахождения q:

$$ 5q^3+6q^2-5q+6=0 $$

Подбором сразу находим один корень: q = -2.

Поделив кубический многочлен на (q+2), получим:

$$ (q+2)(5q^2-4q+3)=0 $$

Корень (-2) - единственный, так как второй множитель корней не имеет (D<0).

Итак  q= -2.   Из второго уравнения системы найдем b1:

$$ b_{1}=\frac{-15}{1+q^2}=-3 $$

Теперь находим искомую сумму:

$$ S_{8}=\frac{b_{1}(1-q^8)}{1-q}=\frac{(-3)(1-2^8)}{1-(-2)}=\frac{765}{3}=255 $$

Ответ: 255

2. Исходя из условия, составим систему:

$$ \frac{b_{1}}{1-q}=4 $$

$$ b_{1}(1-q^2)=\frac{7}{16} $$

Или разделив второе на первое, получим:$$(1-q^2)(1-q)=\frac{7}{64} \\ q^3-q^2-q+\frac{57}{64}=0$$Тогда:$$b_{5}=b_{1}q^4=\frac{81}{256}$$