прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 4

  • Если к четырём последовательным членам арифметической прогрессии прибавить соответственно 7; 1; -3; -6, то получим четыре первых члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Найти ее сумму.
    При каких значениях а множества значений функций у=ах^2-4х-3 и у=x^2+2ах-6 совпадают т. е одни и те же


    Решение: A ; aq ; aq² ;aq³ первые члены бесконечно убывающей прогрессии (|q| <1).
    a -7 ; aq -1 ; aq² +3;aq³ +6 составляют арифметическую прогрессию, где |q|≤1.
    {2(aq -1) =a -7+ aq² ; 2(aq²+3) =aq -1+ aq³ +6.
    {a(1-q)² = 5 ;aq(1-q)² = 1. {a(1-q)² = 5  ;5q =1 ⇒{q =1/5 ;a =125/16

    S = a/(1-q) =(125/16) /(1-1/5) = 625/64.
    -
    y =ax² -4x -3 и y=x² +2ax - 6 (имеет минимальное значение);.
    ясно что a≠0
    y =ax² -4x -3 =a(x -2/a)² - 4/a² -3 ;* * *  a>0 ;y(мин) = - 4/a² -3
    y= x² +2ax - 6= (x+a)² - a²-6  

     - 4/a² -3  = -a² -6 ;
     4/a² +3  = a²+6 ;
     4/a² = a²+3 ;
     (a²)² +3a² -4 =0⇒ a² = -4 или a² =1 ясно что a² ≥0 поэтому ⇒a² =1⇒a=±1, но a>0, поэтому a =1.

    y =(x-2)² -7 и  (x+1)² - 7 ;
    E(y) = [-7 ; ∞)

  • В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1=3 и q=1/3. Найти сумму этой прогрессии


    Решение: Искомая сумма $$ S $$ равна:
    $$ S = b_1 + b_2 + b_3 + \dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + \dots = b_1 \left(1+q + q^2 + \dots \right) $$. Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы $$ s = 1 + q + q^2 + \dots $$, формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для $$ s $$.
    Рассмотрим для начала сумму первых членов $$ s_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n $$. Имеем:
    $$ (1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) =\\= 1 + q + q^2 + \dots + q^n - q - q^2 - \dots - q^n - q^{n+1} =\\= 1 - q^{n+1} $$. Таким образом, $$ s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$, откуда, переходя к пределу при $$ n \rightarrow \infty $$, получаем $$ s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \frac{1}{1 - q} $$. Предел существует при $$\left|q\right|<1$$
    Итак, искомая сумма равна:$$S = b_1 (1 + q + q^2 + \dots) = b_1 s = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4,5 $$

  • 1)x1,x2: x^2+ax+4=0
    x3,x4: x^2+bx+16=0
    x1,x2,x3,x4-геометрическая прогрессия. a- b-
    2) сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов его членов равна 27/208 найти сумму квадрат членов


    Решение: $$ 1)x^2+ax+4=0\\ x^2+bx+16=0 $$
    по условию корни удовлетворяют такому условию 
    $$ \frac{x_{4}}{x_{3}}=\frac{x_{2}}{x_{1}} $$
    $$ 1)\\ x_{1}+x_{2}=-a\\ x_{1}x_{2}=4\\ 2)\\ x_{3}+x_{4}=-b\\ x_{3}x_{4}=16\\ $$
    последние равенство, в силу того что второй третий и четвертый можно выразить как 
    $$ x_{1}^2*q=4\\ x_{1}^2*q^5=16\\ q^4=4\\ q=\sqrt{2} \\ x_{1}=\sqrt[4]{8}\\ x_{2}=\sqrt[4]{32}\\ x_{3}=\sqrt[4]{128}\\ x_{4}=\sqrt[4]{512}\\ \\ a=-( \sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{32})\\ b=-(\sqrt[4]{128}+\sqrt[4]{512}) $$ 


    $$ 2)\\ \frac{b_{1}}{1-q} = \frac{3}{4}\\ b_{1}^3+b_{2}^3.+b_{n}=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{ b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ b_{1}^3(1+q^3+q^6+.q^{3n})=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \frac{b_{1}^3}{1-q^3}=\frac{27}{208} \\\\ \frac{b_{1}^3}{(1-q)(q^2+q+1)} = \frac{27}{208}\\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \\ 4b_{1}=3-3q\\ b_{1}=\frac{3-3q}{4}\\ \frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208} $$

    $$ \frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208} \\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q^3)} = \frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q)(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^2}{64(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ 208*27(1-2q+q^2)=27*64(1+q+q^2)\\ 208-416q+208q^2=64+64q+64q^2\\ 3q^2 - 10q+3=0\\ D=8^2\\ q=3\\ q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=0.5\\ b_{1}=-\frac{3}{2}\\ S^2=\frac{0.5^2}{1-\frac{1}{9}} = \frac{0.25}{\frac{8}{9}}=0.28125 $$

  • Первый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма её членов равна 18. Найти первый член.


    Решение: Геометрическая прогрессия бесконечно убывающая, если |q| <1.
    Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
      S = b₁
      1-q
    b₁=S*(1-q)
    S=18
    b₂=b₁-8
    q=b₂/b₁= b₁-8
      b₁
    b₁=18*(1- b₁-8 ) = 18 * (b₁-b₁+8) = 18*8 = 144 
      b₁ b₁ b₁ b₁
    b₁²=144
    b₁=√144
    b₁=12
    Ответ: 12


  • 1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (xn), если x1=0,55, x2=0,15.
    2. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(12).


    Решение: 1) надо найти q
    q= x2/x1
    q= 3/20 : 11/20 = 3/11 
    2) S6 = x1 * ( 3/11^6 - 1) / 3/11 - 1
    3/11 в 6 степени это оооочень большое число. поэтому я не до конца досчитала
    ну выглядит примерно так
    S6 = 0.55 * 729/1771561 - 1 / 8/11
    далее это огромное число сокращается на какое то число и упрощает счет

  • 1) Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии -2; 1; 2. 2) Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии 32:27: 16:9;. 3) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 6:4;.


    Решение: 1) невозможно найти d - разность арифметической прогрессии (видимо ошибка в условии). напишу формулы
    $$ d=a_{n+1}-a_n \\ S_n= \frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
    2) найти знаменатель q геометрической прогрессии тоже не получается из-за ошибки в условии. пишу формулы.
    $$ q= \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$
    3) формула суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
    $$ S= \frac{b_1}{1-q} \\ S= \frac{6}{1- \frac{2}{3}}= \frac{6}{ \frac{1}{3}}=6*3=18 $$

  • 1. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если известно, что b3=2,4 b5=0,32

    2 найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 18; -12; 8.

    3. Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии, если х1=0,48 х2=0,32

    4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь0,2(3)


    Решение: 1.b3=b1*q^2,

     b5=b1*q^4

    b6=b1*q^5

    2.4=b1*q^2

    0.32=b1*q^4 разделим 2-ое уравнение на первое, получим

    q^2=0,32/2,4

    q^2=0.02*2^4/0.3*2^3

    q^2=0.02*2=0.3=4/30=2/15

    q=√2/15=0.36

    b6=b5*q^5=0,32*(0.36)^5=0.32*0.006=0.00192

    2.b1=18,b2=-12,b3=8

    q=b2/b1=-12/18=-2/3

    Sn=b1(q^n-1)/(q-1)=18*(-2/3)^n-1)/-2/3-1=18*( (-2/3)^n-1)/-5/3=54/5*(-2/3)^n-1)

    3.x1=0.48, x2=0.32

    q=x2/x1=0.32/0.48=2/3

    S10=x1(q^10-1)/q-1=0.48(2/3)^10-1)/2/3-1=0.48(1024/59049-1)/-1/3=0.48*58025/59049/-1/3=27852/59049*(-3)=-83556/59049=-1.42

    4.0.2(3)=23/100

  • 1) {bn} - геометрическая прогрессия. Найдите b6, если b1=4, q=одна вторая.

    2)Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 12; 6;.

    3)Найдите сумму ста первых членов последовательности {Xn}, если Xn=2n+1

    4) {bn} - геометрическая прогрессия, b1=625, q=одна пятая. Найдите S5.

    5) Арифметическая прогрессия: 10; 8;. Найдите S10

    6) Найдите 25-ый член арифметической прогрессии: -3; -6;.;

    7) Вычислите S4, если {bn} - геометрическая прогрессия, b1 = 1, q = 3.

    8) Найдите 8-й член геометрической прогрессии (Bn), если b1=32, q= одна вторая.

    9) {An} - арифметическая прогрессия и a1= -10, d=2. Найдите S5.


    Решение: 1)$$ b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\\ b_{6}=4*\frac{1}{2}^{5}\\ b_{6}=\frac{1}{8} $$

    2)$$ b_{1}=12\ b_{2}=6 -> q=2\\ $$

    $$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{n}=\frac{12*(2^{n}-1)}{2-1}\\ S_{n}=12(2^{n}-1) $$

    3)$$ X_{n}=2n+1\\ n=100\\ x_{100}=2*100+1=201\\ $$

    4)$$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{5}=\frac{625(\frac{1}{5}^{5}-1)}{\frac{1}{5}-1}\\ S_{5}=\frac{625*(-\frac{3124}{3125})}{-\frac{4}{5}}\\ S_{5}=\frac{-\frac{3124}{5}}{-\frac{4}{5}}\\ S_{5}=781\\ $$

    5)$$ a_{1}=10\ a_{2}=8 -> d=2\\ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\\ S_{10}=\frac{2*10+2(10-1)}{2}*10\\ S_{10}=\frac{38}{2}*10\\ S_{10}=38*5\\ S_{10}=190\\ $$

    6)$$ a_{1}=-3\ a_{2}=-6 -> d=-3\\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)\\ a_{25}=-3-3(25-1)\\ a_{25}=-75\\ $$

    7)$$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{4}=\frac{1*(3^{4}-1)}{3-1}\\ S_{4}=\frac{80}{2}\\ S_{4}=40\\ $$

    8)$$ b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\\ b_{8}=32*\frac{1}{2}^{7}\\ b_{8}=32*\frac{1}{128}\\ b_{8}=\frac{1}{4}\\ $$

    9)$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\\ S_{5}=\frac{2*(-10)+2(5-1)}{2}*5\\ S_{5}=\frac{-20+8}{2}*5\\ S_{5}=\frac{-20+8}{2}*5\\ S_{5}=-6*5=-30 $$

  • Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( \frac{31}{8} \), а последующих пяти членов равна \( \frac{31}{256} \). Найдите сумму всех членов прогрессии


    Решение: $$ b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}=\frac{31}{8}\\ b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}=\frac{31}{256}\\ \\ b_{1}(1+q+q^2+q^3+q^4)=\frac{31}{8}\\ b_{1}(q^5+q^6+q^7+q^8+q^9)=\frac{31}{256}\\ \\ $$
    теперь если поделить второе на первое то есть 
    $$ \frac{q^5+q^6+q^7+q^8+q^9}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ \frac{q^5(1+q+q^2+q^3+q^4)}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ q^5=\frac{1}{32}\\ q=\frac{1}{2}\\ $$
    то есть $$ q=0.5\\ b_{1}=2\\ \\ S_{n}=\frac{2}{1-0.5} =4 $$

    Ответ 4 

  • 1. найдите 25-ый член арифметической прогрессии -3 -6

    2. найдите 10 -й член арифметической прогрессии 3 7

    3. сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9 разность между четвертым и вторым членами 0.4 найдите первый член прогрессии.

    4. сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию равна 111 второе число больше первого в 5 раз. найдите эти числа

    5. найдите разность арифметической прогрессии если а21=15 а1=5

    6. найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительною

    7. вычислите сумму 1/5 + 8/15 + 13/15 +.+33/15

    8. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если б1=2 q=0.875

    9. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9 -3 1


    Решение: 1. найдите 25-ый член арифметической прогрессии -3 -6 d=-6+3=-3

     a25=a1+24d=-3-72=-75

    2. найдите 10 -й член арифметической прогрессии 3 7 d=7-3=4

    a10=a1+9d=3+36=39

    3. сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9 разность между четвертым и вторым членами 0.4 найдите первый член прогрессии.

    a4-a2=0.4 a1+3d-a1-d=0.4 2d=0.4 d=0.2

    S6={2a1+5d}/2*6 {2a1+1}*3=9 2a1+1=3 2a1=2 a1=1

    4. сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию равна 111 второе число больше первого в 5 раз. найдите эти числа

    a1+a1+d+a1+2d=111 3a1+3d=111 a1+d=37

     a1+d=5a1 5a1=37 a1=7.4 a3=111-(7.4+37)=66.6

    7.4 37 66.6

    5. найдите разность арифметической прогрессии если а21=15 а1=5

    a21=a1+20d 20d=15-5=10 d=0.5

    6. найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительною

    n=102-2+1=101 S101=(2*2+100*1)/2*101=52*101=5252

    8. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если б1=2 q=0.875

    S=b1/1-q=2/(1-0.875)=2/0.125=2000/125=16

    9. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9 -3 1

    q=-1/3

    S=9/(1+1/3)=9/(4/3)=9*3/4=27/4=6.75

<< < 234 5 6 > >>