прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 6
дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.
б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?
Решение: а) тысячный член исходной прогрессии равен 2013+8*1000=10013
1+0+0+1+3=5
б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.
Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.
2013 mod 9=6 первый член прогрессии 6
8 mod 9 = 8 поэтому второй член прогрессии (6+8) mod 9 = 5, третий (5+8) mod 9=4, четвертый - 3, пятый - 2, шестой - 1, седьмой (1+8) mod 9= 0 поэтому 9, восьмой- 8, девятый - 7, десятый опять 6
Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6+5+4+3+2+1+9+8+7=45
сумма первых 999 (111*9) членов равна 111*45= 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A1(тоесть 6) = 5001
в) т. к. 1010/9=112, а 1010 mod 9=2, то сумма любых подряд идущих членов равна 112*45 + сумма следующих двух членов. Для того, чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.
получается 112*45+9+8 =5057
а) 5, б)5001, в)5057в пункте а) вроде формула числа прогрессии
a(n)=a1-d(n-1)
так что выходит a(1000)= 2013+8*999 = 10005
значит тысячное чилос последовательности 6 а не 5
неочень понял как вы объяснили пункт в)
наименьшая сумма 1010
1008 делится на 9 = 112 значит сумма первых 1008 чисел в любом случае будет равняться
112*45=5040
нужно добавить еще два числа, и чтобы последовательность была наименьшей, это должно быть 1 и 2.
выходит у меня 5043.
Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2011, а разность равна 11. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.
б) найдите сумму первых тысячи чисел получившейся последовательности
в) чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившеся последовательности, идущих подряд?
Решение: а) Тысячное число исходной прогрессии равно а(1000)=а(1)+ d*999=2011+11*999=13000.
Значит искомое число: 1+3=4.
б) Свойство делимости на 9:
1) Число имеет такой же остаток от деления на 9 как и сумма его цифр, деленная на 9.
2) Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9 как остаток от делении суммы остатков этих чисел на 9.
Звучит жутко) Но выглядит так:
a / 9 = b*c + r1
d / 9 = e*f + r2
(a+d) / 9 = m*n + r3(r1+r2) / 9 = p*q + r3. Так надеюсь понятно.
Вернемся к задаче:
2011 mod9 = 4
11 mod9 = 2
(2+4) mod9 = 6
(6+2) mod9 = 8
(8+2) mod9 = 1
(1+2) mod9 = 3
(3+2) mod9 = 5
(5+2) mod9 = 7
(7+2) mod9 = 0 или (что тоже самое) =9
(9+2) mod9 = 2
(2+2) mod9 = 4
(4+2) mod9 = 6
и так далее.
.
Значит получившаяся последовательность переодична с периодом. 9:
Сумма первых 9 членов: 2+4+6+8+1+3+5+7+9=45.
Значит сумма 999 членов равна 111*45 = 4995
Сумма первых тысячи равна 4995+4 = 5001
в) для наибольшей суммы нам надо взять 112*45 (это 1008 чисел) + 7 + 9 = 5056.
Выглядит как-то так: 7 + 112*(9+2+4+6+8+1+3+5+7) + 9 = 5056.Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2015, а разность равна 10. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) Найдите тысячное число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первой тысячи чисел, получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?
Решение: а) а1000=а1+999*d=2015+9990=12005, сумма цифр=8
б) первое число получившейся последовательности=8. второе 9, третье 1 итд, будут чередоваться ряды цифр (1,2,3,4,5,6,7,8,9), их сумма=(9+1)*4.5=45, таких рядов будет 999/9=111, и плюс еще одно тысячное число 8, т. е. сумма=111*45+8=4892
в) наименьшая сумма достигается при а1=1, отстаток от деления 1010 на 9 = 3, целая часть - 112. тогда сумма будет 112*45+1+2+3 (оставшиеся 3 числа) = 5046Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна 32/81. Найдите сумму этой прогрессии
Решение: Первый член прогрессии равен 4,
Третий равен 4q².
Пятый равен 4q⁴.
По заданию разность третьего и пятого членов равна 32/81:
4q² - 4q⁴ = 32 / 81.
Сократим на 4:
q² - q⁴ - (8/81) = 0.
Получили биквадратное уравнение. Примем q² = z.
Тогда получаем квадратное уравнение:
-z² + z - (8/81) = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно z:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*(-1)*(-8/81)=1-4*(-1)*(-(8/81))=1-(-4)*(-(8/81))=1-(-4*(-(8/81)))=1-(-(-4*(8/81)))=1-(-(-(32/81)))=1-(32/81 )= 49/81 ≈ 0.604938271604938;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
z₁=(√(49/81)-1)/(2*(-1))=((7/9)-1)/(2*(-1))=-(2/9)/(2*(-1))=-(2/9)/(-2)=-(-(2/9)/2) = -(-(1/9)) =1/9~~0.111111111111111;
z₂=(-√(49/81)-1)/(2*(-1))=(-(7/9)-1)/(2*(-1))=-(16/9)/(2*(-1))=-(16/9)/(-2)=-(-(16/9)/2) = -(-(8/9)) = 8/9 ≈ 0.888888888888889.
Отсюда получаем 2 значения коэффициента q = +-√z.
(отрицательные значения отбрасываем - по условию задачи).
q₁ = √(1/9) = 1/3.
q₂ = √(8/9) = √8/3 = 2√2/3.
Тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна:S₁ = b₁ / (1 - q) = 4 / (1 - (1/3)) = 4 / (2/3) = 6.
S₂ = 4 / (1 - (2√2/3) = 4 / (1- 0.942809) = 69.94113.B1 = 4
b3 - b5 = 32/81
b1·q² - b1·q^4 = 32/81
4q² - 4q^4 -32/81 = 0 |: 4
q² - q^4 -8/81 = 0
81q² - 81q^4 -8 = 0
81q^4 - 81q² +8 = 0
q²= t
81t² -81t +8 = 0
D = b² - 4ac = 6561 - 4·81·8 =81(81 -32) = 81·49
t1 = (81 +63)/162 = 144/162
t2 = (81 - 63)/162 = 18/162=1/9
а) q² = 144/162
q = 12√2/18
S = b1/(1-q)
S = 4/(1 - 12√2/18)
б) q² = 1/9
q = 1/3
S = b1/(1 - q)
S= 4/(1 - 1/3) = 4 : 2/3 = 6Найдите разность между первым и вторым членом бесконечно убывающей геометрической прогрессии если ее сумма равна 12 а знаменатель-1/2
Решение: Решение:
Дано:
b1+b2=12
q=-1/2
Найти: b1-b2=?
b2=b1*q=b1*-1/2=-b1/2 Подставим это значение b2 в сумму b1+b2=12
b1+(-b1/2)=12
b1-b1/2=12 приведём к общему знаменателю 2
2*b1-b1=2*12
2b1-b1=24
b1=24
Отсюда:
b2=-24/2=-12
Разность между первым и вторым членом данной геометрической прогрессии равна:
b1-b2=24-(-12)=24+12=36
Сумма квадратов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 4, второй член равен 3/sqrt(2). Найдите все возможные значения знаменателя прогрессии.
Решение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна S=b1/(1-q) b2=3/sqrt(2), значит b1=sqrt(3)/sqrt(sqrt(2))
Подставляем значения
sqrt(3)/sqrt(sqrt(2))/(1-q)=4 9(1-q)^4=1024
(1-q)^4=1024/9
(1-q)^2= - sqrt(1024/9) или (1-q)^2= sqrt(1024/9)
(1-q)^2= - 32/9 (1-q)^2= 32/3
коней нет 1-q= - sqrt(32/3) или 1-q= sqrt(32/3)
q=1+4*sqrt(2/3) q=1-4* sqrt(2/3)Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов равно 16/3
Решение: Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+.). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q². В условии дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0<q<1. Но тогда и 0<q²<1, то есть прогрессия в скобках имеет сумму, равную 1/(1-q²). Тогда S1=b1²/(1-q²). А сумма заданной в условии прогрессии S2=b1/(1-q). По условию, S1/S2=b1/(1+q)=16/3. С другой стороны, по условию b2=b1*q=4. Мы получили систему из двух уравнений для определения b1 и q:
b1/(1+q)=16/3;
b1*q=4
Из второго уравнения находим q=4/b1. Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1²/(b1+4)=16/3, которое приводится к квадратному уравнению 3*b1²-16*b1-64=0. Дискриминант D=(-16)²-4*3*(-64)=1024=32². Тогда b1=(16+32)/6=8,
b2=(16-32)/6=-16/6=-8/3. Но так как прогрессия по условию- убывающая, то b1>b2. Значит, b1=8. Тогда q=b2/b1=4/8=1/2 и искомая сумма S7=8*((1/2)⁷-1)/(1/2-1)=8*(1-(1/2)⁷)/(1-1/2)=16*(1-(1/2)⁷)=16*(1-1/128)=16*127/128=127/8. Ответ: 127/8.Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, если ее второй член равен 4, а отношение сумму квадратов членов к сумме членов равно 16/3.
Решение: $$ S_{7}= \frac{b_{1}}{1-q} $$
$$ b_{2}=4 $$
$$ \frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+.+b^{2}_{7}}{b_{1}+b_{2}+.+b_{7}}= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+.+b^{2}_{7}}{S_{7}}= \frac{16}{3} $$
$$ b_{2}=b_{1}q $$ => $$ b_{1}= \frac{b_{2}}{q}= \frac{4}{q} $$
$$ S_{7}=S= \frac{4}{q(1-q)} $$
$$ \frac{b^{2}_{1}*(1+q^{2}+q^{4}+.+q^{12})}{ \frac{4}{q(1-q)} }= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{ \frac{16}{q^{2}} *(1+ \frac{q^{2}}{1-q^{2}} )}{ \frac{4}{q(1-q)} }= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{16q*(1-q)}{q^{2}}* \frac{1-q^{2}+q^{2}}{1-q^{2}}= \frac{16*4}{3} $$
$$ \frac{16}{q(1+q)}= \frac{16*4}{3} $$
$$ \frac{1}{q(1+q)}= \frac{4}{3} $$
$$ q+q^{2}- \frac{3}{4}=0 $$
$$ 4q^{2}+4q-3=0, D=64 $$
$$q_{1}= \frac{-4-8}{8}=- \frac{12}{8}\ < \ -1 \\ q_{2}= \frac{1}{2} $$
$$ S=\frac{4}{0.5*(1-0.5)}=\frac{4}{0.5*0.5}=16 $$
Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами, если ее сумма равна 3/4, а третий член равен 1/9
Решение: $$ b_{n}=b_{1},b_{2}.b_{n} $$
$$ b_{n}\ > \ 0 $$
$$ b_{4}=b_{1}*q^{3} $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2}= \frac{1}{9} $$ => $$ q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} } $$
$$ S= \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4} $$ => $$ q= \frac{3-4b_{1}}{3} $$
$$ \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }=\frac{3-4b_{1}}{3} $$
$$ 3-4b_{1}\ > \ 0 \\ b_{1}\ > \ 0 \\ b_{1}= \frac{1}{(3-4b_{1})^{2}} \\ 0\ < \ b_{1}\ < \ b_{1}\ < \ \frac{3}{4}$$ (*)
$$ b_{1}= \frac{1}{9-24b_{1}+16b^{2}_{1}} $$
$$ 16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=0 $$
$$ 16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=(b-1)(16b^{2}_{1}-8b_{1}+1)=0 $$
$$ b_{1}=1 $$ - посторонний корень (*)
$$ 16b^{2}_{1}-8b_{1}+1=(4b_{1}-1)^{2}=0 $$
$$ b_{1}= \frac{1}{4} $$
$$ q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }= \frac{1}{3 \sqrt{ \frac{1}{4} } }=\frac{2}{3} $$
$$ b_{4}=\frac{1}{4}*(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{4*27}=\frac{2}{27} $$
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов ее членов равна 27/208. Найдите сумму квадратов членов
прогрессии
Решение: Решение
для убывающей геометрической прогрессии
Sn = b₁ / (1-q)
b₁ / (1-q) = 3/4
4b₁ = 3(1-q)
и сумма кубов тоже будет убывающей.
Sn³ = (b₁)³ / (1-q³)
(b₁)³ / (1-q³) = 27/208
27(1-q)³ / (64(1-q³)) = 27/208
(1-q)³ / ((1-q)(1+q+q²)) = 4/13
(1-q)² / (1+q+q³) = 4/13
13(1-2q+q²) = 4(1+q+q²)
13-26q+13q² - 4-4q-4q² = 0
3q² - 10q + 3 = 0
D = 100 - 4*9 = 64
q₁ = (10 + 8)/6 = 3
q₂ = (10 - 8)/6 = 1/3
b₁ = 1/2
Сумма квадратов членов прогрессии равна
(b₁)^2 / (1-q²) = 1/4 : 8/9 = 1/4 * 9/8 = 9/32
