прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 6

  • найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трех ее членов равна 39, а сумма обратных им величин равна 13/27.


    Решение: пусть первые три члена равны a, a/p, a/(p^2), где р>1, так как прогрессия убывающая. Тогда

    a+a/p+a/(p*2)=39

    и 1/a+p/a+p^2/a=13/27. решив систему найдём p=3 a=3. Тогда знаменатель прогрессии равен 1/p=1/3. Тогда сумма прогрессии считается как:

    a/(1-1/p)=3/(1-1/3)=4,5

  • Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 5/3, 5/9, 5/27,


    Решение: Шаг прогрессии: $$ q=\frac{1}{3} $$. Когда $$ |q|<1 $$ применяем формулу для нахождения геометрического ряда $$ \frac{a_{1}}{1-q} $$
    $$ \frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{2} $$

    Сама формула получается из обычной формулы суммы геометрической прогрессии: $$ \frac{a_{1}(q^n-1)}{q-1} $$
    Если вычислить предел $$ \lim_{n \to \infty} q^n $$ когда $$ |q|<1 $$ получаем $$ \lim_{n \to \infty} q^n=0 $$, следовательно формула получает вид той, которую я использовал вначале.

  • Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если:
    q=\( \frac{ \sqrt{3} }{2} \), b₄=\( \frac{9}{8} \)


    Решение: Формула суммы бесконечно убывающей геом. прогрессии: $$ S= \frac{b_1}{1-q} $$.

    $$ b_4=b_1q^3=\frac{9}{8}\\\\q= \frac{\sqrt3}{2} \;,\; \; \; \; b_1\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^3=\frac{9}{8}\;,\; \; \; b_1\cdot \frac{3\sqrt3}{8}=\frac{9}{8}\\\\b_1=\frac{9}{8}:\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{9}{3\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\\\\S= \frac{\sqrt3}{1-\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{2\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{2\sqrt3\cdot (2+\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3\cdot (2+\sqrt3)=4\sqrt3+6 $$

  • Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии если третий член этой прогрессии равен 2, а шестой равен 1/4


    Решение: $$ b_3=2\\ b_6= \frac{1}{4}\\ S-\\ \left \{ {{b_3=2} \atop {b_6= \frac{1}{4}}} \right.\\ \left \{ {{b_1*q^2=2} \atop {b_1*q^5= \frac{1}{4} }} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop { \frac{2}{q^2}*q^5= \frac{1}{4}}} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {2q^3= \frac{1}{4} }} \right.\\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {q^3= \frac{1}{8} }} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {q= \frac{1}{2} }} \right.\\ $$
    $$ \left \{ {{b_1= \frac{2}{(1/2)^2} } \atop {q=1/2}} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{1/4} } \atop {q=1/2}} \right. \\ \left \{ {{b_1=8} \atop {q=1/2}} \right. \\\\S= \frac{b_1}{1-q}= \frac{8}{1- \frac{1}{2} }= \frac{8}{1/2}=8*2=16 $$

    Ответ: 16

  • Найти сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен 1/3, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов ее членов, к сумме этой последовательности равно 3/4


    Решение:

    Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, 
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, 
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

<< < 456 7 8 > >>