прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 7
Если к четырём последовательным членам арифметической прогрессии прибавить соответственно 7; 1; -3; -6, то получим четыре первых члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Найти ее сумму.
При каких значениях а множества значений функций у=ах^2-4х-3 и у=x^2+2ах-6 совпадают т. е одни и те же
Решение: A ; aq ; aq² ;aq³ первые члены бесконечно убывающей прогрессии (|q| <1).
a -7 ; aq -1 ; aq² +3;aq³ +6 составляют арифметическую прогрессию, где |q|≤1.
{2(aq -1) =a -7+ aq² ; 2(aq²+3) =aq -1+ aq³ +6.
{a(1-q)² = 5 ;aq(1-q)² = 1. {a(1-q)² = 5 ;5q =1 ⇒{q =1/5 ;a =125/16
S = a/(1-q) =(125/16) /(1-1/5) = 625/64.
-
y =ax² -4x -3 и y=x² +2ax - 6 (имеет минимальное значение);.
ясно что a≠0
y =ax² -4x -3 =a(x -2/a)² - 4/a² -3 ;* * * a>0 ;y(мин) = - 4/a² -3
y= x² +2ax - 6= (x+a)² - a²-6
- 4/a² -3 = -a² -6 ;
4/a² +3 = a²+6 ;
4/a² = a²+3 ;
(a²)² +3a² -4 =0⇒ a² = -4 или a² =1 ясно что a² ≥0 поэтому ⇒a² =1⇒a=±1, но a>0, поэтому a =1.
y =(x-2)² -7 и (x+1)² - 7 ;
E(y) = [-7 ; ∞)В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1=3 и q=1/3. Найти сумму этой прогрессии
Решение: Искомая сумма $$ S $$ равна:
$$ S = b_1 + b_2 + b_3 + \dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + \dots = b_1 \left(1+q + q^2 + \dots \right) $$. Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы $$ s = 1 + q + q^2 + \dots $$, формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для $$ s $$.
Рассмотрим для начала сумму первых членов $$ s_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n $$. Имеем:
$$ (1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) =\\= 1 + q + q^2 + \dots + q^n - q - q^2 - \dots - q^n - q^{n+1} =\\= 1 - q^{n+1} $$. Таким образом, $$ s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$, откуда, переходя к пределу при $$ n \rightarrow \infty $$, получаем $$ s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \frac{1}{1 - q} $$. Предел существует при $$\left|q\right|<1$$
Итак, искомая сумма равна:$$S = b_1 (1 + q + q^2 + \dots) = b_1 s = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4,5 $$1)x1,x2: x^2+ax+4=0
x3,x4: x^2+bx+16=0
x1,x2,x3,x4-геометрическая прогрессия. a- b-
2) сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов его членов равна 27/208 найти сумму квадрат членов
Решение: $$ 1)x^2+ax+4=0\\ x^2+bx+16=0 $$
по условию корни удовлетворяют такому условию
$$ \frac{x_{4}}{x_{3}}=\frac{x_{2}}{x_{1}} $$
$$ 1)\\ x_{1}+x_{2}=-a\\ x_{1}x_{2}=4\\ 2)\\ x_{3}+x_{4}=-b\\ x_{3}x_{4}=16\\ $$
последние равенство, в силу того что второй третий и четвертый можно выразить как
$$ x_{1}^2*q=4\\ x_{1}^2*q^5=16\\ q^4=4\\ q=\sqrt{2} \\ x_{1}=\sqrt[4]{8}\\ x_{2}=\sqrt[4]{32}\\ x_{3}=\sqrt[4]{128}\\ x_{4}=\sqrt[4]{512}\\ \\ a=-( \sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{32})\\ b=-(\sqrt[4]{128}+\sqrt[4]{512}) $$
$$ 2)\\ \frac{b_{1}}{1-q} = \frac{3}{4}\\ b_{1}^3+b_{2}^3.+b_{n}=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{ b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ b_{1}^3(1+q^3+q^6+.q^{3n})=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \frac{b_{1}^3}{1-q^3}=\frac{27}{208} \\\\ \frac{b_{1}^3}{(1-q)(q^2+q+1)} = \frac{27}{208}\\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \\ 4b_{1}=3-3q\\ b_{1}=\frac{3-3q}{4}\\ \frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208} $$
$$ \frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208} \\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q^3)} = \frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q)(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^2}{64(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ 208*27(1-2q+q^2)=27*64(1+q+q^2)\\ 208-416q+208q^2=64+64q+64q^2\\ 3q^2 - 10q+3=0\\ D=8^2\\ q=3\\ q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=0.5\\ b_{1}=-\frac{3}{2}\\ S^2=\frac{0.5^2}{1-\frac{1}{9}} = \frac{0.25}{\frac{8}{9}}=0.28125 $$
Первый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма её членов равна 18. Найти первый член.
Решение: Геометрическая прогрессия бесконечно убывающая, если |q| <1.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b₁
1-q
b₁=S*(1-q)
S=18
b₂=b₁-8
q=b₂/b₁= b₁-8
b₁
b₁=18*(1- b₁-8 ) = 18 * (b₁-b₁+8) = 18*8 = 144
b₁ b₁ b₁ b₁
b₁²=144
b₁=√144
b₁=12
Ответ: 12
1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (xn), если x1=0,55, x2=0,15.
2. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0,(12).
Решение: 1) надо найти q
q= x2/x1
q= 3/20 : 11/20 = 3/11
2) S6 = x1 * ( 3/11^6 - 1) / 3/11 - 1
3/11 в 6 степени это оооочень большое число. поэтому я не до конца досчитала
ну выглядит примерно так
S6 = 0.55 * 729/1771561 - 1 / 8/11
далее это огромное число сокращается на какое то число и упрощает счет
