бесконечная прогрессия - страница 9
Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b1=40, b9=-20
Решение: Такой геометрической прогрессии вообще не может существовать в действительных числах. Если первый член положительный, а девятый отрицательный, то это значит, что знаменатель последовательности отрицательный (только в этом случае в геом. прогрессии могут появиться числа разных знаков). В таком случае, если первый член положительный, то и каждый член с нечетным номером будет положительным. В данном случае член с номером 9 отрицательный - противоречие.2) Выяснить является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей
b7=12, b11 = 3 сверху в дроби, а снизу 4.
4) b5 = 9, b10= - 1 в дроби сверху, а снизу 27.
Решение: $$ 2) \ b_7 = 12, \ b_{11} = \frac{3}{4}\\\\ b_{11} = b_7*q^4, \ \frac{b_{11}}{b_7} = q^4\\\\ \frac{b_11}{b_7} = \frac{3}{4*12} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4 = q^4 $$
$$ q = |\frac{1}{2}| < 1 \ \Longrightarrow $$ Доказано, что прогрессия является бесконечно убывающей.
$$ 4) \ b_5 = 9, \ b_{10} = -\frac{1}{27}\\\\ b_{10} = b_5*q^5, \ \frac{b_{10}}{b_5} = q^5\\\\ \frac{b_{10}}{b_5} = -\frac{1}{9*27} = -\frac{1}{243} = (-\frac{1}{3})^5 = q^5\\\\ $$
$$ q = |-\frac{1}{3}| < 1 \ \Longrightarrow $$ Доказано, что прогрессия является бесконечно убывающей.
Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов. найдите второй член прогессии.
Решение: Из условия имеем систему: (ОДЗ: |q|<1)$$ \frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2}, $$
$$ \frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}. $$
Или:
$$ \frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3, $$
$$ \frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}. $$
Возведем первое в квадрат и поделим на второе:
$$ \frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \\ \ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \ \ \ 3q^2+10q+3=0,\ \ D=64 $$
$$ q_{1}=-\frac{1}{3},\ \ \ \ q_{2}=-3 $$ (не входит в ОДЗ).
Находим первый член прогрессии:
$$ b_{1}=3(1+q)=2. $$
Тогда второй член прогрессии:
$$ b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}. $$
Ответ: -2/3.
Найдите второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма равна одна целая одна третья ( смешанная дробь), а знаменатель - три четвертых
Решение: Решение:
Имеем систему:
b1+b4=54
b2+b3=36
b1+b1*q³=54
b1*q+b1*q²=36
b1=54/(1+q³), подставим во второе:
54/(1+q³)*(q+q²)=36
54q(1+q)=36(1+q³)
3q(1+q)-2(1+q)(1-q+q²)=0
(1+q)(3q-2+2q-2q²)=0
(1+q)(5q-2-2q²)=0
a) 1+q=0
q1=-1 посторонний корень,
б) 5q-2-2q²=0
2q²-5q+2=0
q2=2, посторонний корень
q3=1/2; b1=48
S=48/(1-1/2)=961. Найти а6 геометрической прогрессии (ап),
если а1=0,81; q= - 1/8.
2. В геометрической прогрессии (ап) а1=6, q=2.
Найти S7.
3. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
- 40, 20, 10, …
4. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (ап) с положительными членами, зная, что
а2=1,2 и а4=4,8.
5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
а) 0, (153); б) 0, 3(2).
Решение: 1.a6=a1*q^5=0.8*(-1/8)^5=-1/40960=-0.00002442. S7=a1(q^7-1)/q-1=6(2^7-1)/2-1=6*127/1=762.
3. Sn=a1(q^n-1)/q-1, q= a2/a1=20/(-40)=-1/2,
Sn=a1(q^n-1)/q-1=-40((-1/2)^n-1/-1,5
4. Sn=a1(q^n-1)/q-1, для решения необходимо найти а1 и q, по условию известно а2 и а4, отсюда a2=a1*q 1.2=a1*q a1=1.2/q
a4=a1*q^3 4.8=a1*q 4.8=1.2/q *q^3
4.8=1.2q^2
q^2=4
q=2
a1=1.2/2=0.6
Sn=a1(q^n-1)/q-1=0.6(1.2^n-1)/2-1=0.6(1.2^n-1)
5. 153/1000, 32/100.
Доказать, что роследовательность 1,1/3,1/9. является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, и найти сумму ее членов
Решение: Чтобы последовательность была бесконечно убывающей, не6обходимо, что-бы модуль её знаменателя был бы меньше 1
смотрим, поккажем это и найдём её сумму
$$ 1;\frac13;\frac19;.\\ b_1=1;\\ b_2=\frac13;\\ b_3=\frac19;\\ q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac19}{\frac13}=\frac39=\frac13=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac13}{1}=\frac13;\\ \left|q\right|=\left|\frac13\right|=\frac13<1;\\ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac33-\frac13}=\frac{1}{\frac{3-1}{3}}=\frac{1}{\frac23}=\frac32=1,5;\\ S=\frac32=1,5. $$
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии (Вп), если в2 - в4 = 3, в3 - в1 = -6
Решение: $$ b_2-b_4=3 $$
$$ b_3-b_1=-6 $$
$$ b_n=b_1q^{n-1} $$
$$ |q|<1 $$
$$ b_1q-b_1q^3=3; b_1q^2-b_1=-6 $$
$$ b_1q(1-q^2)=3;b_1(q^2-1)=-6 $$
разделив левые и правые части получим
$$ -q=-\frac{3}{6} $$
$$ q=0.5 $$
$$ b_1*0.5*(1-0.5^2)=3 $$
\( b_1=3:0.5:(1-0.25) \)
\( b_1=8 \)
\( S=\frac{b_1}{1-q} \)
\( S=\frac{8}{1-0.5}=16 \)
ответ: 16
2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если b1=12; q=1/3
3. В геометрической прогрессии (c_n)^ c5=162; q=-3. Найдите C1. Какие из членов прогрессии отрицательны?
Решение:
2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессий. (вп), если в1=12 q=1/3 Решение.S=12/(1-1/3)=18 Ответ.18
3. В геометрической прогрессий (сп). С5=162. q= - 3 Найдите. С1. Какие из членов прогрессий отрицательны. Решение. С5=С1 * q4 С1= С5/ q4=162/81=2 С1=2, С2= - 6 С3=18, С4= - 54, С5=162 Ответ. С1=2
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: - 40; 20; -10; ….
Решение: Член геометрической прогрессии определяется по формуле
вn=в1*q^(n-1), или в2=в1*q^(2-1)= в1*q¹=в1q
т. к. в1=-40; в2=20, по условию задачи, можно найти q, подставляем данные и находим
20=-40*q, q=-½
т. к не дано найти сумму ограниченного количества членов, то можно рассуждать так, суммы n членов определяется по формуле
Sn=в1*(1-q^n)/(1-q), т. к q=-½, тогда q^n=(-½)^n≈0 при n→∞, (-0,5;0,3;-0,25, т. е при увеличении n, q≈0, и этим членом можно пренебречь), тогда, подставив данные получим
Sn=-40*1/(1-(-½))=-40*2/3=-26⅔
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:-40; 20; -10
Решение: найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -40; 20; -10;.
член геометрической прогрессии определяется по формуле
вn=в1*q^(n-1), или в2=в1*q^(2-1)= в1*q¹=в1q
т. к. в1=-40; в2=20, по условию задачи, можно найти q, подставляем данные и находим
20=-40*q, q=-½
т. к не дано найти сумму ограниченного количества членов, то можно рассуждать так, суммы n членов определяется по формуле
Sn=в1*(1-q^n)/(1-q), т. к q=-½, тогда q^n=(-½)^n≈0 при n→∞, (-0,5;0,3;-0,25, т. е при увеличении n, q≈0, и этим членом можно пренебречь), тогда, подставив данные получим
Sn=-40*1/(1-(-½))=-40*2/3=-26⅔
