бесконечная прогрессия - страница 11
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
\( b_{1} +b_{4}=54 \\ b_{2}+b_{3}=36 \)
Найти все члены
Решение: b1(1+q^3)=54b1q(1+q)=36
36(1+q^2-q)=54q
2q^2-5q+2=0
q=1/2
b1=54/(1+1/8)=48
s=b1/(1-q)=48/(1-1/2)=96
B4=b1*q^3; b2=b1*q; b3=b1*q^2⇒
b1+b1q^3=54⇒b1(1+q^3)=54⇒b1(1+q)(1-q+q^2)=54
b1q+b1q^2=36⇒b1q(1+q)=36
Получаем систему:
b1(1+q)(1-q+q^2)=54
b1q(1+q)=36⇒b1=36/(q^2+q)
Делим первое уравнение на второе
(1-q+q^2)/q=54/36⇒(1-q+q^2)/q=3/2⇒
2(1-q+q^2)=3q⇒2q^2-5q+2=0⇒
D=5^2-4*2*2=25-16=9; √D=3
q1=(5+3)/4=2; q2=(5-3)/4=1/2
Так как прогрессия бесконечно убывающая, то
q=1/2
b1=36/(q^2+q)=36/(1/4+1/2)=36/(3/4)=36*4/3=48
b1=48; b2=48*1/2=24; b3=b2*q=24*1/2=12; b4=b3*q=12*1/2=6
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 16/3, содержит член, равный1/6. отношение суммы всех члемов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов прогрессии, стоящих после него, равно 30. определите порядковый номер этого члена прогрессии.
Решение: Кажется одно условие лишнее
{ b₁*q^(n-1) =1/6 ; b₁/(1-q) =16/3 ⇒q^(n-1)(1-q) =1/32
(одно условие не использую )
q =1/2 ; n =5 удовл. (существует ли другие решения ?)
b₁(1-q) =16/3 ⇒ b₁ = 8/3 ;
8/3 ;4/3;;2/3;1/3; b₅ =1/6 ;1/12; 1/24;.
ответ :5
Проверка :
S₁= 8/3 +4/3 +2/3 +1/=(8+4+2+1)/3 =15 /3=5 ;
S₂ =(1/12)/(1-1/2) =1/6 ;
S₁/S₂ = 5 : 1/6 =30.
****************
Пусть члену равному 1/6 предшествует n членов, тогда сумма всех членов стоящих до него будет S₁ = b₁(1-q^n)/(1-q), а сумма всех членов стоящих после него будет S₂ =(q/6)/(1-q) =q/(6(1-q)) [ они тоже составляют беск. убыв. прогр. с первым членом 1/6*q =q/6 ].
Можно написать систему :
{ S=16/3 ; S₁/S₂ = 30 ⇔ { b₁/(1-q) =16/3 ; b₁(1-q^n)/(1-q) : (q/(6(1-q)) =30.
16/3*(1-q)*(1-q^n)/(1-q)*6(1-q)/q =30 ⇒ (1-q^n)*(1-q)/q =15/16. ****************
Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии 5/3, 5/9, 5/27,
Решение: Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле S=$$ S= \frac{b₁}{1-q} $$, где b₁ - первый член прогрессии, а - q знаменатель прогрессии.
По условию $$b₁= \frac{5}{3} $$. Найдем знаменатель прогрессии.
$$q= \frac{b₂}{b₁} = \frac{ \frac{5}{9}}{ \frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \\S= \frac{ \frac{5}{3} }{1- \frac{1}{3} } = \frac{ \frac{5}{3} }{ \frac{2}{3} } = \frac{5}{2} $$
Ответ: $$ \frac{5}{2} $$Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии √7,1, \( \frac{1}{ \sqrt{7} } \)
Решение: $$ b_1=-1 $$ и $$ q= \frac{1}{ \sqrt{7} } \\ S= \frac{b_1}{1-q}= \frac{-1}{1- \frac{1}{\sqrt{7}} } =- \frac{1}{ \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} }- \frac{1}{ \sqrt{7} } } =- \frac{1}{ \frac{ \sqrt{7}-1 }{ \sqrt{7} } } = -\frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7}-1 }= \\ -\frac{ \sqrt{7}*( \sqrt{7} +1) }{( \sqrt{7}-1 )*( \sqrt{7}+1 )}=-\frac{ \sqrt{7}*\sqrt{7} +1* \sqrt{7} }{( \sqrt{7})^2-1^2} =\\= -\frac{7+ \sqrt{7} }{7-1} = -\frac{7+ \sqrt{7} }{6} $$B₁=√7 ; q= -1/√7 ; S= b₁/(1-q)=√7/(1+1/√7)=√7/((√7+1)/√7)=7/(√7+1).
Найдите сумму бесконечно убывающей геом прогрессии, если известно в1+в4=54, в2+в3=36
Решение: B1+b4=54
b2+b3=36
b1+b1*g³=54 b1(1+g³)=54 (1)
b1*g+b1*g²=36 b1g(1+g)=36 (2)
из (1) b1=54/(1+g³) (3)
(3) подставим во (2) 54g(1+g)/(1+g³)=36
54g(1+g)=36(1+g³)
3g(1+g)-2(1+g³)=0
3g(1+g)-2(1+g)(1-g+g²)
(1+g)(3g-2+2g-2g²)=0
(1+g)(5g-2-2g²)=0
1) 1+g=0 g=-1 посторонний корень (IgI <1)
2) 2g²-5g+2=0
D=9
g1=(5+3)/4=2 посторонний корень (IgI<1)
g2=(5-3)/4=0,5 знаменатель прогрессии
подставим 0,5 в 3)
b1=54/(1+0,5³)=54/1,125=48
S=b1/(1-g)
S=48/(1-0,5)=48/0,5=96
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если b1=2 q=0.875
Решение: Cумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.Sn=b1/(1-q)=2/(1-0.875)=2/0.125=16
==============================
2. Какая из геометрических прогрессий является бесконечно убывающей, если:
1) b2= 7, b3 = – 21; 2) b3 =,b4 =; 3) b4 = 35, b5 = 7; 4) b7, b8 =.
3. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
– 25 ; – 5 ; – 1;…
1) 31,25; 2) – 20 ; 3) – 31,25; 4) 20.
7. Найдите функцию, обратную функции y=-3/x+5
9. Найдите наименьшее значение функции у = х -2 на отрезке [ 1; 3 ].
1) 1; 2) – 9 ; 3) ; 4).
10. Найдите уравнение, равносильное уравнению: 3(x-4)/x-1=0
1) х2 – 5х + 4= 0; 2) х2 – 16 = 0| х – 4 | = 0; 4) | х – 1 | = 3.
11. Найдите корни уравнения √3x+37=x+3
1) х1 = – 7 ; х2 = 4; 2) х = – 7; 3) х1 = 7; х2 = – 4; 4) х = 4.
Решение: 2. только под номером 3 тк. $$ q= \frac{ b_{5} }{b_{4} } = \frac{1}{5} $$
если q (0;1), то геометр прогрессия убывающая.
3. сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии
$$ S= \frac{ b_{1} }{1-q} = \frac{25}{1- \frac{1}{5} } = \frac{25}{ \frac{4}{5} } =25*5/4=31.25 $$
где $$ q= \frac{ b_{2} }{b_{1} } = \frac{1}{5} $$
7. $$ y=-\frac{3}{x} -5 $$ обратная функция $$ y= -\frac{1}{3x} + \frac{1}{5} $$
9.$$ y = x -2 $$
$$ y’=1 $$
$$ y(1)=1-2=-1 $$
$$ y(3)=3-2=1 $$
Ответ: 1
11. $$ \sqrt{3x+37} =x+3 $$
$$ ( \sqrt{3x+37} )^2=(x+3)^2 $$
$$ 3x+37=x^2+6x+9 $$
$$ x^2+6x+9-3x-37=0 $$
$$ x^2+3x-28=0 $$
$$ x_{1} = -7 $$ $$ x_{2} = 4 $$
Ответ:4
10. 3
1. Упростите выражение (a+a/b)/(a-a/b)
2. Укажите больший корень уравления x(в квадрате) - 4 корня из 2x + 4 = 0
Варианты ответа:
1) 2 корня из 2 + 2
2) 2 корня из 2
3) 2
4) 2 корня из 2 - 2
3. Решите неравенство: x(в квадрате) <= 1-2x
Варианты ответа:
1) Нет решений
2) x=1
3) (-бесконечности; 1]
4) (-бесконечности; +бесконечности)
4. Записана стоимость (в рублях) шоколадных плиток в супермаркете "Реал": 22, 24, 28, 30, 32, 18, 21. Насколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
5. Решите уравнение x(в кубе) - 3x(в квадрате) - 25x + 75 = 0
6. Решите неравенство (1,5 - корень из 2)*(4x - 9) > 0
7. Определите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что b1 + b4 = 18, b2 + b3 = 12.
Могу добавить изображения с примерами, если нужно.
Решение: 1) и сверху и снизу приведем к общему знаменателю:
((ab+a)\b)\((ab-a)\b) вынесем общий множитель, сократим \b, получим
a(b+1) \ a(b-1) сократим а, получим
(b+1) \ (b-1).
3) х^2+2x-1≤0
найдем корни:
D=4-4=0; D=0, следовательно уравнение имеет смежные ("одинаковые" ) корни, найдем их по формуле
х1,2= -b\2a
х1,2 =-2\2=-1.
В это точке функция равна нулю.
Ветви параболы направлены вверх, схематично можно зарисовать и станет видно, что функция на всей своей протяженности >0, только в точке -1 равна нулю, это и будет ответом на вопрос.
Ответ: х=1
4. Среднее арифметическое - сложить все и разделить на количество.
(22+24+28+30+32+18+21) /7 = 175/7=25.
Медиана - середина ряда данных, для того чтобы найти ее выпишем весь ряд данных по возрастанию:
18, 21, 22, 24, 28, 30, 32. Теперь попарно зачеркиваем бОльшее и Меньшее число, постепенно приближаясь к середине. Если там останется одно число - оно и будет медианой, если пара чисел - медианой будет их среднее арифметическое.
здесь медиана - 24.
Спрашивают. на сколько отличается ср. ар и медина. 25-24=1. Ответ: 1
5. Странно, что это дают в ГИА, я такого в пробниках еще не встречал.
Зная что один из корней - множитель 75, подберем его и проверим.
х1=3, сделаем проверку.
(3^3)-3*(3^2) -25*3 + 75 = 81-81-75+75=0
Убедились, что один из корней равен трем.
теперь разделим весь этот многочлен на х-3 (на найденный корень), получим:
X^2-25=0
X^2=25
x=±5
х1=3, х2=-5, х3=5.
ответ: 3,5, 5
Найдите знаменатель бесконечно убывающей прогрессии, у которой второй член в 8 раз больше суммы всех ее последующих членов
Решение: Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, |q| < 1b2 = b1*q
b1 = b2/q
Нам нужно найти знаменатель бесконечно убывающей прогрессии, у которой второй член в 8 раз больше сумма всех ее последующих членов. То есть нам нужно знать две суммы: всей геометрической прогрессии и её части - от третьего члена до бесконечности.
S1 = b1/1-q - сумма всей геометрической прогрессии
S2 = b3/1-q - сумма членов геометрической прогрессии, начиная с третьего.
b2 = 8*S2 - второй член в 8 раз больше суммы всех членов, начиная с третьего.
Немного поработаем с формулами:
b2 = 8*S2
b1*q = 8 * b1*q^2/1-q
b1*q(1-q) = 8*b1*q^2
q - q^2 = 8*q^2
q - 9q^2 = 0
q(1-9q) = 0
q = 0 и 1-9q = 0
q = 1/9
q не может быть равно нулю(это одно из условий в геометрической прогрессии). Поэтому ответ один - 1/9.
=)
В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами значение суммы всей прогрессии-12. Найдите эту прогрессию.
Решение: $$ b_n = b_{n - 1}*q, \ q > 0, \ b_1 > 0\\\\ \sum\limits_{i = 1}^{+\infty} b_i = b_1 + b_2 +. + b_n +. = b_1 + b_1*q +. + b_1*q^{n-1} +. =\\\\ b_1*(1 + q + q^2 +. + q^{n-1} +.) = b_1*\left( \frac{1}{1 - q} \right) = 12\\\\b_1 = 12(1 - q) \\ b_1 + b_2 + b_3 = b_1(1 + q + q^2) = 10.5\\\\ 12(1 - q)(1 + q + q^2) = 10.5\\\\ 12(1 - q)\frac{1 - q^3}{1 - q} = 10.5\\\\ 1 - q^3 = \frac{7}{8}\\\\ q^3 = \frac{1}{8}\\\\ q = \frac{1}{2}\\\\ b_1 = 12(1 - \frac{1}{2}) = 6\\\\ \boxed{\sum\limits_{i = 1}^{+\infty} \left(6*\left(\frac{1}{2}\right)^{i -1}\right) = 6 + 3 + 1.5 +. = 12} $$
