прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 10
Как представить бесконечную десятичную периодическую СМЕШАННУЮ дробь в виде обыкновенной дроби? Интересует способ, при котором используется формула суммы геометрической прогрессии, и ответ на вопрос можно ли вообще этим способом представить данную дробь, или для нее нужно составлять уравнение?
Решение: Ну например 0,243243243. представим в виде обыкновенной.
Есть 2 способа решения:
1) Пусть наше число x, тогда:
1000x=243,243243243.
1000x-243=x
999x=243
x=243/999=9/37
2) Разложим нашу дробь следующим образом:
0,243 +0,000243+0,000000243.=243*10^-3+243*10^-6. это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия b1=243*10^-3 q=10^-3.
Тогда искомое число равно ее сумме:
S=b1/1-q=243*10^-3/1- 10^-3=(243/1000)/(1-1/1000)=(243/1000)/(999/1000)=243/999=9/37
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 45, а его знаменатель равен 3/5. Найдите первый член прогрессии
Решение: Нужно вспомнить формулу бесконечно убывающей прогрессии; еще нужно помнить, что геометрическая прогрессия убывает, когда модуль ее знаменателя меньше единицы.
1) Найдите сумму членов бесконечной геометрической прогрессии 8,4,
2) Найдите десятый член арифметической прогрессии: 3;7;.
3) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9;-3;1;.
4) Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно.
5) Найдите двадцать пятый член арифметической прогрессии: -3;-6;.
6) Арифметическая прогрессия: 10;8;. Найдите S10
Решение: 1) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии
S = b1/(1 - q)
У нас b1 = 8, q = 0,5, S = 8/(1 - 0,5) = 16
2) Арифметическая прогрессия
a(n) = a1 + d*(n - 1)
У нас a1 = 3, d = 4, n = 10, a(10) = 3 + 4*9 = 3 + 36 = 39
3) b1 = 9, q = -1/3, S = 9/(1 - 1/3) = 9/(2/3) = 9*3/2 = 13,5
4) Сумма арифметической прогрессии
S = (a1 + a(n))*n/2
a1 = 2, n = 102-2+1 = 101, a(101) = 102
S = (2 + 102)*101/2 = 52*101 = 5252
5) a1 = -3, d = -3, n = 25, a(25) = -3 - 3*24 = -3 - 72 = -75
6) a1 = 10, d = -2, n = 10, a(10) = 10 - 2*9 = 10 - 18 = -8
S(10) = (10 - 8)*10/2 = 2*10/2 = 10
Найдите третий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 8/5, а второй член равен (-1/2)
Решение: В условии пропущено слово бесконечно УБЫВАЮЩАЯ.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле:
S=b₁/(1-q)
Второй член геометрической прогрессии находится по формуле:
b₂=b₁·q
Подставляем числовые данные
8/5=b₁/(1-q);
(-1/2)=b₁·q.
Система двух уравнений с двумя неизвестными
8(1-q)=5b₁ ⇒b₁ =8(1-q)/5
2b₁q=-1
2·(8(1-q)/5)·q= - 1
16q²-16q-5=0
D=(-16)²-4·16·(-5)=16·(16+20)=16·36=(4·6)²=24²
q=(16-24)/32=-1/4 или q=(16+24)/32=5/4 - не удовлетворяет условию.
b₃=b₂·q=(-1/2)·(-1/4)=1/8
О т в е т. 1/8
Найдите 3-ий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 6, а сумма 5-ти первых членов равна 93/16
Решение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как: Sб = b1/(1-q), где b1 - первый член прогрессии, q - ее знаменатель, причем |q|<1.
По условию, Sб=b1/(1-q)=6. То есть (q-1)/b1=-1/6, b1=6*(1-q)
Сумма первых n членов любой геометрической прогрессии определяется как:
S = b1*(q^n-1)/(q-1).
То есть b1*(q^n-1)/(q-1)=93/16.
Умножим левую часть этого равенства на (q-1)/b1, а правую на равное значение -1/6:
b1*(q^n-1)/(q-1) * (q-1)/b1 = 93/16 * (-1/6)
Получим, что q^n-1=-93/96, q^n=3/96=1/32.
По условию, n=5. Получим, что q=1/2.
Найдем b1: b1=6*(1-q) = 6*(1-1/2)=3
Далее найдем 3-й член прогрессии как: b3=b1*q^2=3*(1/2)^2=3/4
