бесконечная прогрессия - страница 8
1) Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии -2; 1; 2. 2) Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии 32:27: 16:9;. 3) Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 6:4;.
Решение: 1) невозможно найти d - разность арифметической прогрессии (видимо ошибка в условии). напишу формулы
$$ d=a_{n+1}-a_n \\ S_n= \frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
2) найти знаменатель q геометрической прогрессии тоже не получается из-за ошибки в условии. пишу формулы.
$$ q= \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} $$
3) формула суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
$$ S= \frac{b_1}{1-q} \\ S= \frac{6}{1- \frac{2}{3}}= \frac{6}{ \frac{1}{3}}=6*3=18 $$
1. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если известно, что b3=2,4 b5=0,32
2 найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 18; -12; 8.
3. Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии, если х1=0,48 х2=0,32
4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь0,2(3)
Решение: 1.b3=b1*q^2,b5=b1*q^4
b6=b1*q^5
2.4=b1*q^2
0.32=b1*q^4 разделим 2-ое уравнение на первое, получим
q^2=0,32/2,4
q^2=0.02*2^4/0.3*2^3
q^2=0.02*2=0.3=4/30=2/15
q=√2/15=0.36
b6=b5*q^5=0,32*(0.36)^5=0.32*0.006=0.00192
2.b1=18,b2=-12,b3=8
q=b2/b1=-12/18=-2/3
Sn=b1(q^n-1)/(q-1)=18*(-2/3)^n-1)/-2/3-1=18*( (-2/3)^n-1)/-5/3=54/5*(-2/3)^n-1)
3.x1=0.48, x2=0.32
q=x2/x1=0.32/0.48=2/3
S10=x1(q^10-1)/q-1=0.48(2/3)^10-1)/2/3-1=0.48(1024/59049-1)/-1/3=0.48*58025/59049/-1/3=27852/59049*(-3)=-83556/59049=-1.42
4.0.2(3)=23/100
1) {bn} - геометрическая прогрессия. Найдите b6, если b1=4, q=одна вторая.
2)Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 12; 6;.
3)Найдите сумму ста первых членов последовательности {Xn}, если Xn=2n+1
4) {bn} - геометрическая прогрессия, b1=625, q=одна пятая. Найдите S5.
5) Арифметическая прогрессия: 10; 8;. Найдите S10
6) Найдите 25-ый член арифметической прогрессии: -3; -6;.;
7) Вычислите S4, если {bn} - геометрическая прогрессия, b1 = 1, q = 3.
8) Найдите 8-й член геометрической прогрессии (Bn), если b1=32, q= одна вторая.
9) {An} - арифметическая прогрессия и a1= -10, d=2. Найдите S5.
Решение: 1)$$ b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\\ b_{6}=4*\frac{1}{2}^{5}\\ b_{6}=\frac{1}{8} $$2)$$ b_{1}=12\ b_{2}=6 -> q=2\\ $$
$$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{n}=\frac{12*(2^{n}-1)}{2-1}\\ S_{n}=12(2^{n}-1) $$
3)$$ X_{n}=2n+1\\ n=100\\ x_{100}=2*100+1=201\\ $$
4)$$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{5}=\frac{625(\frac{1}{5}^{5}-1)}{\frac{1}{5}-1}\\ S_{5}=\frac{625*(-\frac{3124}{3125})}{-\frac{4}{5}}\\ S_{5}=\frac{-\frac{3124}{5}}{-\frac{4}{5}}\\ S_{5}=781\\ $$
5)$$ a_{1}=10\ a_{2}=8 -> d=2\\ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\\ S_{10}=\frac{2*10+2(10-1)}{2}*10\\ S_{10}=\frac{38}{2}*10\\ S_{10}=38*5\\ S_{10}=190\\ $$
6)$$ a_{1}=-3\ a_{2}=-6 -> d=-3\\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)\\ a_{25}=-3-3(25-1)\\ a_{25}=-75\\ $$
7)$$ S_{n}=\frac{b_{1}*(q^{n}-1)}{q-1}\\ S_{4}=\frac{1*(3^{4}-1)}{3-1}\\ S_{4}=\frac{80}{2}\\ S_{4}=40\\ $$
8)$$ b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\\ b_{8}=32*\frac{1}{2}^{7}\\ b_{8}=32*\frac{1}{128}\\ b_{8}=\frac{1}{4}\\ $$
9)$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\\ S_{5}=\frac{2*(-10)+2(5-1)}{2}*5\\ S_{5}=\frac{-20+8}{2}*5\\ S_{5}=\frac{-20+8}{2}*5\\ S_{5}=-6*5=-30 $$
Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( \frac{31}{8} \), а последующих пяти членов равна \( \frac{31}{256} \). Найдите сумму всех членов прогрессии
Решение: $$ b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}=\frac{31}{8}\\ b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}=\frac{31}{256}\\ \\ b_{1}(1+q+q^2+q^3+q^4)=\frac{31}{8}\\ b_{1}(q^5+q^6+q^7+q^8+q^9)=\frac{31}{256}\\ \\ $$
теперь если поделить второе на первое то есть
$$ \frac{q^5+q^6+q^7+q^8+q^9}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ \frac{q^5(1+q+q^2+q^3+q^4)}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ q^5=\frac{1}{32}\\ q=\frac{1}{2}\\ $$
то есть $$ q=0.5\\ b_{1}=2\\ \\ S_{n}=\frac{2}{1-0.5} =4 $$
Ответ 41. найдите 25-ый член арифметической прогрессии -3 -6
2. найдите 10 -й член арифметической прогрессии 3 7
3. сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9 разность между четвертым и вторым членами 0.4 найдите первый член прогрессии.
4. сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию равна 111 второе число больше первого в 5 раз. найдите эти числа
5. найдите разность арифметической прогрессии если а21=15 а1=5
6. найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительною
7. вычислите сумму 1/5 + 8/15 + 13/15 +.+33/15
8. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если б1=2 q=0.875
9. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9 -3 1
Решение: 1. найдите 25-ый член арифметической прогрессии -3 -6 d=-6+3=-3a25=a1+24d=-3-72=-75
2. найдите 10 -й член арифметической прогрессии 3 7 d=7-3=4
a10=a1+9d=3+36=39
3. сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9 разность между четвертым и вторым членами 0.4 найдите первый член прогрессии.
a4-a2=0.4 a1+3d-a1-d=0.4 2d=0.4 d=0.2
S6={2a1+5d}/2*6 {2a1+1}*3=9 2a1+1=3 2a1=2 a1=1
4. сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию равна 111 второе число больше первого в 5 раз. найдите эти числа
a1+a1+d+a1+2d=111 3a1+3d=111 a1+d=37
a1+d=5a1 5a1=37 a1=7.4 a3=111-(7.4+37)=66.6
7.4 37 66.6
5. найдите разность арифметической прогрессии если а21=15 а1=5
a21=a1+20d 20d=15-5=10 d=0.5
6. найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительною
n=102-2+1=101 S101=(2*2+100*1)/2*101=52*101=5252
8. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если б1=2 q=0.875
S=b1/1-q=2/(1-0.875)=2/0.125=2000/125=16
9. найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9 -3 1
q=-1/3
S=9/(1+1/3)=9/(4/3)=9*3/4=27/4=6.75
