прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 8
Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма первого и второго членов равна 3, а произведение первого и третьего членов равно 36.
Решение: $$ b_{1}, b_{2}= b_{1}q, b_{3}= b_{1} q^{2} $$
$$ \left \{ { b_{1}+ b_{1}q =3 \atop b_{1}* b_{1}q=36} \right. \left \{{ b_{1}= \frac{3}{1+q}} \atop { b^{2} q^{2}=36} \right. $$
подставляем первое уравнение во второе
$$ \frac{9}{ (1+q)^{2}}* q^{2}=36 ; \frac{q^{2}}{ (1+q)^{2}}=4 ;\\ \frac{q}{1+q}=+-2 ; q=2+2q; q_{1}=-2; b_{1}=\\= \frac{3}{1-2} ; b_{1.1}=-3 q=-2-2q; q_{2}=\\=- \frac{2}{3} b_{1}= \frac{3}{1- \frac{2}{3}} ; b_{1.2}=9 -3;6;-18 - не подходит 9;\\ -6;4 - подходит S= b_{1}/(1-q)= \frac{9}{1-(- \frac{2}{3}) } =\\=9/ \frac{5}{3}= \frac{27}{5}=5 \frac{2}{5} $$Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 9, а сума четырех первых членов равна 80/9
Решение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S∞=b₁/(1-q) 9=b₁/(1-q)
Сумма четырех первых членов вычисляется по формуле
S₄=b₁(1-q³)/(1-q) 80/9=b₁(1-q³)/(1-q)
Имеем два уравнения с двумя неизветными. Из первого находим b₁ и подставим во второе
b₁=9(1-q)
80/9=9(1-q)(1-q³)/(1-q)
80/9=9(1-q³)
1-q³=80/81
q³=1-80/81=1/81
q=1/9
Тогда b₁=9(1-1/9)=8
Находим искомую сумму трех первых членов
S₃=b₁(1-q²)/(1-q)=8(1-1/81)/(1-1/9)=9(1-1/81)=9-1/9=8целых8/9
определить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что сумма ее первого и четвертого членов равна 54, а сумма второго и третьего равна 36.
Решение: b1+b4 = b1+b1*q^3 = b1(1+q^3) = b1(1+q)(1-q+q^2) = 54b2+b3 = b1*q + b1*q^2=b1q(1+q) = 36
разделим первое на 2е
(1-q+q^2)/q = 54/36
q^2 - q + 1 = 1,5q
q^2 - 2,5q + 1 = 0
По теореме Виета
q1=2
q2=0,5
Для бесконечно убывающей прогрессии |q|<1
b1 = 36/q(1+q) = 36/0,5*1,5 = 48
S = b1/(1-q)= 48/0,5 = 96
все члены бесконечно убывающей геометрической прогресси положительны, а сумма равна 8, сумма её первых четырех членов равна 15/2. найдите первый член прогрессии.
Решение: Т. к. прогрессия бесконечно убывающая геометрическая и с положительными членами, то q=1/2. Найдем q из S=b1/(1-q)=8, откуда b1=8*( (1-q)=8*(1-1/2)=8*1/2=4Ответ: 4.
Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси, если сумма всех членов прогресси равна 2, а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.
Решение: Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(b_n \) имеем по условию: \( S=b_1+b_2+b_3+.=\dfrac{b_1}{1-q}=2 \), где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию \(c_n\), составленную из квадратов членов исходной прогрессии, т. е. \( c_1=(b_1)^2,\ c_2=(b_2)^2,\ c_3=(b_3)^2,\). Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,\( \tilde{S}=c_1+c_2+c_3+.=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=5 \), где \(\tilde{q}\) - знаменатель уже новой прогрессии.
\( \tilde{q}=\frac{(b_2)^2}{(b_1)^2}=(\frac{b_2}{b_1})^2=q^2 \)
Преобразуем:
\( \tilde{S}=5=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{(b_1)^2}{1-q^2} \)
Получим систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=2 \\ \frac{(b_1)^2}{1-q^2}=5 \end{cases}\)
Делим первое на второе и запишем в первой строке системы:
\( \begin{cases} \frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(b_1)^2}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases}\) <=>\( \begin{cases} \frac{1+q}{b_1}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases} \\ \frac{1+q}{2-2q}= \frac{2}{5} \\ 5+5q=4-4q \\ 9q=- 1 \\ q=- \frac{1}{9}\)
Ответ: $$ - \frac{1}{9} $$Является ли последовательной бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если она задана формулой n-го числа bn=3*(-2)^n ; bn=-3*4^n; bn=2*(-1/3)^n-1; bn=5*(-1/2)^n-1 ;
bn=8(-1/4)^n-1; bn=-2*(-3)^n
Решение: Последовательность называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если -1 < q < 1.
нужно в каждом случае найти q.
Ответ "ДА" в третьем, четвертом и пятом случаях)))
когда q = -1/3, q = -1/2, q = -1/4
1. Дана геометрическая прогрессия 2;4;8;. а) Найдите 6 член прогрессии б) найдите сумму первых 6 членов прогрессии. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (bn), если b1=24 q=1/2 3. В геомктрической прогрессии(сn) с5=162 q=-3 а) Найдите с1 б) Какие из членов данной прогрессии отрицательны?
Решение: 11111111111111Дано:
2;4;8. г. пр.
b1=2
b2=4
b3=8
Найти:
1)S6-
2)b6
Решение:
Сначала найдем знаменатель г. пр.
Формула - q=b2/b1
q=4/2
q=2
1) Теперь найдем S6 (1 формула во вложении)
S6= 2*(1-2^6) / 1-2
=2*(1-64) / -1
=2* (-63) / -1
=-126 / -1 = 126
2) Найдем 6 член г. пр. (2 формула во вложении)
b6=2*2^5
=2*32=64
Ответ: 1)S6=126; 2)b6=64.
1. Дана геометрическая прогрессия 2;4;8;. а) Найдите 6 член прогрессии б) Сумму первой 6-ти членов членов прогрессий 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (bn), если b1=24 q=1/2 3. В геометрической прогрессий (Сn) c4=24 ; q=-2 а) Найдите С1 б) Какие из чисел данной прогрессии отрицательны? 4. Дана бесконечная геометрическая прогрессия (Сn) с суммой S=15 и первым членом С1=18. Найдите q.
Решение: 1. g=b(n+1)\bn=4\2=2 a)b6=b1*g^n-1=2*2^5=64 б) S6=(b6*g-b1)\g-1=(64*2-2)\2-1=1262. S(бесконечной)=b1*(g^n-1)\g-1 = (24*(1/2^n - 1 ))\ 1/2
3/ a) c1=c4\g^3=24\(-2)^3=-3 б) все нечётные члены прогрессии будут отрицательны т. е c1.c3.c5.c7.c9 и т. д
4.Sn=c1(g^n-1)\g-1 подставляем известные значения, упрощаем, выражаем g. 15=18*(g^n-1)\g-1= 18g^n-15g-3=0 (квадратное ур-ние. решаем) D=441 g1=-1\6 g2= 1 Ответ: 1,1\6.
Сумма кубов всех членов бесконечной геометрической прогрессии относится к сумме квадратов ее членов как 12/13. Найдите третий член прогрессии, если сумма первых двух ее членов 4/3.
Решение: S=a(1)/(1-q)=3-сумма членов искомой прогрессии.
a(1)=3*(1-q)
Кубы ее членов - новая убывающая геом. прогрессия.
Тогда S’=a’(1)/(1-q’)=108/3
При этом a’(1)=a(1)^3 и q’=q^3.
{a(1)+a(1)*q+a(1)*q^2+.+a(1)*q^(n-1)
a(1)^3+a(1)^3*q^3+a(1)^3*q^6+.}
S’=(27*(1-q)^3)/(1-q^3)=
=(27*(1-q)^2)/(1+q+q^2)=108/13
243q^2-810*q+243=0
q(1)=1/3<1
q(2)=3>1-отбрасываем.
Тогда а (1)=3*(1-1/3)=2
Прогрессия a(1)=2;q=1/3Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, (2 примера) если
1) b7=-30,b6=15
2)b5=-9,b9=-1/27
всё по дейсвтиям)
Решение: 1) $$ b_7=b_1*q^6\ \ \ \ b_6=b_1*q^5 \\\ b_1*q^6=-30\ \ \ \ b_1*q^5=15\\\ \frac{b_1*q^6}{b_1*q^5}=\frac{-30}{15}\\\ q=-2\\\ |q|>1 $$
Следовательно геометрическая прогрессия бесконечно убывающей не является.
2) $$ b_5=b_1*q^4\ \ \ \ b_9=b_1*q^8 \\\ b_1*q^4=-9\ \ \ \ b_1*q^8=-\frac{1}{27}\\\ \frac{b_1*q^8}{b_1*q^4}=-\frac{1}{27}:(-9)\\\ q^4=\frac{1}{243}\\\ q=\frac{1}{ \sqrt[4]{243}}\\\ |q|<1 $$
Следовательно геометрическая прогрессия бесконечно убывающей является
