прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 12
Сумма квадратов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 4, второй член равен 3/sqrt(2). Найдите все возможные значения знаменателя прогрессии.
Решение: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна S=b1/(1-q) b2=3/sqrt(2), значит b1=sqrt(3)/sqrt(sqrt(2))
Подставляем значения
sqrt(3)/sqrt(sqrt(2))/(1-q)=4 9(1-q)^4=1024
(1-q)^4=1024/9
(1-q)^2= - sqrt(1024/9) или (1-q)^2= sqrt(1024/9)
(1-q)^2= - 32/9 (1-q)^2= 32/3
коней нет 1-q= - sqrt(32/3) или 1-q= sqrt(32/3)
q=1+4*sqrt(2/3) q=1-4* sqrt(2/3)Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов равно 16/3
Решение: Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+.). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q². В условии дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0<q<1. Но тогда и 0<q²<1, то есть прогрессия в скобках имеет сумму, равную 1/(1-q²). Тогда S1=b1²/(1-q²). А сумма заданной в условии прогрессии S2=b1/(1-q). По условию, S1/S2=b1/(1+q)=16/3. С другой стороны, по условию b2=b1*q=4. Мы получили систему из двух уравнений для определения b1 и q:
b1/(1+q)=16/3;
b1*q=4
Из второго уравнения находим q=4/b1. Подставляя это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению b1²/(b1+4)=16/3, которое приводится к квадратному уравнению 3*b1²-16*b1-64=0. Дискриминант D=(-16)²-4*3*(-64)=1024=32². Тогда b1=(16+32)/6=8,
b2=(16-32)/6=-16/6=-8/3. Но так как прогрессия по условию- убывающая, то b1>b2. Значит, b1=8. Тогда q=b2/b1=4/8=1/2 и искомая сумма S7=8*((1/2)⁷-1)/(1/2-1)=8*(1-(1/2)⁷)/(1-1/2)=16*(1-(1/2)⁷)=16*(1-1/128)=16*127/128=127/8. Ответ: 127/8.Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, если ее второй член равен 4, а отношение сумму квадратов членов к сумме членов равно 16/3.
Решение: $$ S_{7}= \frac{b_{1}}{1-q} $$
$$ b_{2}=4 $$
$$ \frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+.+b^{2}_{7}}{b_{1}+b_{2}+.+b_{7}}= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{b^{2}_{1}+b^{2}_{2}+.+b^{2}_{7}}{S_{7}}= \frac{16}{3} $$
$$ b_{2}=b_{1}q $$ => $$ b_{1}= \frac{b_{2}}{q}= \frac{4}{q} $$
$$ S_{7}=S= \frac{4}{q(1-q)} $$
$$ \frac{b^{2}_{1}*(1+q^{2}+q^{4}+.+q^{12})}{ \frac{4}{q(1-q)} }= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{ \frac{16}{q^{2}} *(1+ \frac{q^{2}}{1-q^{2}} )}{ \frac{4}{q(1-q)} }= \frac{16}{3} $$
$$ \frac{16q*(1-q)}{q^{2}}* \frac{1-q^{2}+q^{2}}{1-q^{2}}= \frac{16*4}{3} $$
$$ \frac{16}{q(1+q)}= \frac{16*4}{3} $$
$$ \frac{1}{q(1+q)}= \frac{4}{3} $$
$$ q+q^{2}- \frac{3}{4}=0 $$
$$ 4q^{2}+4q-3=0, D=64 $$
$$q_{1}= \frac{-4-8}{8}=- \frac{12}{8}\ < \ -1 \\ q_{2}= \frac{1}{2} $$
$$ S=\frac{4}{0.5*(1-0.5)}=\frac{4}{0.5*0.5}=16 $$
Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами, если ее сумма равна 3/4, а третий член равен 1/9
Решение: $$ b_{n}=b_{1},b_{2}.b_{n} $$
$$ b_{n}\ > \ 0 $$
$$ b_{4}=b_{1}*q^{3} $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2}= \frac{1}{9} $$ => $$ q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} } $$
$$ S= \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4} $$ => $$ q= \frac{3-4b_{1}}{3} $$
$$ \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }=\frac{3-4b_{1}}{3} $$
$$ 3-4b_{1}\ > \ 0 \\ b_{1}\ > \ 0 \\ b_{1}= \frac{1}{(3-4b_{1})^{2}} \\ 0\ < \ b_{1}\ < \ b_{1}\ < \ \frac{3}{4}$$ (*)
$$ b_{1}= \frac{1}{9-24b_{1}+16b^{2}_{1}} $$
$$ 16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=0 $$
$$ 16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=(b-1)(16b^{2}_{1}-8b_{1}+1)=0 $$
$$ b_{1}=1 $$ - посторонний корень (*)
$$ 16b^{2}_{1}-8b_{1}+1=(4b_{1}-1)^{2}=0 $$
$$ b_{1}= \frac{1}{4} $$
$$ q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }= \frac{1}{3 \sqrt{ \frac{1}{4} } }=\frac{2}{3} $$
$$ b_{4}=\frac{1}{4}*(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{4*27}=\frac{2}{27} $$
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов ее членов равна 27/208. Найдите сумму квадратов членов
прогрессии
Решение: Решение
для убывающей геометрической прогрессии
Sn = b₁ / (1-q)
b₁ / (1-q) = 3/4
4b₁ = 3(1-q)
и сумма кубов тоже будет убывающей.
Sn³ = (b₁)³ / (1-q³)
(b₁)³ / (1-q³) = 27/208
27(1-q)³ / (64(1-q³)) = 27/208
(1-q)³ / ((1-q)(1+q+q²)) = 4/13
(1-q)² / (1+q+q³) = 4/13
13(1-2q+q²) = 4(1+q+q²)
13-26q+13q² - 4-4q-4q² = 0
3q² - 10q + 3 = 0
D = 100 - 4*9 = 64
q₁ = (10 + 8)/6 = 3
q₂ = (10 - 8)/6 = 1/3
b₁ = 1/2
Сумма квадратов членов прогрессии равна
(b₁)^2 / (1-q²) = 1/4 : 8/9 = 1/4 * 9/8 = 9/32
