бесконечная прогрессия - страница 13
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов ее членов равна 27/208. Найдите сумму квадратов членов прогрессии
Решение: Скорее всего, здесь речь идет об убывающей геометрической прогрессии. Для убывающей геометрической прогрессии Sn -> b1 / (1-q)b1 / (1-q) = 3/4 ___ 4b1 = 3(1-q)
и сумма кубов тоже будет убывающей. => Sn3 -> (b1)^3 / (1-q^3)(b1)^3 / (1-q^3) = 27/208
27(1-q)^3 / (64(1-q^3)) = 27/208
(1-q)^3 / ((1-q)(1+q+q^2)) = 4/13
(1-q)^2 / (1+q+q^2) = 4/13
13(1-2q+q^2) = 4(1+q+q^2)
13-26q+13q^2 - 4-4q-4q^2 = 0
3q^2 - 10q + 3 = 0
D = 100 - 4*9 = 64
q1 = (10 + 8)/6 = 3 ___ q2 = (10 - 8)/6 = 1/3
b1 = 1/2
Сумма квадратов членов прогрессии = (b1)^2 / (1-q^2) = 1/4 : 8/9 = 1/4 * 9/8 = 9/32
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6. а сумма квадратов ее членов равна 7.2. найти номер члена этой прогрессии равной 64/243
Решение: Пусть : b1-первый член,q -коэффициент прогрессии. Тогда квадраты его членов тоже образуют геометрическую прогрессию: b1’=b1^2,q’=q^2. Тогда: b1/(1-q)=6. b1^2/(1-q^2)=7,2 b1^2/(1-q)^2=36 делим второе на третье: (1-q)^2/(1-q^2)=0,2 тк (q≠1 при бесконечно убывающей прогрессии, то имеем право сократить) (1-q)/(1+q)=0,2 1-q=0,2+0,2q 0,8=1,2q q=0,8/1,2=8/12=2/3 b1/(1- 2/3)=6 b1*3=6 b1=2 Ищем номер члена 64/243 64/243=2*(2/3)^n 32/243=(2/3)^n n=5. Ответ:5Сумма членов некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна сумме квадратов ее членов и равна S. Может ли в этом случае S равняться 1 ?
Решение: Положим что S=1. Пусть геометрическая прогрессия с первым членом b и знаменателем q. Тогда квадраты ее членов тоже являются геометрической прогрессией с первым членом b^2 и знаменателем q^2 соответственно. Тогда: S=b/(1-q)=b^2/(1-q^2)=1 b/(1-q)=1. 1)b^2/(1-q)^2=1 (возвели в квадрат) 2)b^2/(1-q^2)=1 Делим 1) на 2) (1-q^2)/(1-q)^2=1 (1-q)*(1+q)/(1-q)*(1-q)=1 (1+q)/(1-q)=1 1+q=1-q q=0. То есть если такая прогрессия существует, то ее знаменатель равен 0. Другими словами эта прогрессия имеет один единственный ненулевой член b=1, все остальные члены равны 0. Но вот можно ли это назвать геометрической прогрессией вопрос чисто формальный. По определению геометрической прогрессии в ней все члены отличны от нуля. Поэтому чисто формально такой прогрессии не существует. Вывод : такое невозможно.Сумма второго и восьмого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна.325/128, а сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, равна четвертому члену этой же прогрессии.
Решение: У тебя в геометрич. прогрессии n-й член есть
X_n=X_1*q^n.
Имеете 2 уравнения
X_2+X_8=325/128,
X_2+X_6=X_4+65\32.
Все: 2 уравнения с 2 неизвестными (X_1 и q),
1) X_1*q^2*(1+q^6)=325/128,
2) X_1*q^2*(1-q^2+q^4)=65/32.
Для простого решения необходимо иметь в виду соотношение:
1+q^6=(1-q^2+q^4)*(1+q^2).
Поделим 1) на 2):
1+q^2 = 5/4
=> q=1/2.
=> 1+q^6=1+1/2^6=1+1/64=65/64
=> X_1=(325/128)*(64/65)*4=5/2*4=10.
Ответ: q=1/2 и X_1=10.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма её первых пяти членов 31. Найдите первый член прогрессии
Решение: S = b1/(1-q) - формула суммы бесконечно убивающей геометрической прогрессии, где b1 - ее первый член, а q - знаменатель прогрессии.
S = b1*(q^5-1)/(q-1) - формула суммы первых пяти членов геометрической прогрессии.
b1/(1-q) = 32 => 1-q = b1/32 => q=1-(b1/32)
b1*((1-(b1/32))^5-1)/(1-(b1/32)-1) = 31
b1*((1-(b1/32))^5-1)/(-b1/32)=31
-32((1-(b1/32))^5-1)=31
(1-(b1/32))^5-1=-31/32
(1-(b1/32))^5=1/32
1-b1/32=1/2
b1/32=1/2
b1=16
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$ S = \frac{b_1}{1-q}=32. $$
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:
$$ S_5= \frac{b_1*(1-q^5)}{1-q}=31. $$
Тогда:
$$ \frac{S_5}{S}=1-q^5= \frac{31}{32} \\q^5=1-\frac{31}{32} \\q= \frac{1}{2} $$
Подставляем значение q в формулу для S:
$$ 32=\frac{b_1}{1- \frac{1}{2}} \\ b_1=32* \frac{1}{2} \\b_1=16 $$
