прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 5
Сумма всех членов бесконечной геометрической последовательности относится к сумме её первых двух членов как 4:3. Найдите сумму квадратов всех членов этой прогрессии, если её первый член равен 3.
Решение: Квадраты членов геометрической прогрессии тоже составляют геометрическую прогрессию только со знаменателем q^2 и первым членом b^2 сумма обычной геометр прог s1=b/1-q до суммы квадратов получится s2=b^2/1-q^2 по условию мы знаем отношение s1 к b+bq b:1-q/b(1+q)=1/1-q^2=4/3 зная что b=3. Подставим s2=3^2 * 4/3=12 ответ:121. Последовательность задана формулой an= 2n2 - 5n +1/ Принадлежит ли этой последовательности следующие числа: а) -2 б) 26. объясните почему
2. an - арифметическая прогрессия. а6= 3/4, а10= одна целая три четвертых. Найдите S6
Геометрическая прогрессия:
1. Найдите формулу общего члена г. п. bn, если b1= -1/32, b2= -1/16
2. bn-геометрич. прогрессия. b1=72, q= 1/3. Найдите b5
Бесконечно убывающая геометрич. прогрес.
1. 10:-8. бесконеч. убыв. геометрич. прогрессия. Найдите S
2. Сумма бесконеч. убыв. геом. прогрес. равна 14, q= -2/7. Найдите b1 и b2
Решение: 1. решим ур-е -2=2n²-5n+1 2n²-5n+3=0
n=1/4(5+-1) n=1 да
26=2n²-5n+1 2n²-5n-25=0
n=1/4(5+-15) n=5 да
2.
a6=a1+5d 0,75=a1+5d
a10=a1+9d 1,75=a1+9d
4d=1 d=0,25
a1=0,75-1,25=-0,5
S6=(a1+a6)*6/2=(0,75-0,5)*3=0,75
Геометрическая прогрессия:
1. q=b2/b1=(-1/16)/(-1/32)=2
bn=(-1/32)*2^(n-1)
2. b5=b1*q^4=72*1/3^4=72/81=8/9
Бесконечно убывающая геометрич. прогрес.
1.
S=b1/(1-q)=10/0,2=50
q=8/10 1-q=0,2
2.
S=b1/(1-q)=14
b1=14*(1+2/7)=14*9/7=18
b2=18*(-2/7)=-36/7
Выбрать правильное утверждение:
А) последовательность, n-й член которой вычисляется по формуле \( u_n=\frac{5}{9}\cdot n - \frac{7}{15} \) имеет отрицательные члены;
Б) геометрическая прогрессия со знаменателем 0,5* √ 3 бесконечно убывающая;
В) в конечной арифметической прогрессии сумма членов с нечетными номерами равна сумме членов с четными номерами;
Г) геометрическая прогрессия 3; 27;. содержит член 3^100.
Решение: А) последовательность, n-й член которой вычисляется по формуле (рис.) имеет отрицательные члены;
нет не имеет
1-й 5/9-7/15=25/45-21/45=4/45>0
Б) геометрическая прогрессия со знаменателем 0,5* √ 3 бесконечно убывающая;
q>1 возрастающая
В) в конечной арифметической прогрессии сумма членов с нечетными номерами равна сумме членов с четными номерами;
нет может быть может нет
может быть 10 членов может 11
Г) геометрическая прогрессия 3; 27;. содержит член 3^100.
b1=3^1
q=3^2
члены только с нечетной степенью тройки
999-нет ни одного1.
Дана арифметическая прогрессия 7, 3,1. найдите сумму первых пяти ее членов.
2.
Найдите значение выражения x^2 - 6x + 9 при x = 2 1/7.
3.
Решите неравентство 2x^2 - 6x +4 =< 0
1) (-∞; 1 ]
2) [1; 2]
3) (1: 2)
4) (-∞; -2]
Решение: 1) d=3-7=-4a5=7-4(4-1)=-9
S5= 7-9/2 *5=-5
Ответ:-52)(х-3)(х-3)= (2 1/7-3)(2 1/7 -3)= посчитай сначала в скобках потом умножь!
3)(х-2)(х-1)=<0
Следовательно ответ: 2)
1) 7, 3,1
а1=7
d=а2-а1=3-7=-4
а5=а1+(n-1)*d=7+4*(-4)=7-16=-9
S5=(7+(-9)/2)*5=-2/2*5=-1*5=-5
2) x=2 1/7=15/7
x^2-6x+9=(15/7)^2-6*15/7+9=225/49-(6*15)/7+9=(225-90*7+9*7)/49=(225-630+63)/49=
=-342/49=-6 48/49
3) 2x^2-6x+4 меньш. или = 0
x^2-3x+2 меньш. или = 0
D= (-3)^2-4*1*2=9-8=1
х1 = 3-1/2=2/2=1
х2=3+1/2=4/2=2
ответ 2) [1;2)
Сумма членов бесконечной арифметической прогрессии равна 3/4, а сумма её кубов равна 27/208. Найдите сумму квадратов этой прогрессии. Прошу учесть, что решение уже было на сайте, но оно неверное.
Решение: Скорее всего здесь речь идет об убывающей геометрической прогрессии.для убывающей геометрической прогрессии Sn -> b1 / (1-q)
b1 / (1-q) = 3/4 ___ 4b1 = 3(1-q)
и сумма кубов тоже будет убывающей. => Sn3 -> (b1)^3 / (1-q^3)(b1)^3 / (1-q^3) = 27/208
27(1-q)^3 / (64(1-q^3)) = 27/208
(1-q)^3 / ((1-q)(1+q+q^2)) = 4/13
(1-q)^2 / (1+q+q^2) = 4/13
13(1-2q+q^2) = 4(1+q+q^2)
13-26q+13q^2 - 4-4q-4q^2 = 0
3q^2 - 10q + 3 = 0
D = 100 - 4*9 = 64
q1 = (10 + 8)/6 = 3 ___ q2 = (10 - 8)/6 = 1/3
b1 = 1/2
Сумма квадратов членов прогрессии = (b1)^2 / (1-q^2) = 1/4 : 8/9 = 1/4 * 9/8 = 9/32
Как представить бесконечную десятичную периодическую СМЕШАННУЮ дробь в виде обыкновенной дроби? Интересует способ, при котором используется формула суммы геометрической прогрессии, и ответ на вопрос можно ли вообще этим способом представить данную дробь, или для нее нужно составлять уравнение?
Решение: Ну например 0,243243243. представим в виде обыкновенной.
Есть 2 способа решения:
1) Пусть наше число x, тогда:
1000x=243,243243243.
1000x-243=x
999x=243
x=243/999=9/37
2) Разложим нашу дробь следующим образом:
0,243 +0,000243+0,000000243.=243*10^-3+243*10^-6. это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия b1=243*10^-3 q=10^-3.
Тогда искомое число равно ее сумме:
S=b1/1-q=243*10^-3/1- 10^-3=(243/1000)/(1-1/1000)=(243/1000)/(999/1000)=243/999=9/37
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 45, а его знаменатель равен 3/5. Найдите первый член прогрессии
Решение: Нужно вспомнить формулу бесконечно убывающей прогрессии; еще нужно помнить, что геометрическая прогрессия убывает, когда модуль ее знаменателя меньше единицы.
1) Найдите сумму членов бесконечной геометрической прогрессии 8,4,
2) Найдите десятый член арифметической прогрессии: 3;7;.
3) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9;-3;1;.
4) Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно.
5) Найдите двадцать пятый член арифметической прогрессии: -3;-6;.
6) Арифметическая прогрессия: 10;8;. Найдите S10
Решение: 1) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии
S = b1/(1 - q)
У нас b1 = 8, q = 0,5, S = 8/(1 - 0,5) = 16
2) Арифметическая прогрессия
a(n) = a1 + d*(n - 1)
У нас a1 = 3, d = 4, n = 10, a(10) = 3 + 4*9 = 3 + 36 = 39
3) b1 = 9, q = -1/3, S = 9/(1 - 1/3) = 9/(2/3) = 9*3/2 = 13,5
4) Сумма арифметической прогрессии
S = (a1 + a(n))*n/2
a1 = 2, n = 102-2+1 = 101, a(101) = 102
S = (2 + 102)*101/2 = 52*101 = 5252
5) a1 = -3, d = -3, n = 25, a(25) = -3 - 3*24 = -3 - 72 = -75
6) a1 = 10, d = -2, n = 10, a(10) = 10 - 2*9 = 10 - 18 = -8
S(10) = (10 - 8)*10/2 = 2*10/2 = 10
Найдите третий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 8/5, а второй член равен (-1/2)
Решение: В условии пропущено слово бесконечно УБЫВАЮЩАЯ.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле:
S=b₁/(1-q)
Второй член геометрической прогрессии находится по формуле:
b₂=b₁·q
Подставляем числовые данные
8/5=b₁/(1-q);
(-1/2)=b₁·q.
Система двух уравнений с двумя неизвестными
8(1-q)=5b₁ ⇒b₁ =8(1-q)/5
2b₁q=-1
2·(8(1-q)/5)·q= - 1
16q²-16q-5=0
D=(-16)²-4·16·(-5)=16·(16+20)=16·36=(4·6)²=24²
q=(16-24)/32=-1/4 или q=(16+24)/32=5/4 - не удовлетворяет условию.
b₃=b₂·q=(-1/2)·(-1/4)=1/8
О т в е т. 1/8
Найдите 3-ий член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 6, а сумма 5-ти первых членов равна 93/16
Решение: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как: Sб = b1/(1-q), где b1 - первый член прогрессии, q - ее знаменатель, причем |q|<1.
По условию, Sб=b1/(1-q)=6. То есть (q-1)/b1=-1/6, b1=6*(1-q)
Сумма первых n членов любой геометрической прогрессии определяется как:
S = b1*(q^n-1)/(q-1).
То есть b1*(q^n-1)/(q-1)=93/16.
Умножим левую часть этого равенства на (q-1)/b1, а правую на равное значение -1/6:
b1*(q^n-1)/(q-1) * (q-1)/b1 = 93/16 * (-1/6)
Получим, что q^n-1=-93/96, q^n=3/96=1/32.
По условию, n=5. Получим, что q=1/2.
Найдем b1: b1=6*(1-q) = 6*(1-1/2)=3
Далее найдем 3-й член прогрессии как: b3=b1*q^2=3*(1/2)^2=3/4
