бесконечная прогрессия - страница 5
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член
которой b1=18, а знаменатель q=2/3
Решение: Решение:
Формула для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$$ S = \frac{b_1}{1-q} $$
Все, что необходимо для формулы, в условии уже есть. Осталось только подставить:
$$ S = \frac{18}{1-\frac{2}{3}} = \frac{18}{\frac{1}{3}} = 18*3 = 54 $$
Ответ: 54
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равно 192. Найти знаменатель
Решение:S=b1/(1-q) - сумма убывающей геом. прогрессии.
bn=b1q^(n-1)
система:
b1/(1-q) =4 (1) -> b1=4(1-q)
b1³ +b2³+b3³+b4³+. =192 (2)
из (2):
b1³+b1³q³ +b1³q^6 +b1q^9 +. =192
b1³(1+q³+q^6+q^9+.) =192 b1³=4³(1-q)³
(1+q³+q^6+q^9+.) - убывающая геом. прогрессия, её сумма
S=1/(1-q³) = 1/( (1-q)(1+q+q²) )
(4³(1-q)³) / ( (1-q)(1+q+q²) =192
64*(1-q)²/(1+q+q²) =192
(1-q)² =3(1+q+q²)
1-2q+q² =3+3q+3q²
2q²+5q+2=0
D=25-16 =9 √d=+-3
q1=(-5-3)/4=-2 (не удов. усл. задачи)
q2=(-5+3)/4 = - 0,5
ответ: q= - 0,5
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма её первых двух членов равна 9/2. Найдите знаменатель прогрессии
Решение: S=b1/(1-q), где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель (| q |<1).Известно, что^
S=6, т. е. b1/(1-q)=6, откуда b1=6*(1-q) (1 уравнение)
b1 +b2= 9/2 или b1 + b1 * q=9/2, откуда b1*(1+q)=9/2 (2 уравнение)
Подставим выражение для b1 из 1-го уравнения во 2-е уравнение и получим:
6*(1-q)* (1+q)=9/2, откуда 1-q^2=3/4, т. е. q^2=1/4, откуда q=1/2 или q=-1/2.
Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.
Решение: Пусть $$ b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, $$ - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна
$$ S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3} $$
Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:
$$ b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4};. $$
Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $$ b_{1}^{2} $$ и знаменателем $$ q^{2} $$
Значит, ее сумма вычисляется по формуле:
$$ S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3} $$
Получаем систему уравнений
$$ \left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right. $$
Подставим 1-е во 2-е
$$ 3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2}) $$
$$\frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q) \\ \frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q \\ \frac{4}{3}q=- \frac{2}{3} \\ q=- \frac{1}{2}$$Значит, $$ b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4 \\ b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1;$$ - искомая прогрессия
Найти значение выражения. Здесь степень двойки образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но знаменатель ее нужно найти. \( \sqrt{2\sqrt{4\sqrt{2\sqrt{4}}}} \)
Решение: Обозначим данное число через А, тогда
$$ A=(\frac{(\frac{A^2}{2})^2)}{4} $$
или
$$ 4*A*4=A^4 $$
А не может равняться 0 - так как очевидно что справа положительное число
значит разделив на А получим равенство
$$ A^3=16 $$
$$ A=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} $$
(более строго по сути в равенстве $$ A_{n-1}=(\frac{(\frac{A_n^2}{2})^2)}{4} $$ перешли к границе при $$ n->\infty $$
иначе $$ A=(\sqrt{2\sqrt{4}})^{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt{2\sqrt{4}})^{\frac{1}{8}} =\\= 2^{1}\cdot2^{\frac{1}{4}} = 2^{1+\frac{1}{4}+...}=2^{(1:(1-\frac{1}{4}))}=2^{\frac{4}{3}}=\\ 2\sqrt[3]{2} $$
