прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 3

  • 1. представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби.

    2. найти производную функции у=х/х в квадрате +1

    3. докажите, что функция у=(2х+3) в 9 степени удовлетворяет соотношению 3у=(2х+3)в 5 степени * под знаком корня у`/2

    4. найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех ее последующих членов


    Решение: 1========

    1.1818181818.   = 1+(18/100+18/10000+18/1000000+. ) выражение в скобках это сумма бесконечно убывающей геом. прогрессии, найдем элементы этой прогрессии:

    b1 = 18/100  q = b2/b1 = (18/10000) / (18/100) = 1/100

    (сумма убыв. геом. прогрессии)

    S = b1/(1-q) = (18/100) / (1-1/100) = 18/(100* 1-1/100) 18/(100*99/100) 

    (трехэтажная дробь, 100 сокращается)  = 18/99 = 2/11

    следовательно 1.18181818 = 1 + 2/11 = 1 цел 2/11

    2=====

    [x/(x^2+1)]’

    используем две формулы дифференцирования

    (u/v)’ = (vu’-uv’)/v^2 (деление)

    и

    (x^n)’ = n x^(n-1) (степенная)

    вычисляем :

    [ (x^2+1) * (x)’ - x * (x^2+1)’ ] / [ (x^2+1)^2 ] (дробь)

    (x)’ = 1

    и

    (x^2+1)’ = 2x (смотри формулы выше, степенная)

    [ (x^2+1) * 1 - x * 2x] / [ (x^2+1)^2 ] =

    = [ (x^2+1) - 2x^2] / [ (x^2+1)^2 ]        (дробь)

    Если есть желание, можно сокращать выражение...

  • чему равняется второй член бесконечной геометрической прогрессии, сумма и знаменатель которой соответственно равны 72 и 1/3?


    Решение: $$ S=\frac{b_1}{1-q} \\\ b_1=S(1-q) \\\ b_1=72(1-\frac{1}{3})=48 \\\ b_2=b_1q=48\cdot\frac{1}{3}=16 $$

    Ответ: 16

    S_n  =72,    q  =   1/3

    S_n  =  b_1 /(1  -  q)   сумма  членов  бесконечно  убывающей  геометрической  рогрессии

    b_1  =  S_n / (1  -  q)

    b_1  =  72 / (1  -  1/3)  =  72 : 2/3  72 * 2/3  =  48

    b_2  =  b_1 * q

    b_2  =  48 * 1/3  =  16

    Ответ.   16

  • 1) Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 2, а знаменатель 4
    Найдите сумму первых 3 членов этой прогрессии.
    2)Найдите сумму бесконечности геометрической прогрессии 9;-3;1
    3)Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительным члена, зная b6=0,03 B b8=0,27
    4)Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь а) 0,(198); б 0,5(8).


    Решение: B1=bn:q^(n-1) - расшифровываю- первый член равен частному n-го члена на q в степени (n-1) 
    номер члена можно вывести из формулы q^(n-1)=bn:b1 когда известны q, bn и b1 
    сумма первых семи членов равна Sn= (bn*q-b1) : (q-1) или Sn= b1*(1- q^n) : (1-q) 
    последнее можно решить СИСТЕМОЙ вида: 
    b4= b1*q^3 
    b7= b1*q^6

  • Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив предварительно, что ее знаменатель q удовлетворяет условию |q|<1
    а)36;12;4.
    г)√2;1;1/√2


    Решение: А)
    $$ 36; 12; 4;.\\ b_1=36;\\ b_2=12; b_3=4;\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{36}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{4}{12}=\frac13;\\ |q|=|\frac13|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac13}=\frac{36}{\frac23}=18\cdot3=54. $$


    г)
    $$ \sqrt2; 1; \frac{1}{\sqrt2};.\\ b_1=\sqrt2;\\ b_2=1;\\ b_3=\frac{1}{\sqrt2};\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{1}=\frac{1}{\sqrt2};\\ |q|=|\frac{1}{\sqrt2}|<1;\\ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt2}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2}{\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{2}{\sqrt2-1}=\frac{2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2)^2-1^2}=\\ =\frac{2\sqrt2+2}{2-1}=\frac{2\sqrt2+2}{1}=2\sqrt2+2. $$

  • 1)Найдите пятый член геометрической прогрессии (bn), если
    b1=-125,q=1\5.
    2)Первый член геометрической прогрессии (bn) равен 4, а знаменатель 2
    Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
    3)Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:36;-12;4;.
    4)Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (bn)
    с положительными членами, зная, что b3=0,05 и b5=0,45,
    5)Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь: а)0,
    (162); б)0,8(4),


    Решение: 1) B5=-125*1\625

    B5=1\5

    2) S8=4* (128-1)\(2-1)

    S8=4*127  = 508

    3)

    SБеск=36*  ((3^беск-1)-1)\(3-1)

    4) {B1*q^2=0,05,

        {B1*q^4=0,45;

    {B1*Q^2\B1*Q^4=0,05\0.45,

    {B1*q^4=0,45;

    1)   {Q*Q*0,05=0.45     -     Q^2=9    -   Q=-3 OR Q=3;

    2.1 Or 2.2)   {b1=0.45\81     -    B1=1\540

    Тут два случая:

    1)S8=1\540* (-3^7)\(-3-1)    -    1\540*(-2147)\(-4)  -  1\20*81\4   -  81\80   -   1,1\80

    2)S8=1\540* (3^7)\(3-1)   -   1\540* 2147\2   - 1\20*81\2   -   81\40  -  2,1\40

<< < 123 4 5 > >>