прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 3

  • Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член
    которой b1=18, а знаменатель q=2/3


    Решение: Решение:
    Формула для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии:
    $$ S = \frac{b_1}{1-q} $$

    Все, что необходимо для формулы, в условии уже есть. Осталось только подставить:

    $$ S = \frac{18}{1-\frac{2}{3}} = \frac{18}{\frac{1}{3}} = 18*3 = 54 $$

    Ответ: 54

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равно 192. Найти знаменатель


    Решение:

    S=b1/(1-q) - сумма убывающей геом. прогрессии.
    bn=b1q^(n-1)
    система:
    b1/(1-q) =4   (1) ->   b1=4(1-q)
    b1³ +b2³+b3³+b4³+. =192    (2)

    из (2):
    b1³+b1³q³ +b1³q^6 +b1q^9 +. =192
    b1³(1+q³+q^6+q^9+.) =192        b1³=4³(1-q)³
    (1+q³+q^6+q^9+.) - убывающая геом. прогрессия, её сумма
    S=1/(1-q³) = 1/( (1-q)(1+q+q²) )
    (4³(1-q)³) / ( (1-q)(1+q+q²) =192
    64*(1-q)²/(1+q+q²) =192
    (1-q)² =3(1+q+q²)
    1-2q+q² =3+3q+3q²
    2q²+5q+2=0
    D=25-16 =9  √d=+-3
    q1=(-5-3)/4=-2 (не удов. усл. задачи)
    q2=(-5+3)/4 = - 0,5

    ответ: q= - 0,5




  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма её первых двух членов равна 9/2. Найдите знаменатель прогрессии


    Решение: S=b1/(1-q), где  b1 - первый член прогрессии,  q - знаменатель (| q |<1).

    Известно, что^

    S=6, т. е. b1/(1-q)=6, откуда b1=6*(1-q) (1 уравнение)

    b1 +b2= 9/2 или b1 + b1 *   q=9/2, откуда b1*(1+q)=9/2 (2 уравнение) 

    Подставим выражение для b1 из 1-го уравнения во 2-е уравнение и получим:

      6*(1-q)* (1+q)=9/2, откуда 1-q^2=3/4, т. е.  q^2=1/4, откуда q=1/2 или  q=-1/2.

  • Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.


    Решение: Пусть $$ b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, $$ - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна
    $$ S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3} $$

    Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:
    $$ b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4};. $$
    Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $$ b_{1}^{2} $$ и знаменателем $$ q^{2} $$
    Значит, ее сумма вычисляется по формуле:
    $$ S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3} $$

    Получаем систему уравнений
    $$ \left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right. $$
    $$ \left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right. $$

    Подставим 1-е во 2-е
    $$ 3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2}) $$
    $$\frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q) \\ \frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q \\ \frac{4}{3}q=- \frac{2}{3} \\ q=- \frac{1}{2}$$Значит, $$ b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4 \\ b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1;$$ - искомая прогрессия

  • Найти значение выражения. Здесь степень двойки образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но знаменатель ее нужно найти. \( \sqrt{2\sqrt{4\sqrt{2\sqrt{4}}}} \)


    Решение: Обозначим данное число через А, тогда
    $$ A=(\frac{(\frac{A^2}{2})^2)}{4} $$
    или
    $$ 4*A*4=A^4 $$
    А не может равняться 0 - так как очевидно что справа положительное число
    значит разделив на А получим равенство

    $$ A^3=16 $$
    $$ A=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2} $$
    (более строго по сути в равенстве $$ A_{n-1}=(\frac{(\frac{A_n^2}{2})^2)}{4} $$ перешли к границе при $$ n->\infty $$

    иначе $$ A=(\sqrt{2\sqrt{4}})^{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt{2\sqrt{4}})^{\frac{1}{8}} =\\= 2^{1}\cdot2^{\frac{1}{4}} = 2^{1+\frac{1}{4}+...}=2^{(1:(1-\frac{1}{4}))}=2^{\frac{4}{3}}=\\ 2\sqrt[3]{2} $$

  • найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трех ее членов равна 39, а сумма обратных им величин равна 13/27.


    Решение: пусть первые три члена равны a, a/p, a/(p^2), где р>1, так как прогрессия убывающая. Тогда

    a+a/p+a/(p*2)=39

    и 1/a+p/a+p^2/a=13/27. решив систему найдём p=3 a=3. Тогда знаменатель прогрессии равен 1/p=1/3. Тогда сумма прогрессии считается как:

    a/(1-1/p)=3/(1-1/3)=4,5

  • Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 5/3, 5/9, 5/27,


    Решение: Шаг прогрессии: $$ q=\frac{1}{3} $$. Когда $$ |q|<1 $$ применяем формулу для нахождения геометрического ряда $$ \frac{a_{1}}{1-q} $$
    $$ \frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{5}{2} $$

    Сама формула получается из обычной формулы суммы геометрической прогрессии: $$ \frac{a_{1}(q^n-1)}{q-1} $$
    Если вычислить предел $$ \lim_{n \to \infty} q^n $$ когда $$ |q|<1 $$ получаем $$ \lim_{n \to \infty} q^n=0 $$, следовательно формула получает вид той, которую я использовал вначале.

  • Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии если:
    q=\( \frac{ \sqrt{3} }{2} \), b₄=\( \frac{9}{8} \)


    Решение: Формула суммы бесконечно убывающей геом. прогрессии: $$ S= \frac{b_1}{1-q} $$.

    $$ b_4=b_1q^3=\frac{9}{8}\\\\q= \frac{\sqrt3}{2} \;,\; \; \; \; b_1\cdot (\frac{\sqrt3}{2})^3=\frac{9}{8}\;,\; \; \; b_1\cdot \frac{3\sqrt3}{8}=\frac{9}{8}\\\\b_1=\frac{9}{8}:\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{9}{3\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\\\\S= \frac{\sqrt3}{1-\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{2\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{2\sqrt3\cdot (2+\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3\cdot (2+\sqrt3)=4\sqrt3+6 $$

  • Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии если третий член этой прогрессии равен 2, а шестой равен 1/4


    Решение: $$ b_3=2\\ b_6= \frac{1}{4}\\ S-\\ \left \{ {{b_3=2} \atop {b_6= \frac{1}{4}}} \right.\\ \left \{ {{b_1*q^2=2} \atop {b_1*q^5= \frac{1}{4} }} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop { \frac{2}{q^2}*q^5= \frac{1}{4}}} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {2q^3= \frac{1}{4} }} \right.\\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {q^3= \frac{1}{8} }} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{q^2} } \atop {q= \frac{1}{2} }} \right.\\ $$
    $$ \left \{ {{b_1= \frac{2}{(1/2)^2} } \atop {q=1/2}} \right. \\ \left \{ {{b_1= \frac{2}{1/4} } \atop {q=1/2}} \right. \\ \left \{ {{b_1=8} \atop {q=1/2}} \right. \\\\S= \frac{b_1}{1-q}= \frac{8}{1- \frac{1}{2} }= \frac{8}{1/2}=8*2=16 $$

    Ответ: 16

  • Найти сумму первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен 1/3, а отношение суммы последовательности, составленной из квадратов ее членов, к сумме этой последовательности равно 3/4


    Решение:

    Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, 
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, 
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

<< < 123 4 5 > >>