прогрессия »

бесконечная прогрессия - страница 21

  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
    \( b_{1} +b_{4}=54 \\ b_{2}+b_{3}=36 \)
    Найти все члены


    Решение: b1(1+q^3)=54

    b1q(1+q)=36

    36(1+q^2-q)=54q

    2q^2-5q+2=0

    q=1/2

    b1=54/(1+1/8)=48

    s=b1/(1-q)=48/(1-1/2)=96

    B4=b1*q^3; b2=b1*q; b3=b1*q^2⇒
    b1+b1q^3=54⇒b1(1+q^3)=54⇒b1(1+q)(1-q+q^2)=54
    b1q+b1q^2=36⇒b1q(1+q)=36
    Получаем систему:
    b1(1+q)(1-q+q^2)=54
    b1q(1+q)=36⇒b1=36/(q^2+q)
    Делим первое уравнение на второе
    (1-q+q^2)/q=54/36⇒(1-q+q^2)/q=3/2⇒
    2(1-q+q^2)=3q⇒2q^2-5q+2=0⇒
    D=5^2-4*2*2=25-16=9; √D=3
    q1=(5+3)/4=2; q2=(5-3)/4=1/2
    Так как прогрессия бесконечно убывающая, то
    q=1/2
    b1=36/(q^2+q)=36/(1/4+1/2)=36/(3/4)=36*4/3=48
    b1=48; b2=48*1/2=24; b3=b2*q=24*1/2=12; b4=b3*q=12*1/2=6

  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 16/3, содержит член, равный1/6. отношение суммы всех члемов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов прогрессии, стоящих после него, равно 30. определите порядковый номер этого члена прогрессии.


    Решение: Кажется одно условие лишнее
    { b₁*q^(n-1) =1/6 ; b₁/(1-q) =16/3 ⇒q^(n-1)(1-q) =1/32 
    (одно условие не использую )
    q =1/2 ; n =5 удовл. (существует ли другие решения ?)
    b₁(1-q) =16/3 ⇒ b₁ = 8/3 ;
    8/3 ;4/3;;2/3;1/3; b₅ =1/6  ;1/12; 1/24;.
    ответ :5
    Проверка :
    S₁= 8/3 +4/3 +2/3 +1/=(8+4+2+1)/3 =15 /3=5 ;
    S₂ =(1/12)/(1-1/2) =1/6 ;
    S₁/S₂ = 5 : 1/6 =30.
    ****************
    Пусть члену равному 1/6  предшествует n  членов, тогда сумма всех членов  стоящих до него будет S₁ = b₁(1-q^n)/(1-q), а  сумма всех членов стоящих после него будет S₂ =(q/6)/(1-q) =q/(6(1-q)) [ они тоже составляют беск. убыв. прогр.  с первым членом 1/6*q =q/6 ].
    Можно написать систему :
    { S=16/3 ;  S₁/S₂ = 30 ⇔ {  b₁/(1-q) =16/3 ;  b₁(1-q^n)/(1-q) : (q/(6(1-q)) =30.
    16/3*(1-q)*(1-q^n)/(1-q)*6(1-q)/q =30 ⇒ (1-q^n)*(1-q)/q =15/16.  ****************

  • Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии 5/3, 5/9, 5/27,


    Решение: Сумма бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле S=$$ S= \frac{b₁}{1-q} $$, где b₁ - первый член прогрессии, а  - q  знаменатель прогрессии.
    По условию $$b₁= \frac{5}{3} $$. Найдем знаменатель прогрессии.
    $$q= \frac{b₂}{b₁} = \frac{ \frac{5}{9}}{ \frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \\S= \frac{ \frac{5}{3} }{1- \frac{1}{3} } = \frac{ \frac{5}{3} }{ \frac{2}{3} } = \frac{5}{2} $$
    Ответ: $$ \frac{5}{2} $$

  • Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии √7,1, \( \frac{1}{ \sqrt{7} } \)


    Решение: $$ b_1=-1 $$ и $$ q= \frac{1}{ \sqrt{7} } \\ S= \frac{b_1}{1-q}= \frac{-1}{1- \frac{1}{\sqrt{7}} } =- \frac{1}{ \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} }- \frac{1}{ \sqrt{7} } } =- \frac{1}{ \frac{ \sqrt{7}-1 }{ \sqrt{7} } } = -\frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7}-1 }= \\ -\frac{ \sqrt{7}*( \sqrt{7} +1) }{( \sqrt{7}-1 )*( \sqrt{7}+1 )}=-\frac{ \sqrt{7}*\sqrt{7} +1* \sqrt{7} }{( \sqrt{7})^2-1^2} =\\= -\frac{7+ \sqrt{7} }{7-1} = -\frac{7+ \sqrt{7} }{6} $$

    B₁=√7 ; q= -1/√7 ; S= b₁/(1-q)=√7/(1+1/√7)=√7/((√7+1)/√7)=7/(√7+1).

  • Найдите сумму бесконечно убывающей геом прогрессии, если известно в1+в4=54, в2+в3=36


    Решение: B1+b4=54
    b2+b3=36
    b1+b1*g³=54  b1(1+g³)=54 (1)
    b1*g+b1*g²=36  b1g(1+g)=36 (2)
    из (1) b1=54/(1+g³) (3)
    (3) подставим во (2) 54g(1+g)/(1+g³)=36
    54g(1+g)=36(1+g³)
    3g(1+g)-2(1+g³)=0
    3g(1+g)-2(1+g)(1-g+g²)
    (1+g)(3g-2+2g-2g²)=0
    (1+g)(5g-2-2g²)=0
    1) 1+g=0  g=-1 посторонний корень (IgI <1)
    2) 2g²-5g+2=0
    D=9
    g1=(5+3)/4=2 посторонний корень (IgI<1)
    g2=(5-3)/4=0,5 знаменатель прогрессии
    подставим 0,5 в 3)
    b1=54/(1+0,5³)=54/1,125=48
    S=b1/(1-g)
    S=48/(1-0,5)=48/0,5=96

<< < 192021 22 23 > >>