прогрессия »
бесконечная прогрессия - страница 20
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 72^612. Найдите количество таких прогрессий.
Решение: Пусть прогрессия имеет первый член b и знаменатель q. Сказано, что она бесконечная и состоит из натуральных чисел. Это значит, что прогрессия неубывающая, иначе рано или поздно появились бы дробные члены прогрессии. При этом b и q являются натуральными числами.
Найдем произведение первых 6 членов прогрессии:
b*bq*bq^2*bq^3*bq^4*bq^5=b^6*q^15
b^6*q^15=72^612
b^2*q^5=72^204
b^2*q^5=(2^3*3^2)^204
b^2*q^5=2^612*3^408
Так как b и q являются натуральными числами, а справа в уравнении стоит число, в составе которого только степени 2 и 3, то b и q тоже являются числами, в состав которых входят только степени 2 и 3.
Тогда пусть b=2^a*3^c, q=2^k*3^m.
Тогда (2^a*3^c)^2*(2^k*3^m)^5=2^612*3^408
2^(2a+5k)*3^(2c+5m)=2^612*3^408
Получаем систему уравнений
2a+5k=612,
2c+5m=408,
которую надо решить в целых неотрицательных числах.
Видим, что уравнения однотипные, вида Ax+By=C, причем коэффициенты A и коэффициенты B у них соответственно совпадают.
Тогда решим уравнение 2x+5y=C.
2x=C-5y
2x=C+y-2*(3y)
Это значит, что C+y кратно 2.
Тогда C+y=2*r
y=2*r-C
Отсюда уже можно вернуться к x:
2x=C-5*(2*r-C)
2x=6C-10r
x=3C-5r.
Так как x и y - целые неотрицательные числа, то на них нужно наложить ограничения:
x=3C-5r>=0,
y=2r-C>=0
Из первого условия получим, что r<=3C/5
Из второго условия получим, что r>=C/2
Вернемся к более ранней системе уравнений.
1) 2a+5k=612
Уравнение имеет решения в виде a=3*612-5r, k=2r-612, а количество решений в целых неотрицательных числах в нем равно количеству целых r в промежутке [С/2; 3C/5]. Иными словами, получим промежуток [612/2;3*612/5] или же [306; 367.2]. Целые r в нем - числа от 306 до 367. Их количество 367-306+1=62.
2) 2c+5m=408
Аналогично получаем промежуток для r
[408/2; 3*408/5] =[204; 244.8]
Количество целых решений равно 244-204+1=41
Так как уравнения системы не пересекаются, общее количество решений в виде четверки чисел (a, k, c, m) равно произведению количества решений первого уравнения и второго уравнения. То есть 62*41=2542Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 20^732. Найдите количество таких прогрессий.
Решение: Произведение членов геометрической прогрессии: P=b1^6*(q^(1+2+3+4+5))= =b1^6 * q^15=20^732 Откуда: b1^2*q^5=20^244=(2*2*5)^244= =2^488 *5^244 Число является 5 степенью натурального числа, когда его показатель степени делиться на 5. Число делиться на 5 когда кончается на 0 или 5. Рассмотрим 1 случай: степени двоек и пятерок входящих в q^5 оканчивается на нуль: тк 488 и 244 четные, то после вычитания числа оканчивающегося на нолик(оно тоже четное), то все остальные степени четные и следовательно будут содержать в себе квадрат(b1^2). Подсчитаем общее число таких вариантов: для степеней пятерки: 0,10,20,30,40.480( 49). Для двойки:0, 10,20.240 (25). То есть общее число способов: 49*25, случай (2^0 *5^0 =1) (тоже можно считать тк даже при q=1 оно будет прогрессией) Это очень тонкий момент и можно легко запутаться! 2-й случай: хотя бы один из показателей оканчиваются на 5. В этом случае хотя бы одна из остаточных степеней будет нечетной, то есть полного квадрата не получиться. Значит этот случай невозможен. Вывод: N=49*25=50*50/2 - 25 =1225 таких геометрических прогрессии.Найдите все значения параметра a, при которых множество решений неравенства x(x-2)<=(a+1)(|x-1| - 1) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.
Решение: Решении неравенства должны содержать интервал (0 ; 1,7 ]
a) { x ≥ 1 ; x(x-2) ≤ (a+1)(x -1-1).⇔{ x ≥ 1 ; x(x-2) ≤ (a+1)(x-2).⇔
{ (x-2)( x - (1+ a) ) ≤ 0.
- [a+1] //////////////////////////////////////////////////////// [2] /////////////////
-(0)////////////////////////[1,7] -
a+1 ≤ 0 или иначе a ∈ ( - ∞ ; -1].
b) { x <1 ; x(x-2) ≤ (a+1)(1-x-1).⇔ { x ≥ 1 ; x(x-2) ≤ - (a+1)x.⇔
{ x(x -(1-a ) ) ≤ 0.
- [ 0] //////////////////////////////////////////////////////// [1 -a ] /////////////////
-(0)////////////////////////[1,7] -
1-a ≤ 1,7 или иначе a ∈ [ - 0,7 ; ∞ ).
ответ : a ∈ ( - ∞ ; -1] ∪ [ - 0,7 ; ∞ ) .
Дана бесконечно убывающая прогрессия, сумма членов которой равна 4, а сумма первых двух членов равна 3. найти первый и четвертый члены прогресси.
Решение: a1+ a1q=3a1(1+q)=3
a1/(1-q)=4
4(1-q)=3/(1+q)
4(1-q^2)=3
1-q^2=3/4
q=1/2
q=-1/2
1) a1=2
a4=1/4
2) a1=6
a4=-3/4
по формуле формула бесконечной прогрессий равна
S=b1/1-q
4=b1/1-q
b1+b2=3
b1, b4 = ?
{4(1-q)=b1
{b1+b1*q=3
{b1(1+q)=3
{b1=4(1-q)
{b1= 3/1+q
{b1= 4(1-q)
3/1+q= 4-4q
3=(1+q)(4-4q)
3=4-4q+4q-4q^2
3=4-4q^2
-4q^2=-1
q=+/-1/2
b1=4/1-1/2 = 4/1/2 = 8
теперь
b4=b1*q^3= 8*1/2^3 = 1
b1=8
Бесконечно убывающая прогрессия b1-b4=105,b2-b3=30, а как найти СУММУ ?_-
Решение: b1 - b1*q^3 = 105b1*q - b1*q^2 = 30
b1*(1-q^3) = 105
b1*(q - q^2) = 30
Разделим первое на второе.
((1-q) *(1+q+q^2)) / (q*(1-q)) = 3,5
Сокращаем.
(1+q+q^2)/q = 3,5
1+q+q^2 -3,5q = 0
q^2 - 2,5q +1 = 0
Домножим на 2.
2q^2 - 5q + 2 = 0
D = 25 - 16 = 9
q1 = (5+3)/4 = 2 - не подходит, так как прогрессия убывающая.
q2 = (5-3)/4 = 1/2
Найдем b1.
b1*(1-q^3) = 105
b1*(1 - 1/8) = 105
b1 * (7/8) = 105
b1 = 120
S = b1/(1-q) = 120/(1-1/2) = 240
