прогрессия » прогрессия как найти разность
  • Три положительных числа P, Q, R являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если R увеличить на 80 %, то полученное число вместе с остальными числами, расставленными в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти P, Q, R, если знаменатель геометрической прогрессии составляет 37,5% от разности арифметической прогрессии.


    Решение: Сначала решаем задачу для ненулевых P,Q,R

    2Q=P+R

    Q^2=P*(1.8R)

    (2Q)^2=4Q^2=4*1.8*PR

    P^2+R^2+2PR=7.2PR

    P^2-5.2PR+R^2=0

    Если R=0, то и P=0 - странные прогрессии получаются. Поэтому это бред.

    Делим обе части на R^2 != 0.

    (P/R)^2-5.2(P/R)+1=0

    P/R=5 или P/R=0.2

    1 случай. P=5R.

    d=(R-P)/2=-2R

    q=sqrt(1.8R/P)=sqrt(1.8/5)=0.6

    3d/8=q <=> -2R=d=8q/3=1.6

    R=-0.8

    Q=R-d=-2.4

    P=Q-d=-4

    2 случай. R=5P.

    d=(R-P)/2=2P

    q=sqrt(1.8R/P)=sqrt(1.8*5)=3

    3d/8=q <=> 2P=d=8q/3=8

    P=4

    Q=P+d=12

    R=Q+d=20

    Ответ: (-4,2.4,0.8) or (4,12,20)

    Если интересуют только положительные, то ответ только (4,12,20).

  • 10,01. Произведение четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии на 60 больше произведения первого и девятого ее членов. Найти сумму первых трех членов прогрессии, если пятый член равен 4.
    10,24. разность четвертого и первого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 26/3, а разность третьего и первого 8/3. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.
    10,29. знаменатель геометрической прогрессии равен 2 а сумма первых семи членов равна 635 Найдите седьмой член прогрессии.
    10,31 найти сумму первых четырех членов убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член в 3 раза меньше чем произведение первого и четвертого, а сумма первого и третьего членов равна 15.


    Решение: 10.24
    При возрастающей геометрической прогрессии:
    b₁ >0, q > 1.

    b₄ - b₁ = 26/3
    b₃ - b₁ = 8/3
    S₅ -

    b₄=b₁*q³
    b₃=b₁*q²

    {b₁*q³-b₁=26/3 {b₁(q³ -1)=26/3
    {b₁*q² -b₁=8/3 {b₁(q² - 1)=8/3

    b₁= 26 b₁ = 8
      3(q³-1) 3(q²-1)
      26 = 8
    3(q³-1) 3(q²-1)
      26 = 8
    q³-1 q² -1
    26(q² -1)= 8(q³ -1)
    13(q-1)(q+1)= 4(q-1)(q²+q+1)
    13(q-1)(q+1) - 4(q-1)(q²+q+1)=0
    (q-1)(13(q+1) - 4(q²+q+1))=0
    (q-1)(13q+13-4q²-4q-4)=0
    (q-1)(-4q²+9q+9)=0
    q-1=0 -4q²+9q+9=0
    q=1 4q² -9q-9=0
    не подходит D=81+4*4*9=81+144=225
      q₁= 9-15 = -6/8= -3/4 - не подходит
      8
      q₂= 9+15 =3
      8
    b₁ = 8 = 8 = 1/3
      3(3² -1) 3 * 8
    b₅ = b₁*q⁴ = 1/3 * 3⁴ = 3³ = 27
    S₅ = b₁ -b₅q =1/3 - 27*3 = 1-243 = -242 = 40 ²/₆ = 40 ¹/₃
      1-q 1-3 3*(-2) -6
    Ответ: 40 ¹/₃.

    10.01
    При возрастающей арифметической прогрессии d>0.
    А₅=4
    А₄*А₆ - А₁*А₉ =60
    S₃ -

    A₄=A₅ -d
    A₆=A₅ +d
    A₁=A₅ -4d
    A₉=A₅+4d

    (A₅-d)(A₅+d) - (A₅-4d)(A₅+4d)=60
    A₅² - d² - A₅² +16d² =60
    15d² =60
    d² =4 
    d= -2 - не подходит
    d=2

    A₁=4-4*2=4-8= -4
    A₃= -4+2*2=-4+4=0
    S₃= (A₁+A₃)*3 = 1.5*(-4+0)= -6
      2
    Ответ: -6.

    10.29
    q=2
    S₇=635
    b₇ -

    S₇= b₁(q⁷ -1) = b₁ (2⁷ -1) = b₁ (128-1) = 127 b₁
      q-1 2-1
    127 b₁ = 635
    b₁ = 635/127
    b₁ = 5

    b₇ = b₁*q⁶
    b₇ = 5*2⁶ = 5*64 = 320
    Ответ: 320

    10.31
    |q|<1 - убывающая геометрическая прогрессия
    S₄ -
    {b₁ b₄ =3b₂
    {b₁ + b₃=15

    b₄=b₁*q³
    b₃=b₁*q²

    {b₁*b₁*q³=3*b₁*q {b₁²*q³ - 3b₁q=0
    {b₁+b₁q² =15 {b₁(1+q²)=15

    b₁q (b₁q² -3)=0
    b₁q=0 b₁q² -3=0
    b₁=0 - нет b₁q² =3
    q=0 - нет b₁= 3/q²

    b₁(1+q²)=15
    b₁= 15
      1+q²
     15 = 3
    1+q² q²
    15q² =3(1+q²)
    15q² -3q² = 3
    12q² =3
    q² = 3/12
    q² = 1/4
    q₁ = -1/2
    q₂ = 1/2

    b₁ = 3 = 12
      ¹/₄
    При q= -1/2:
    S₄ = 12((-¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = - 24 (¹⁵/₁₆) = 8 * (¹⁵/₁₆) = 15/2 =7.5
      ⁻¹/₂ - 1 ⁻³/₂ -3

    При q =1/2
    S₄ = 12((¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = -12*2*(¹⁵/₁₆) = 24 *(¹⁵/₁₆) = 45/2=22.5
      ¹/₂ -1 ⁻¹/₂ -1
    Ответ: 7,5 и 22,5

  • 1) Первый член геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем равен 5, а разность между утроенным вторым членом и половинкой третьего-больше 20. Найти знаменатель прогрессии.
    2) Какое наибольшее число членов можетсодержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не должен превосходить 100.
    3) Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3.


    Решение: 1) $$ b_{1}=5\\ 3b_{2}-0.5b_{3}>20\\ \\ 3b_{1}q-0.5b_{1}q^2>20\\ 15q-2.5q^2>20\\ -2.5q^2+15q-20>0\\ D=5^2\\ q=2\\ q=4\\ (2;4) $$ 
    так как по условию он целый ответ $$ q=3 $$

    2)$$ a_{1}^2+a_{2}+.a_{n}<100\\ d=4 \\\\ S_{n}=\frac{(2a_{1}+4(n-1)}{2}*n-a_{1}+a_{1}^2<100\\ 2n^2+(a_{1}-2)n+a_{1}^2-a_{1}-100<0 \\ $$
    дальше идея такая, по области определения, если выразить n решая как квадратное уравнение то 
    $$ n=\frac{-(a_{1}-2)+\sqrt{(a_{1}-2)^2-4*2*(a_{1}^2-a_{1}-100)}}{4}\\ \sqrt{(a_{1}-2)^2-4*2*(a_{1}^2-a_{1}-100)} \geq 0\\ |-10;10|\\ $$
    то есть всего первые член могут быть из интервала -10 до 10, подходит -3 при нем достигается наибольшее значение 8 
    Ответ 8 

    3)
    $$ 6;12;18;24.96\\ a_{1}=6\\ d=6\\ 96=6+6(n-1)\\ n=16\\ S_{16}=\frac{2*6+15*6}{2}*16 = 816 $$

  • 1) найти сумму бесконечной геометрической прогрессии(Bn)? если B₂-B₄=8, B₃-B₁=24
    2) из точки на окружности проведено две перпиндикулрные хорды, разность которых =4см. найти эти хорды, если радиус окружности равен 10 см
    3) упростить: ( (числитель: а√а+b√b / знаменатель √а+√b). √ab) * числ: 1 /знамен:(a-b). + 1 ÷ числ: √a+√b / знамен: 2√b


    Решение: 1) Используем уравнение энного члена геометрической прогрессии.
    b₂ - b₄ = 8 b₁q - b₁q³ = 8 q(b₁ - b₁q²) = 8
    b₃ -b₁ = 24 b₁q² - b₁ = 24 b₁ - b₁q² = -24.

    Из последнего уравнения первого ряда получаем:
     q = 8 / (b₁ - b₁q²) и подставим из второго ряда  b₁ - b₁q² =-24.
    $$ q= \frac{8}{-24} =- \frac{1}{3}. $$
    В выражении b₁ - b₁q² = -24 вынесем b₁ за скобки и получаем:
    $$ b_1= \frac{-24}{1-q^2} = \frac{-24}{1- \frac{1}{9} } = \frac{-24*9}{8} =-27. $$
    Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:
    $$ S= \frac{b_1}{1-q} = \frac{-27}{1+ \frac{1}{3} } = \frac{-27*3}{4}=- \frac{81}{4} = -20,25. $$

    2) Если хорды из одной точки перпендикулярны, то их концы лежат на диаметре, длина которого равна 2*10 = 20 см.
    Обозначим одну хорду за х, а вторую (х + 4).
    По Пифагору 20² = х² + (х + 4)².
    Раскроем скобки:
    400 = х² + х² + 8х + 16.
    Получаем квадратное уравнение:
    2х² + 8х - 384 = 0, или сократив на 2:
    х² + 4х - 192 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
    Ищем дискриминант:D=4^2-4*1*(-192)=16-4*(-192)=16-(-4*192)=16-(-768)=16+768=784;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√784-4)/(2*1)=(28-4)/2=24/2=12;x_2=(-√784-4)/(2*1)=(-28-4)/2=-32/2=-16.
    Второй отрицательный корень отбрасываем.
    Имеем: один катет равен 12 см,
      второй - 12 + 4 = 16 см.

  • 1. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию. Найти сумму всех одиннадцати членов данной арифметической прогрессии, если первый член равен 24 и разность отлична от нуля.
    2.) x^2+корень из (x^2-3x+5) > 7+3x


    Решение: 1)
    a1,a5,a11 -b1,b2,b3 соответственно, 
    a1=24

    {24=24
    {b1q=a1+4d
    {b1q^2=a1+10d

    {24q=24+4d
    {24q^2=24+10d 

    d=(24q-24)/4
    24q^2=24+10((24q-24)/4)
    решая получаем q=1(не подходит), q=3/2 
    значит разность d=3 
    S11=(2*24+10*3)/2*11=429 Ответ 429 

    2)
    x^2+√x^2-3x+5 >7+3x 
    ОДЗ
    x^2-3x+5>=0
    оттуда x (-oo;+oo)

    x^2+√x^2-3x+5 >7+3x 
    √x^2-3x+5 >7+3x-x^2
    x^2-3x+5 >(7+3x-x^2)^2
    x^2-3x+5 >x^4-6x^3-5x^2+42x+49
    x^4-6x^3-6x^2+45x+44<0
    ЗДЕСЬ СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН РАВЕН 44 значит делители его 1; 4,11,44
    ПОдходит только 4, значит делим на x-4, получим 

    (x+1)(x^2-3x+11)(x-4) <0
    оттуда только x-1>0 
     x>-1
    Ответ 
    (-oo;-1) U (4;+oo)



    №1.
    $$ a_1=24 $$
    Т. к. $$ a_1, \ a_5, \ a_{11} $$ образуют геометрическую прогрессию, то
    $$ (a_5)^2=a_1*a_{11}\\ (a_1+4d)^2=a_1(a_1+10d)\\ (24+4d)^2=24(24+10d)\\ 16(6+d)^2=48(12+5d)\\ (d+6)^2=3(5d+12)\\ d^2+12d+36=15d+36\\ d^2-3d=0\\ d(d-3)=0\\ d=3\\ S_{11}=\dfrac{2a_1+10d}{2}*11=\dfrac{48+30}{2}*11=429 $$
    Ответ: 429.
    №2.
    $$ x^2+\sqrt{x^2-3x+5}>7+3x\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-x^2+3x+7\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-(x^2-3x+5)+12\\\\ x^2-3x+5 = t => \\ \sqrt{t}>-t+12 =>\\ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12 \geq0 \\ t>t^2-24t+144 \end{cases} \\ \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12<0 \end{cases} \end{matrix}\right. => \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ t^2-25t+144<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. => $$
    $$ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ (t-9)(t-16)<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. <=> \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ 9 \leq t \leq 16 \end{cases} \\ t>12 \end{matrix}\right. <=>\\ \left[ \begin{matrix} 9 \leq t \leq 12 \\ t >12 \end{matrix}\right. => t \geq 9 $$
    $$ x^2-3x+5 \geq 9\\ x^2-3x-4 \geq 0\\ (x+1)(x-4) \geq 0 $$
      + - +
    -//////-///////->
      -1 4
    Ответ: $$ (-\infty;-1] \cup [4; +\infty) $$

  • Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.


    Решение: Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $$ a_1 $$ и разностью d, причём $$ deq0 $$.
    По условию задачи
    $$ a_1\cdot a_2,\;a_2 \cdot a_3,\;a_1\cdot a_3 $$ - геометрическая прогрессия со знаменателем q.
    Значит
    $$ \frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_1a_3}{a_2a_3}\\\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}\\a_1^2=a_2a_2\\a_2=a_1+d,\;a_3=a_1+2d\\a_1^2=(a_1+d)(a_1+2d)\\a_1^2=a_1^2+3a_1d+2d^2\\3a_1d+2d^2=0\\d(3a_1+2d)=0\\deq0\Rightarrow d=-\frac{3a_1}2\\\\q=\frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_3}{a_1}\\q=\frac{a_1+2d}{a_1}\\q=\frac{a_1-3a_1}{a_1}\\q=\frac{-2a_1}{a_1}=-2 $$

  • Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна 32/81. Нужно найти сумму этой прогрессии.


    Решение: Выразим разность третьего и пятого членов уравнением:
    а3-а5 = 4*q²-4*q^4 = 32/81.
    Это биквадратное уравнение, обозначим q² за х, тогда получим квадратное уравнение после сокращения на 4 и приведения к общему знаменателю:
    -81х²+81х-8=0.
    D = 3969.  √D = 63.  x1 = 1/9  x2 = 8/9 - не подходит - не извлекается рациональный корень.
    q =√x = √1/9 = 1/3.
    Cумма  бесконечно убывающей геометрической прогрессии :
    S = a1/(1-q) = 4/(1-1/3) =6.



  • Первый член арифметической прогрессии равен 2, второй и третий соответственно равны квадратам двух последовательных натуральный чисел. найти разность


    Решение: B1=2 член d-знаменатель.
    2+d=n^2
    2+2d=(n+1)^2=n^2+2n+1
    Вычетая: d=2n+1 n=(d-1)/2
    2+d=(d-1)^2/4
    8+4d=d^2-2d+1
    d^2-6d-7=0
    Из теоремы Виета:
    d1=7 d2=-1
    Но d=-1 невозможно тк 3 член равен 0, что невозможно тк раз это квадрат натурального числа, а 0 не натуральное число.
    Ответ:7 2,9,16


  • Первый член арифметической прогрессии равен a₁=-10, а ее разность d=3. Найти такое наименьшее n, что сумма первых n членов этой прогрессии Sn≥0.


    Решение: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

    $$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n $$ 

    Подставляя известные величины и учитывая, что сумма должна быть ≥ 0, получаем такое неравенство:

    $$ \frac{2 \cdot (-10) + 3n - 3}{2} \cdot n \geq 0 $$ 

    $$ \frac{n(3n-23)}{2} \geq 0 $$

    n(3n-23)≥0

    Находим нули полученной функции:

    n₁=0 3n=23

      n=23/3

    0 нам не подходит. Берем 23/3.

    Так как нам нужно целое число, то ближайшее, следующее за 23/3, будет 8.

    Ответ. 8 

    Sn=n(a1+an)/2

    an=a1+(n-1)d=-10+3n-3=3n-13

    Sn=n(-10+3n-13)/2=n(3n-23)/2

    n(3n-23)≥0

    0 не подходит

    3n-23≥0

    3n≥23

    n≥23/3

    Наименьшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, 8.

    Ответ: 8 

  • Первый член арифметической прогрессии равен a₁=-10, а ее разность d=3. Найти такое наименьшее n, что сумма первых n членов этой прогрессии Sn≥0.


    Решение: Решение:a[1]=-10, d=3

    Общий член арифметической прогрессии равен:

    a[n]=a[1]+(n-1)*d

    a[n]=-10+3*(n-1)=3n-3-10=3n-13

    Сумма первых n членоварифметической прогрессии равна

    S[n]=(a[1]+a[n])\2 *n

    S[n]=(-10+3n-13)\2* n=(3n-23)n\2

    S[n]>=0

    (3n-23)n\2>=0

    n=0

    3n-23=0 n=23\3

    __+_____0___-____23\3__+__________

    левая часть неравенства по свойствам квадратической функции положитнльна для вещественных n<=0 или n>=23\3

    учитывая, что n - натуральное, окончательно получим что сумма первых членов больше 0, начиная с номера n=8

    (7=21\3<23\3<24\3=8)

    Ответ: n=8

1 2 3 > >>