найти первый член и разность прогрессии
1) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn),если а9+а7=70,а5-а2=15 2) Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn=7-3n. 3) В арифметической прогрессии (an) а5=-1,5, а6=3/4. Найдите а4+а7 4) Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b1, q, S8 если bn=4/2в степени 3-n степени. 5) Найдите такие значения переменной х, при которых числа -20,2х,-5 образуют геометрическую прогрессию. 6) Дана геометрическая прогрессия 32;16; ... Найдите сумму членов прогрессии с четвертого по седьмой включительно. 7) Найдите область определения функции у= под корнем -х2+5х+24 8) Решите систему уравнений 3х+7у=1 (х-3у)(3х+7у)=11 9) Постройте график функции у=(х+1)в кубе, что из себя представляет график функции, какое новое начало координат. Найдите координаты точек пересечения графика данной функции с графиком функции у=4х+4 10) Четвертый член арифметической прогрессии равен 9 а восьмой равен -7. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение: 1) нужно составить систему:а₉+а₇=70
а₅-а₂=15
затем выразить а через разность:
а₁+8d+a₁+6d=70
a₁+4d-a₁+d=15
получается:
2a₁+14d=70
5d=15
откуда найдем d=3
подставим в первое уравнение 2а₁+14*3=70
а₁=14
7)√-х2+5х+24
т.к. это выражение под корнем, то можно записать так:
-х2+5х+24≥0(надеюсь, понятно почему)
затем вычисляем корни и получается х₁=-3, х₂=8
Дальше будем работать по методу интервалов: -х2+5х+24=-(х+3)(х-8), можем избавиться от минуса, умножив -(х+3)(х-8) на -1.
получается -(х+3)(х-8)≥0, т.к обе части умножили на отрицательное число, меняем знак и получаем (х+3)(х-8)≤0
Теперь на числовой прямой отмечаем точки х=-3 и х=8 и ставим знаки. Справа налево: +,-,+. Т.к. нам нужны отрицательные значения(потому что (х+3)(х-8)≤0), то ответ будет таким:
D(y)=[-3;8]
Три положительных числа P, Q, R являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если R увеличить на 80 %, то полученное число вместе с остальными числами, расставленными в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найти P, Q, R, если знаменатель геометрической прогрессии составляет 37,5% от разности арифметической прогрессии.
Решение: Сначала решаем задачу для ненулевых P,Q,R2Q=P+R
Q^2=P*(1.8R)
(2Q)^2=4Q^2=4*1.8*PR
P^2+R^2+2PR=7.2PR
P^2-5.2PR+R^2=0
Если R=0, то и P=0 - странные прогрессии получаются. Поэтому это бред.
Делим обе части на R^2 != 0.
(P/R)^2-5.2(P/R)+1=0
P/R=5 или P/R=0.2
1 случай. P=5R.
d=(R-P)/2=-2R
q=sqrt(1.8R/P)=sqrt(1.8/5)=0.6
3d/8=q <=> -2R=d=8q/3=1.6
R=-0.8
Q=R-d=-2.4
P=Q-d=-4
2 случай. R=5P.
d=(R-P)/2=2P
q=sqrt(1.8R/P)=sqrt(1.8*5)=3
3d/8=q <=> 2P=d=8q/3=8
P=4
Q=P+d=12
R=Q+d=20
Ответ: (-4,2.4,0.8) or (4,12,20)
Если интересуют только положительные, то ответ только (4,12,20).
10,01. Произведение четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии на 60 больше произведения первого и девятого ее членов. Найти сумму первых трех членов прогрессии, если пятый член равен 4.
10,24. разность четвертого и первого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 26/3, а разность третьего и первого 8/3. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.
10,29. знаменатель геометрической прогрессии равен 2 а сумма первых семи членов равна 635 Найдите седьмой член прогрессии.
10,31 найти сумму первых четырех членов убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член в 3 раза меньше чем произведение первого и четвертого, а сумма первого и третьего членов равна 15.
Решение: 10.24
При возрастающей геометрической прогрессии:
b₁ >0, q > 1.
b₄ - b₁ = 26/3
b₃ - b₁ = 8/3
S₅ -
b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²
{b₁*q³-b₁=26/3 {b₁(q³ -1)=26/3
{b₁*q² -b₁=8/3 {b₁(q² - 1)=8/3
b₁= 26 b₁ = 8
3(q³-1) 3(q²-1)
26 = 8
3(q³-1) 3(q²-1)
26 = 8
q³-1 q² -1
26(q² -1)= 8(q³ -1)
13(q-1)(q+1)= 4(q-1)(q²+q+1)
13(q-1)(q+1) - 4(q-1)(q²+q+1)=0
(q-1)(13(q+1) - 4(q²+q+1))=0
(q-1)(13q+13-4q²-4q-4)=0
(q-1)(-4q²+9q+9)=0
q-1=0 -4q²+9q+9=0
q=1 4q² -9q-9=0
не подходит D=81+4*4*9=81+144=225
q₁= 9-15 = -6/8= -3/4 - не подходит
8
q₂= 9+15 =3
8
b₁ = 8 = 8 = 1/3
3(3² -1) 3 * 8
b₅ = b₁*q⁴ = 1/3 * 3⁴ = 3³ = 27
S₅ = b₁ -b₅q =1/3 - 27*3 = 1-243 = -242 = 40 ²/₆ = 40 ¹/₃
1-q 1-3 3*(-2) -6
Ответ: 40 ¹/₃.
10.01
При возрастающей арифметической прогрессии d>0.
А₅=4
А₄*А₆ - А₁*А₉ =60
S₃ -
A₄=A₅ -d
A₆=A₅ +d
A₁=A₅ -4d
A₉=A₅+4d
(A₅-d)(A₅+d) - (A₅-4d)(A₅+4d)=60
A₅² - d² - A₅² +16d² =60
15d² =60
d² =4
d= -2 - не подходит
d=2
A₁=4-4*2=4-8= -4
A₃= -4+2*2=-4+4=0
S₃= (A₁+A₃)*3 = 1.5*(-4+0)= -6
2
Ответ: -6.
10.29
q=2
S₇=635
b₇ -
S₇= b₁(q⁷ -1) = b₁ (2⁷ -1) = b₁ (128-1) = 127 b₁
q-1 2-1
127 b₁ = 635
b₁ = 635/127
b₁ = 5
b₇ = b₁*q⁶
b₇ = 5*2⁶ = 5*64 = 320
Ответ: 320
10.31
|q|<1 - убывающая геометрическая прогрессия
S₄ -
{b₁ b₄ =3b₂
{b₁ + b₃=15
b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²
{b₁*b₁*q³=3*b₁*q {b₁²*q³ - 3b₁q=0
{b₁+b₁q² =15 {b₁(1+q²)=15
b₁q (b₁q² -3)=0
b₁q=0 b₁q² -3=0
b₁=0 - нет b₁q² =3
q=0 - нет b₁= 3/q²
b₁(1+q²)=15
b₁= 15
1+q²
15 = 3
1+q² q²
15q² =3(1+q²)
15q² -3q² = 3
12q² =3
q² = 3/12
q² = 1/4
q₁ = -1/2
q₂ = 1/2
b₁ = 3 = 12
¹/₄
При q= -1/2:
S₄ = 12((-¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = - 24 (¹⁵/₁₆) = 8 * (¹⁵/₁₆) = 15/2 =7.5
⁻¹/₂ - 1 ⁻³/₂ -3
При q =1/2
S₄ = 12((¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = -12*2*(¹⁵/₁₆) = 24 *(¹⁵/₁₆) = 45/2=22.5
¹/₂ -1 ⁻¹/₂ -1
Ответ: 7,5 и 22,51) Первый член геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем равен 5, а разность между утроенным вторым членом и половинкой третьего-больше 20. Найти знаменатель прогрессии.
2) Какое наибольшее число членов можетсодержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не должен превосходить 100.
3) Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3.
Решение: 1) $$ b_{1}=5\\ 3b_{2}-0.5b_{3}>20\\ \\ 3b_{1}q-0.5b_{1}q^2>20\\ 15q-2.5q^2>20\\ -2.5q^2+15q-20>0\\ D=5^2\\ q=2\\ q=4\\ (2;4) $$
так как по условию он целый ответ $$ q=3 $$
2)$$ a_{1}^2+a_{2}+.a_{n}<100\\ d=4 \\\\ S_{n}=\frac{(2a_{1}+4(n-1)}{2}*n-a_{1}+a_{1}^2<100\\ 2n^2+(a_{1}-2)n+a_{1}^2-a_{1}-100<0 \\ $$
дальше идея такая, по области определения, если выразить n решая как квадратное уравнение то
$$ n=\frac{-(a_{1}-2)+\sqrt{(a_{1}-2)^2-4*2*(a_{1}^2-a_{1}-100)}}{4}\\ \sqrt{(a_{1}-2)^2-4*2*(a_{1}^2-a_{1}-100)} \geq 0\\ |-10;10|\\ $$
то есть всего первые член могут быть из интервала -10 до 10, подходит -3 при нем достигается наибольшее значение 8
Ответ 8
3)
$$ 6;12;18;24.96\\ a_{1}=6\\ d=6\\ 96=6+6(n-1)\\ n=16\\ S_{16}=\frac{2*6+15*6}{2}*16 = 816 $$
1) найти сумму бесконечной геометрической прогрессии(Bn)? если B₂-B₄=8, B₃-B₁=24
2) из точки на окружности проведено две перпиндикулрные хорды, разность которых =4см. найти эти хорды, если радиус окружности равен 10 см
3) упростить: ( (числитель: а√а+b√b / знаменатель √а+√b). √ab) * числ: 1 /знамен:(a-b). + 1 ÷ числ: √a+√b / знамен: 2√b
Решение: 1) Используем уравнение энного члена геометрической прогрессии.
b₂ - b₄ = 8 b₁q - b₁q³ = 8 q(b₁ - b₁q²) = 8
b₃ -b₁ = 24 b₁q² - b₁ = 24 b₁ - b₁q² = -24.
Из последнего уравнения первого ряда получаем:
q = 8 / (b₁ - b₁q²) и подставим из второго ряда b₁ - b₁q² =-24.
$$ q= \frac{8}{-24} =- \frac{1}{3}. $$
В выражении b₁ - b₁q² = -24 вынесем b₁ за скобки и получаем:
$$ b_1= \frac{-24}{1-q^2} = \frac{-24}{1- \frac{1}{9} } = \frac{-24*9}{8} =-27. $$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:
$$ S= \frac{b_1}{1-q} = \frac{-27}{1+ \frac{1}{3} } = \frac{-27*3}{4}=- \frac{81}{4} = -20,25. $$
2) Если хорды из одной точки перпендикулярны, то их концы лежат на диаметре, длина которого равна 2*10 = 20 см.
Обозначим одну хорду за х, а вторую (х + 4).
По Пифагору 20² = х² + (х + 4)².
Раскроем скобки:
400 = х² + х² + 8х + 16.
Получаем квадратное уравнение:
2х² + 8х - 384 = 0, или сократив на 2:
х² + 4х - 192 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=4^2-4*1*(-192)=16-4*(-192)=16-(-4*192)=16-(-768)=16+768=784;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√784-4)/(2*1)=(28-4)/2=24/2=12;x_2=(-√784-4)/(2*1)=(-28-4)/2=-32/2=-16.
Второй отрицательный корень отбрасываем.
Имеем: один катет равен 12 см,
второй - 12 + 4 = 16 см.
1. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию. Найти сумму всех одиннадцати членов данной арифметической прогрессии, если первый член равен 24 и разность отлична от нуля.
2.) x^2+корень из (x^2-3x+5) > 7+3x
Решение: 1)
a1,a5,a11 -b1,b2,b3 соответственно,
a1=24
{24=24
{b1q=a1+4d
{b1q^2=a1+10d
{24q=24+4d
{24q^2=24+10d
d=(24q-24)/4
24q^2=24+10((24q-24)/4)
решая получаем q=1(не подходит), q=3/2
значит разность d=3
S11=(2*24+10*3)/2*11=429 Ответ 429
2)
x^2+√x^2-3x+5 >7+3x
ОДЗ
x^2-3x+5>=0
оттуда x (-oo;+oo)
x^2+√x^2-3x+5 >7+3x
√x^2-3x+5 >7+3x-x^2
x^2-3x+5 >(7+3x-x^2)^2
x^2-3x+5 >x^4-6x^3-5x^2+42x+49
x^4-6x^3-6x^2+45x+44<0
ЗДЕСЬ СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН РАВЕН 44 значит делители его 1; 4,11,44
ПОдходит только 4, значит делим на x-4, получим
(x+1)(x^2-3x+11)(x-4) <0
оттуда только x-1>0
x>-1
Ответ
(-oo;-1) U (4;+oo)
№1.
$$ a_1=24 $$
Т. к. $$ a_1, \ a_5, \ a_{11} $$ образуют геометрическую прогрессию, то
$$ (a_5)^2=a_1*a_{11}\\ (a_1+4d)^2=a_1(a_1+10d)\\ (24+4d)^2=24(24+10d)\\ 16(6+d)^2=48(12+5d)\\ (d+6)^2=3(5d+12)\\ d^2+12d+36=15d+36\\ d^2-3d=0\\ d(d-3)=0\\ d=3\\ S_{11}=\dfrac{2a_1+10d}{2}*11=\dfrac{48+30}{2}*11=429 $$
Ответ: 429.
№2.
$$ x^2+\sqrt{x^2-3x+5}>7+3x\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-x^2+3x+7\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-(x^2-3x+5)+12\\\\ x^2-3x+5 = t => \\ \sqrt{t}>-t+12 =>\\ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12 \geq0 \\ t>t^2-24t+144 \end{cases} \\ \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12<0 \end{cases} \end{matrix}\right. => \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ t^2-25t+144<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. => $$
$$ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ (t-9)(t-16)<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. <=> \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ 9 \leq t \leq 16 \end{cases} \\ t>12 \end{matrix}\right. <=>\\ \left[ \begin{matrix} 9 \leq t \leq 12 \\ t >12 \end{matrix}\right. => t \geq 9 $$
$$ x^2-3x+5 \geq 9\\ x^2-3x-4 \geq 0\\ (x+1)(x-4) \geq 0 $$
+ - +
-//////-///////->
-1 4
Ответ: $$ (-\infty;-1] \cup [4; +\infty) $$Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Решение: Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $$ a_1 $$ и разностью d, причём $$ deq0 $$.
По условию задачи
$$ a_1\cdot a_2,\;a_2 \cdot a_3,\;a_1\cdot a_3 $$ - геометрическая прогрессия со знаменателем q.
Значит
$$ \frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_1a_3}{a_2a_3}\\\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}\\a_1^2=a_2a_2\\a_2=a_1+d,\;a_3=a_1+2d\\a_1^2=(a_1+d)(a_1+2d)\\a_1^2=a_1^2+3a_1d+2d^2\\3a_1d+2d^2=0\\d(3a_1+2d)=0\\deq0\Rightarrow d=-\frac{3a_1}2\\\\q=\frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_3}{a_1}\\q=\frac{a_1+2d}{a_1}\\q=\frac{a_1-3a_1}{a_1}\\q=\frac{-2a_1}{a_1}=-2 $$
Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна 32/81. Нужно найти сумму этой прогрессии.
Решение: Выразим разность третьего и пятого членов уравнением:
а3-а5 = 4*q²-4*q^4 = 32/81.
Это биквадратное уравнение, обозначим q² за х, тогда получим квадратное уравнение после сокращения на 4 и приведения к общему знаменателю:
-81х²+81х-8=0.
D = 3969. √D = 63. x1 = 1/9 x2 = 8/9 - не подходит - не извлекается рациональный корень.
q =√x = √1/9 = 1/3.
Cумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии :
S = a1/(1-q) = 4/(1-1/3) =6.
Первый член арифметической прогрессии равен 2, второй и третий соответственно равны квадратам двух последовательных натуральный чисел. найти разность
Решение: B1=2 член d-знаменатель.
2+d=n^2
2+2d=(n+1)^2=n^2+2n+1
Вычетая: d=2n+1 n=(d-1)/2
2+d=(d-1)^2/4
8+4d=d^2-2d+1
d^2-6d-7=0
Из теоремы Виета:
d1=7 d2=-1
Но d=-1 невозможно тк 3 член равен 0, что невозможно тк раз это квадрат натурального числа, а 0 не натуральное число.
Ответ:7 2,9,16
Первый член арифметической прогрессии равен a₁=-10, а ее разность d=3. Найти такое наименьшее n, что сумма первых n членов этой прогрессии Sn≥0.
Решение: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n $$
Подставляя известные величины и учитывая, что сумма должна быть ≥ 0, получаем такое неравенство:
$$ \frac{2 \cdot (-10) + 3n - 3}{2} \cdot n \geq 0 $$
$$ \frac{n(3n-23)}{2} \geq 0 $$
n(3n-23)≥0
Находим нули полученной функции:
n₁=0 3n=23
n=23/3
0 нам не подходит. Берем 23/3.
Так как нам нужно целое число, то ближайшее, следующее за 23/3, будет 8.
Ответ. 8
Sn=n(a1+an)/2
an=a1+(n-1)d=-10+3n-3=3n-13
Sn=n(-10+3n-13)/2=n(3n-23)/2
n(3n-23)≥0
0 не подходит
3n-23≥0
3n≥23
n≥23/3
Наименьшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, 8.
Ответ: 8
