найти первый член и разность прогрессии - страница 2
1. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию. Найти сумму всех одиннадцати членов данной арифметической прогрессии, если первый член равен 24 и разность отлична от нуля.
2.) x^2+корень из (x^2-3x+5) > 7+3x
Решение: 1)
a1,a5,a11 -b1,b2,b3 соответственно,
a1=24
{24=24
{b1q=a1+4d
{b1q^2=a1+10d
{24q=24+4d
{24q^2=24+10d
d=(24q-24)/4
24q^2=24+10((24q-24)/4)
решая получаем q=1(не подходит), q=3/2
значит разность d=3
S11=(2*24+10*3)/2*11=429 Ответ 429
2)
x^2+√x^2-3x+5 >7+3x
ОДЗ
x^2-3x+5>=0
оттуда x (-oo;+oo)
x^2+√x^2-3x+5 >7+3x
√x^2-3x+5 >7+3x-x^2
x^2-3x+5 >(7+3x-x^2)^2
x^2-3x+5 >x^4-6x^3-5x^2+42x+49
x^4-6x^3-6x^2+45x+44<0
ЗДЕСЬ СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН РАВЕН 44 значит делители его 1; 4,11,44
ПОдходит только 4, значит делим на x-4, получим
(x+1)(x^2-3x+11)(x-4) <0
оттуда только x-1>0
x>-1
Ответ
(-oo;-1) U (4;+oo)
№1.
$$ a_1=24 $$
Т. к. $$ a_1, \ a_5, \ a_{11} $$ образуют геометрическую прогрессию, то
$$ (a_5)^2=a_1*a_{11}\\ (a_1+4d)^2=a_1(a_1+10d)\\ (24+4d)^2=24(24+10d)\\ 16(6+d)^2=48(12+5d)\\ (d+6)^2=3(5d+12)\\ d^2+12d+36=15d+36\\ d^2-3d=0\\ d(d-3)=0\\ d=3\\ S_{11}=\dfrac{2a_1+10d}{2}*11=\dfrac{48+30}{2}*11=429 $$
Ответ: 429.
№2.
$$ x^2+\sqrt{x^2-3x+5}>7+3x\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-x^2+3x+7\\ \sqrt{x^2-3x+5}>-(x^2-3x+5)+12\\\\ x^2-3x+5 = t => \\ \sqrt{t}>-t+12 =>\\ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12 \geq0 \\ t>t^2-24t+144 \end{cases} \\ \begin{cases} t \geq0 \\ -t+12<0 \end{cases} \end{matrix}\right. => \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ t^2-25t+144<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. => $$
$$ \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ (t-9)(t-16)<0 \end{cases} \\ t >12 \end{matrix}\right. <=> \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 0 \leq t \leq 12 \\ 9 \leq t \leq 16 \end{cases} \\ t>12 \end{matrix}\right. <=>\\ \left[ \begin{matrix} 9 \leq t \leq 12 \\ t >12 \end{matrix}\right. => t \geq 9 $$
$$ x^2-3x+5 \geq 9\\ x^2-3x-4 \geq 0\\ (x+1)(x-4) \geq 0 $$
+ - +
-//////-///////->
-1 4
Ответ: $$ (-\infty;-1] \cup [4; +\infty) $$Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Решение: Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом $$ a_1 $$ и разностью d, причём $$ deq0 $$.
По условию задачи
$$ a_1\cdot a_2,\;a_2 \cdot a_3,\;a_1\cdot a_3 $$ - геометрическая прогрессия со знаменателем q.
Значит
$$ \frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_1a_3}{a_2a_3}\\\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}\\a_1^2=a_2a_2\\a_2=a_1+d,\;a_3=a_1+2d\\a_1^2=(a_1+d)(a_1+2d)\\a_1^2=a_1^2+3a_1d+2d^2\\3a_1d+2d^2=0\\d(3a_1+2d)=0\\deq0\Rightarrow d=-\frac{3a_1}2\\\\q=\frac{a_2a_3}{a_1a_2}=\frac{a_3}{a_1}\\q=\frac{a_1+2d}{a_1}\\q=\frac{a_1-3a_1}{a_1}\\q=\frac{-2a_1}{a_1}=-2 $$
Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а разность третьего и пятого членов равна 32/81. Нужно найти сумму этой прогрессии.
Решение: Выразим разность третьего и пятого членов уравнением:
а3-а5 = 4*q²-4*q^4 = 32/81.
Это биквадратное уравнение, обозначим q² за х, тогда получим квадратное уравнение после сокращения на 4 и приведения к общему знаменателю:
-81х²+81х-8=0.
D = 3969. √D = 63. x1 = 1/9 x2 = 8/9 - не подходит - не извлекается рациональный корень.
q =√x = √1/9 = 1/3.
Cумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии :
S = a1/(1-q) = 4/(1-1/3) =6.
Первый член арифметической прогрессии равен 2, второй и третий соответственно равны квадратам двух последовательных натуральный чисел. найти разность
Решение: B1=2 член d-знаменатель.
2+d=n^2
2+2d=(n+1)^2=n^2+2n+1
Вычетая: d=2n+1 n=(d-1)/2
2+d=(d-1)^2/4
8+4d=d^2-2d+1
d^2-6d-7=0
Из теоремы Виета:
d1=7 d2=-1
Но d=-1 невозможно тк 3 член равен 0, что невозможно тк раз это квадрат натурального числа, а 0 не натуральное число.
Ответ:7 2,9,16
Первый член арифметической прогрессии равен a₁=-10, а ее разность d=3. Найти такое наименьшее n, что сумма первых n членов этой прогрессии Sn≥0.
Решение: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n $$
Подставляя известные величины и учитывая, что сумма должна быть ≥ 0, получаем такое неравенство:
$$ \frac{2 \cdot (-10) + 3n - 3}{2} \cdot n \geq 0 $$
$$ \frac{n(3n-23)}{2} \geq 0 $$
n(3n-23)≥0
Находим нули полученной функции:
n₁=0 3n=23
n=23/3
0 нам не подходит. Берем 23/3.
Так как нам нужно целое число, то ближайшее, следующее за 23/3, будет 8.
Ответ. 8
Sn=n(a1+an)/2
an=a1+(n-1)d=-10+3n-3=3n-13
Sn=n(-10+3n-13)/2=n(3n-23)/2
n(3n-23)≥0
0 не подходит
3n-23≥0
3n≥23
n≥23/3
Наименьшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, 8.
Ответ: 8
