прогрессия »
найти первый член и разность прогрессии - страница 4
в арифметической прогрессии(An) сумма шестого и десятого членов равна 5,9 а разность двадцатого и четвёртого членов равна 2. найти двадцать пятый член этой прогрессии
Решение: сумма шестого и десятого членов:а₆ + а₁₀ = 5,9
а₁ + d(6 -1) + а₁ + d(10 -1) = 5,9
2а₁ + 5d + 9d = 5,9
2а₁ + 14d = 5,9 (1)
разность двадцатого и четвёртого членов:
а₂₀ - а₄ = 2
а₁ + d(20 -1) - а₁ - d(4 -1) = 2
19d - 3d = 2
16d = 2
d = 1/8
Подставим значение d в равенство (1):
2а₁ + 14 * 1/8 = 5,9
2а₁ + 14 * 1/8 = 5,9
2а₁ + 1,75 = 5,9
2а₁ = 4,15
а₁ = 4,15 : 2
а₁ =2,075
Найдем двадцать пятый член: а₂₅ = а₁ + d(25 -1) = 2,075 + 1/8 * 24 =
= 2,075 + 3 = 5,075
ОТВЕТ: а₂₅ = 5,075
В арифметической прогрессии 26 членов, и разность этой прогрессии равна 15. Сумма всех членов прогрессии в 5 раз больше, чем сумма членов, стоящих на нечетных местах. Найти первый член этой прогрессии.
Решение: Формула суммы первых n членов конечной арифметической прогрессии такова:
$$ S= \frac{( a_{1} + a_{n})*n}{2} = \frac{(2 a_{1}+(n-1)d)*n }{2} $$
где n - количество членов прогрессии, d - разность прогрессии.
для членов, стоящих на нечетных местах, разность уже будет равна не d, а 2d.
Отсюда составим уравнение:
$$ (2 a_{1} +375)*13=5* \frac{(2 a_{1}+360)*13 }{2} $$
домножим обе части на 2:
(2a1+375)*26=5*(2a1+360)*13
52a1+9750=130a1+23400
-78a1=13650
a1=-175 - искомый ответ
Сумма первых 6 членов арифметической прогрессии равна 9, а разность между 4-м и 2-м членами равна 0,4. Найти 1-й член этой прогрессии. Ответ 1. Нужен сам ход решения
Решение: //////////////////////////////////////////////////////////d = (a₄ - a₂) / 2 = 0.4/ 2 =0.2
S₆ = (a₁ + a₆) *6 /2
a₆ = a₁ + 5d = a₁ + 1
S₆ = (a₁ + a₁ + 1)*6 / 2 = 3 (2a₁ + 1) = 6a₁ + 3
6a₁ +3 =9
6a₁ = 6
a₁ = 1
В арифметической прогрессии сумма седьмого и пятого членов равна 24, а сумма третьего и восьмого равна 32. найти разность арифметической прогрессии.
Решение:Седьмой член выражается формулой a7=a1+6*d, где d - искомая разность прогрессии. Пятый член a5=a1+4*d. По условию, a7+a5=2*a1+10*d=24. Аналогично a3=a1+2*d и a8=a1+7*d, тогда по условию a3+a8=2*a1+9*d=32. Получена система уравнений:
2*a1+10*d=24
2*a1+9*d=32.
Вычитая из первого уравнения второе, сразу находим d=24-32=-8.
Ответ: d=-8.
1) Сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 64, а разность между 8-м и 3-м членами равна 10. Найти пятый член прогрессии.
2) Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратное 11 и не превосходит по величине 1000.
3) Найти восьмой член геометрической прогрессии, если b4=200, q=0,1
Решение: S8=2a1+d(8-1)/2*8=(2a1+7d)*4=64
a8=a1+7d
a3=a1+2d => a8-a3=5d=10 d=2
64 =(2a1+7*2)*4 (/4) 16=2a1+14 2a1=16-14 2a1=2 a1=1
a5=a1+4d=1+4*2=9
3) b4=200 q=0.1 b8=b1*q^7
b4=b1*q^3 200=b1*0.1^3 b1=200/0.1^3=200*1000=2*10^5
b8=2*10^5*0.1^7=1*10^5*10^-7=2*10^-2=2/100=0.02
2) a1=11 d=11 Sn=2a1+d(n-1)/2*n Sn=1000 => 2000=22+11(n-1)*n 2000-22=11n^2-11n
11n^2-11n-1978=0 d=121+4*11*1978=87153 VD=295 n=11+295/22=13
корень приблизительно и nберем целую часть
Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если сумма её первого и седьмого членов равна 16, а разности между первым и седьмым равна (-12)
Решение: $$ \left \{ {a_1+a_7=16} \atop {a_1-a_7=-12} \right. <=> \left \{ {a_1+a_1+6d=16} \atop {a_1-a_1-6d=-12} \right. <=> $$
$$ <=> \left \{ {{2a_1+6d=16} \atop {-6d=-12}} \right. <=> \left \{ {{a_1+3d=8} \atop {d=2}} \right. <=> $$
$$ <=> \left \{ {{d=2} \atop {a_1=8-3d=8-3*2=2}} \right. =>S_{10}=\frac{2a_1+9d}{2}*10= \\ =\frac{2*2+9*2}{2}*10=110 $$
A1+a7=16
a1-a7=-12
Прибавим
2а1=4
а1=2
а7=а1+6d=16-а1
2+6d=16-2
6d=14-2=12
d=12:3=2
S10=(2a1+9d)*10/2
S10=(4+18)*5=22*5=110
1. Сумма трех чисел, образующих арифметичекскую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа.
2. Пусть Sn - сумма n первых членов арифметической прогрессии (an). Найдите первый член и разность прогрессии, если: a3+a5+a8=18 и a2+a4=-2
Решение: 1) { a+(a+d) +(a+2d) =12; a² +(a+d)² +(a+2d)² =80.
{ 3(a +d) = 12 ; a² + (a+d)² + (a+2d)² =80. {a+d =4;a² + (a+d)² + (a+d +d)² =80
{d = 4 - a ; a² + 4² +(4+(4 -a))² =80.
a² +(8 - a)² +16 =80;
a² - 8a = 0;
a(a-8) =0;
a₁=0 ⇒d₁ =4 .
a₂=8 ⇒d₂ =-4.
ответ : 0 ; 4 ; 8 или 8 ;4 ;0.
********************
2) . Причем здесь предложения :
Пусть Sn - сумма n первых членов арифметической прогрессии (an)
{ a₃+a₅+a₈ =18; a₂+ a₄ = - 2.
{ (a+2d) +(a+4d) +(a+7d) =18 ; (a+d) +(a+3d) = -2.
{3a+13d = 18 ; 2a +4d = - 2. {3a+13d = 18 ; 2(a +2d) = - 2.
{3a+13d = 18 ; a = - 1 - 2d.
3( -1 -2d) +13d = 18 ;
7d =21;
d = 3.
a = -1 -2d = -1 -2*3 = -7 .
ответ : - 7 ; 3.
**********************
-7; -4 ; -1 ; 2 ; 5 ; 8;11 ;14.Сумма третьего и пятого члена арифметической прогрессии равна 30, а разность между шестым и первым равна 20.
Найти сумму первых восьми членов прогрессии.
Решение: A1+2d+a1+4d=30
5d=20 d=4 2a1+6d=30 2a1=6 a1=3
S=(2a1+d(n-1))n/2
S=(6+4*7)*8/2=136
Составим систему.
{а_3 + а_5 = 30 -> a_1 + 2d + a_1 + 4d = 30 -> 2a_1 + 6d = 30 ->
-> 2a_1 = 30 - 6*4 ->2a_1 = 6 -> a_1 = 3
{а_6 - а_1 = 20 -> a_ 1 + 5d - a_1 = 20 -> 5d = 20 -> d = 4
S_8 = (2a_1 + 7d)*8/2 = (2*3 + 7*4)*4 = 34*4 = 136
Ответ. 136
= (145/3)*4 = 580/3 = 196 2/3
Ответ. 196 целых 2/3
3)a¹=7,5, d=0,5 n=4
4) Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифметической прогрессией; укажите первый член и разность прогрессии.
5) аn(n-снизу маленький)=-⅓n-1
6)a11(11 под буквой а)=4,6, a36(36 тоже под буквой а)=54,6
7) Число 43 является членом арифметической прогрессии 3,7,11. Найдите номер этого члена.
8) Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии(аn) будут меньше заданного числа А:
а)110,100,90. А=15
б)-1,1,75,2,5. А=-16,3
9) Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий ее член -положительное число.
10) Найдите сумму Sn членов конечной арифметической прогрессии (аn), если известны первый и последний ее член:
а1=41, а20=-16.
Решение: 3. An=А1+d(n-1)=7.5+0.5(4-1)=7.5+1.5=9
4. Натуральные числа-это числа при счете от 1 и до бесконечности
поэтому A1=11
A2=22 A3=33 An=11*N
по характерному свойству А2=(А1+А3)\2=(11+33)\2=22 выполняется, значит, указанное -арифметическая прогрессия
D=22-11=11
5 и 6 - что найти-то?
7. An=a1+d(n-1) d=7-3=4
43=3+4(n-1)
4(n+1)=40
n+1=10
n=11
8. a) а1=110 а2=100 d=100-110=-10
An=A1+d(n-1)
10=110-10(n-1)
n-1=(10-110)\-10
n-1=10
n=11
б) A1=-1 A2=-1.75 d=A2-A1=-1.75-(-1)=-0.75
An=A1+d(n-1)
-16.3=-1-0.75(n-1)
(-16.3+1)/-0.75=n-1
20.4=n-1нужно целое число поэтому берем 21=n-1
n=22
Сумма первого, третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна -12. А их произведение равно 80. Найти первый член а1 и разность d прогрессии, выбрав наименьшее значение а1
Решение: Согласно условию задачи, получим систему уравнений:
$$ \begin {cases} a_1+a_3+a_5=-12 \\ a_1a_3a_5=80 \end {cases} $$
По свойству ариф. прогрессии $$ a_3= \frac{a_1+a_5}{2} $$
Продолжим решать систему
$$ \begin {cases} a_1+\frac{a_1+a_5}{2}+a_5=-12 \\ a_1*\frac{a_1+a_5}{2}*a_5=80 \end {cases} \begin {cases} 3a_1+3a_5=-24 \\ a_1*a_5*(a_1+a_5)=160 \end {cases} \\ \begin {cases} a_1+a_5=-8 \\ a_1*a_5*(-8)=160 \end {cases} \begin {cases} a_5=-8-a_1 \\ a_1*(a_1+8)=20 \end {cases}\\ $$
$$ (a_1)^2+8a_1-20=0 \\ a_1=-10,\ a_1=2 $$
Наименьшее значение $$ a_1=-10 $$
Тогда $$ a_5=-8-(-10)=2; $$ $$ d= \frac{a_5-a_1}{4} = \frac{2-(-10)}{4}=3 $$
Ответ: $$ a_1=-10,\ d=3 $$
