найти первый член и разность прогрессии - страница 5

Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и тридцатого членов равна 58.

Арифметическая прогрессия.
1. Найти двадцатый член арифметической прогрессии, если a1+a2+a3+a4+a5= 34 и a2*a5=52
2. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что сумма первого и пятого ее членов равно 4, а разность квадратов второго и первого ее членов равна 1

1) бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада а августе? в декабре?

2) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

3) Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равна 12, а сумма третьего четвертого и пятого ее членов равна 21. Найти первый член и разность этой прогрессии.

d=17

 a8=a1+(n-1)*d=80+7*17=199

a12=a1+(n-1)*d=80+11*17=267

2) a1=64

a7=46

an=a1+(n-1)*d

46=64+6d

d=-3

a2=61

a3=58

a4=55

a5=52

a6=49

3)

a2+a3+a4=12

a3+a4+a5=21

a1+d+a1+2d+a1+3d=12

a1+2d+a1+3d+a1+4d=21 

3a1+6d=12

3a1+9d=21

a1+2d=4

a1+3d=7

a1=4-2d

a1=7-3d

4-2d=7-3d

d=3

a1=4-2*3=-2 

1) Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число -12.
1. аn = 12n - 1
2. аn = 12n
3. аn = -12n + 1
4. аn = - 12n
2) Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии (аn): -42,5; -40; …
1. 250
2. 25
3. 3650
4. 300
3) Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии (хn), если хn = - 3n + 4
4) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а8 = 31, а18= 16.
5) Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно.
6) Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 4.

1. решите уравнение 4х^2-[=0

2. запишите выраженние 10^-4*100^9

-

10^9 *100^-4

3. упростите (корень из) 4аб

-

(корень из)-7а

4. найдите стоимость карондоша, если извнстно, что срели трех следующих утверждений есть верное:

1) за три таких карандаша заплатили 4р 30коп

2) за три таких карандаша заплатили 4р 31коп

3) за три таких карандаша заплатили 4р 32коп

5. решите неравенство 5х^2-3x-8<0

6. в арефметической прогрессии второй член равен6 а сумма20 первых членов равна 1990 найдите первый член и разность этой прогрессии

7. решите уравнение (х-6)(х+3)^3+(х+3)(х-6)^3

1)

4х²-х=0

х(4х-1)=0

х=0 или х=0,25

или так2)

4х²=0

х²=4

х=±2

2.

(10⁻⁴·100⁹)÷(10⁹·100⁻⁴)=(10⁻⁴·10¹⁸)÷(10⁹·10⁻⁸)=10¹⁴÷10¹=10¹³

3.

 (корень из) 4аб÷(корень из)-7а= 2(корень из) б ÷ (корень из) -7

4.

ответ:3), т. к. 432делится на 3

5.

5х²-3х-8<0

5х²-3х-8=0

D=9+160=169

х₁=(3-13)÷10=-1

х₂=3+13÷10=1,6

ответ: х∈(-1;1,6)

6. я прогрессии решать не умею, не учили

7.(х-6)(х+3)³=(х+3)(х-6)³

(х+3)³÷(х+3)=(х-6)³÷(х-6)

(х+3)²=(х-6)²

х²+6х+9=х²-12х+36

х²+6х+9-х²+12х-36=0

18х=27

х=27÷18=3÷2=1,5

1)

4х^2-х=0

х(4х-1)=0

х=0

4х-1=0

4х=1

х=0,25

Ответ. х=0 и х=0,25

2)

$$ \frac{10^{-4}*100^{9}}{10^{9}*100^{-4}} = \frac{100^{9}*100^{4}}{10^{4}*10^{9}} = \frac{10^{9}*10^{9}*10^{4}*10^{4}}{10^{4}*10^{9}} = 10^{9}*10^{4}=10^{13} $$

3)

$$ \frac{\sqrt{4*a*b}}{-\sqrt{7a}}=\frac{\sqrt{4}*\sqrt{a}*\sqrt{b}}{-\sqrt{7}*\sqrt{a}}=-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{7}}= $$

4) один карандаш стоит 1руб 44 коп

5)

5х^2-3х-8<0

5x^2-3x-8=0

(x-1.6)(x+1)=0

Отмечаем корни на оси и находим знаки.

Решением является -1<x<1.6

6) выразим А1 через А2: 6-d и подставим в формулу суммы. Из нее найдем d:

d=11 - разность этой прогрессии,

6-11=-5 - первый член прогрессии.

Ответ. А1=-5, d=11

7)

(х-6)(х+3)^3=(х+3)(х-6)^3

сократим на выражение (х-6)(х+3):

(х+3)^2=(х-6)^2

x^2+6x+9=x^2-12x+36

6x+12x=36-9

18x=27

x=1.5

Ответ. х=1,5

Сумма 8 и 6 члена арифметической прогрессии=16 а произведение 2 и 12=-36. Найти разность и первый член прогрессий.

Сумма второго, четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равно 18, а их произведение равно -168. Найдите первый член и разность прогрессии.

Получим два варианта ответа)

===============================

В арифметической прогрессии имеется 20 членов. Сумма членов с четными номерами 250, а сумма членов с нечетными номерами 220. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

как четные, так и нечетные члены это прогрессии, сами образуют прогрессии, то есть:

a2, a4, a20, это арифметическа прогрессия, с d’=2d,a1’=a2

Sчетн=(2a2+2d*9)*10/2=250

a2+9d=25, a2=a1+d, a1+10d=25

аналогично a1,a3,a19, d’’=2d, a1=a1

Sнеч=(2a1+2d*9)*10/2=220

a1+9d=22

системка:

a1+10d=25

a1+9d=22

Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого Sm:Sn= m^2:n^2, где Sm-сумма m первых членов, Sn-сумма n членов

$$ S_{m}=\frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}*m, $$

$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n. $$

Из условия получим следующее уравнение:

$$ \frac{(2a_{1}+d(m-1))*m}{(2a_{1}+d(n-1))*n}\ =\ \frac{m^2}{n^2}. $$

Или, раскрыв пропорцию, получим:

$$ 2a_{1}n+dn(m-1)\ =\ 2a_{1}m+dm(n-1). $$

$$ 2a_{1}(n-m)\ +\ d(mn-n-mn+m)\ =\ 0, $$

$$ (n-m)(2a_{1}-d)\ =\ 0. $$

Так как $$ neq\ m, $$ получим:

$$ d\ =\ 2a_{1}\ =\ 2. $$

Ответ: 2.

Пусть  D - разность прогрессии.

Тогда  Sm = (1+1+D*(m-1))*m=(D*m-D+2)*m

Следовательно

(D*m-D+2)*m       m^2                    D*m-D+2      m

- = -  откуда   - = -

(D*n-D+2)*n         n^2                     D*n-D+2       n

D*m*n-D*n+2*n=D*m*n-D*m+2*m

D*(m-n)=2*(m-n).  Поскольку m и n -  разные числа, то D = 2

Между первым и вторым членами арифметической прогрессии разность которой равна 42 поместили пять чисел так что эти семь чисел стали последовательностью новой арифметической прогрессии найти разность новой арифметической прогрессии

$$ a_{n}=a_{1}+d*(n-1) $$

следовательно для первой прогрессии будет

$$ a_{2}=a_{1}+42*1 $$ 

для второй прогрессии

$$ b_{7}=b_{1}+d*6 $$

при этом мы знаем из условия, что а2=b7 и a1=b1, следовательно сделав звмену получим

$$ a_{1}+42=a_{1}+d*6 $$ 

6d = 42

d = 7

Ответ разность второй прогрессии 7