найти первый член и разность прогрессии - страница 7

разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между третьим и первым равна 9. Найти сумму 8 членов этой прогрессии.

b3-b1=b1*q^2-b1=b1(q^2-1)=9

Подставим второе в первое

b1*(q^2-1)q^3= 9*q^3 = 72

q^3 = 72/9 = 8

q = 2

b1(q^2-1) = b1(4-1)=9

b1 = 9/3 = 3

S = b1*(q^n-1)/(q-1)=b1(q^8-1)/(q-1)=3(2^8-1)/1=3*(256-1)=765

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = b₁·(q^n - 1)/(q - 1)

Для 8 членов геометрической прогрессии

S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)

Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

bn = b₁·q^(n-1)

n = 6    b₆ = b₁·q⁵

n = 4 b₄ = b₁·q³

n = 3 b₃ = b₁·q²

По условию:

b₆ -  b₄  = 72

b₃ -  b₁  = 9

или

b₁·q⁵ -  b₁·q³  = 72   

b₁·q² - b₁ = 9           

Преобразуем эти выражения

b₁·q³·(q² - 1) = 72     (1)

b₁·(q² - 1) = 9            (2)

Разделим (1) на (2) и получим

q³ = 8, откуда

q = 2

Из (2) найдём b₁

b₁ = 9/(q² - 1) = 9/(4 - 1) = 3

Подставим q = 2 и b₁ = 3 в S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)

S₈ = 3·(2⁸ - 1)/(2 - 1) = 3·(256 - 1) = 765

Ответ: S₈ = 765

Сумма 5-го и 12-го членов геометрической прогрессии равна 24. А произведение 7-го и 10-го равно 119. Найти разность 12-го и 5-го членов.

b7*b10 =119

b7*b10 = (b5*q^2)*b10 =b5*(b10*q^2)=b5*b12 =119

 система двух уравнений

b5+b12 = 24 домножим на b12 ; b5*b12+b12^2 = 24*b12 ; 

b5*b12 =119

b5*b12+b12^2 = 24*b12  (1) вычтем (2) из (1)

b5*b12 =119 (2)

b12^2 = 24*b12 -119

b12^2 - 24*b12 +119 =0 квадратное уравнение

D = 100 ; √D =10

b12= (24-10 )/2 = 7 ; b5=24-b12=24-7=17 ; b12 - b5 = 7 -17 = -10

или

b12=(24+10 )/2 = 17; b5=24-b12=24-17=7 ; b12 - b5 = 17 -7 = 10

Ответ :   -10  или 10

Известны два члена арифметической прогрессии (аn): с5=8,2 и с10=4,7: а) найдите первый член и разность этой прогрессии; б) укажите число положительных членов прогрессии.

Найти разность арифметической прогрессии в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого является наименьшим из возможных

а2=а1+d; a12=a1+11d. Составим произведение а1*а12=(а1+d)*(a1+11d)=a1^2+12*a1*d+d^2=(a1+6*d)^2-25*d. Данное выражение принимает наименьшее значение, если а1+6d=0, т. е. d=-11

Ответ: d=-11

a1=66

a2*a12=(a1+d)(a1+11d)=a1^2+12a1d+d^2

a1^2+12a1d+d^2=66^2+12*66*d+d^2=4356+792d+11d^2

f(d)=4356+792d+11d^2

f`(d)=792+22d

f`(d)=0 при 792+22d=0

                  22d=-792

                  d=-36 -наменьшая разность

1. дана ариф. прогрессия Сn В КОТОРОЙ

а) найдите первый член и разность прогрессии

б) найдите сумму первых 8 членов прогрессии

2. АРИФ ПРОГРЕССИЯ задана формулой xn=5n-47

а) найдите сумму первых 10 членов прогрессии.

Б) сколько в данов прогрессии отрицательных членов

2) $$ \\x_n=5n-47\\x_1=5\cdot1-47=-42\\x_2=5\cdot2-47=-37\\\ldots\\d=x_2-x_1=-37-(-42)=-37+42=5\\S_{10}=\frac{2x_1+d(10-1)}2\cdot10=\frac{-84+5\cdot9}2\cdot10=-39\cdot5=-195 $$

Члены прогрессии будут отрицательными до дех пор, пока не станет верно неравенство 5n-47>0 => 5n>47 => n>9,4. n должно быть целым, т. е. первые 9 членов прогрессии отрицательны, остальные, начиная с десятого, положительны

Среднее арифметическое первых восьми членов арифметической прогрессии рано 23. Найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.

Числа натуральные, значит целые положительные.

a1+3,5d=23   подберем d и а1.                            S8=(2a1+7d)*8/2

пусть d=2 -> a1=16               проверим S8=(2*16+7*2)*4=184  - верно

        d=4  -> a1= 9               проверим S8=(2*9+7*4)*4=184 - верно

       d=6  -> a1= 2               проверим                   S8=(2*2+7*6)*4=184 - верно

Среднее арифметическое первых восьми членов арифметической прогрессии равно 23. найдите первый член и разность этой прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами

Среднее арифметическое первых десяти членов арифметической прогрессии равно 19. найдите первый член и разность этой арифметической прогрессии, если известно, что они являются натуральными числами.

6. Найдите первый член и разность ариф-
метической прогрессии (аn), если
а4=18, а7 = 6.

7. Найдите сумму первых десяти членов
арифметической прогрессии (хn), если х3 = -40, х5 = 20.

8. Арифметическая прогрессия содержит
20 членов. Сумма членов с четными
номерами на 800 больше суммы членов
с нечетными номерами. Найдите раз-
ность прогрессии.

а4=18, а7 = 6.

разность d =(a7-a4) / 3 = (6-18 ) /3 = -4

первый член a1 = a4 - 3d = 18 -3*(-4) =18+12=30

7

х3 = -40, х5 = 20.

разность d =(x5-x3) / 2 = (20-(-40) ) /2 = 30

x1 = x3 -2d = -40 -2*30 = -40 -60 =-100

S(10) = n/2 *(2x1 +(n-1)d) = 10/2 *(2*(-100) +(10-1)30) = 350

8

всего 20 членов

разделим на 2 прогресcии по 10 членов с разностью 2d

S(10нечетные) = n/2 *(2x1 +(n-1)2d)

S(10четные) = n/2 *(2(x1+d) +(n-1)2d)

S(10четные) - S(10нечетные) = 800

n/2 *(2(x1+d) +(n-1)2d) - n/2 *(2x1 +(n-1)2d) =800

n=10

10/2 *(2(x1+d) +(10-1)2d) - 10/2 *(2x1 +(10-1)2d) =800

(2(x1+d) +(10-1)2d) - (2x1 +(10-1)2d) =800 *2/10

2x1+2d - 2x1 =160

2d =160

d=80

№1 В арифметической прогрессии известны a1=-1,2 и d=3

Найдите a4; a8; a21 ?

№2 найдите разность арифметической прогрессии (an) если a1=2 ; a11=-5

№3

В арифметической прогрессии известны а=-12 d=3 найти номер члена прогрессии, ровно 9

№4 выписать двадцать членов арифметической прогрессии 6,5,8. встретиться среди них 36?

a4=-1.2 + (4-1)*3 = -1.2+9=7.8

a8=-1.2 + (8-1)*3 = -1.2+21=19.8

a21=-1.2 + (21-1)*3 = -1.2+60=58.8

из этой же формулы выразить d = (An-A1)/(n-1)

d = (-5-2)/(11-1)=-7/10=-0.7

из той же формулы n = (An-A1)/d + 1

n = (9-(-12))/3+1=7+1=8

а в последнем номере разделитель между членами прогрессии замени на ;