прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 8

  • В арифметической прогрессии разность которой 12 а восьмой член 4 найти количество отрицательных членов


    Решение: Д=12, а8=4, ищем n-
    а8=а1+д(n-1)
    4=а1 + 12*7
    а1+84=4
    а1=-84+4=-80
    а1+д(n-1) меньше 0
    - 80 +12(n-1) меньше 0
    -80+12n -12 меньше 0
    -92 +12n меньше 0
    12n меньше 92
    n меньше 92/12
    n меньше 7 целых 8 /12
    или 7 целых 2/3
    получается количество отрицательных членов меньше 7 целых 2/3
    ответ 7 отрицательных членов

  • Доказать что последовательность, сумма n первых членов которой при любом n задается формулой
    Sn=3n^2-5n
    Является арифметической прогрессией, найти разность этой прогрессии


    Решение: N=1 ⇒ s1= 3·1² -5·1= -2 ⇒ a1= -2
    n=2 ⇒ 2·a1 +d = 3·2² - 5·2
      -4 +d= 2
      d=6
    Sn=[(2· a1+ (n-1)d)/2]·n = [-4 +6(n-1)]·n/2 = [(6n-10)/2]·n=
      =(3n-5)·n= 3n² - 5n ⇔ сходится,
      т. е. последовательность является арифметической прогрессией, и разность = 6.

  • 1) сумма 7 и 27 членов арифмеиической прогрессии = 18. Найти 17ый член этой прогрессии
    2) сумма первых 11 членов арифмеиической прогрессии=7, а сумма первых 22=16. Найти сумму первых 33 членов прогрессии
    3) в арифмеиической прогрессии 130 членов. Сумма членов стоящих на нечетных местах = 34, на четных=21. Найти разность прогрессии


    Решение: $$ 1) a_7+a_{27}=18 \\ a_7=a_1+6d \\ a_{27}=a_1+26d \\ a_1+6d+a_1+26d=18 \\ 2a_1+32d=18 |:2\\ a_1+16d=9 \\ a_{17}=a_1+ 16d=9 \\ a_{17}=9 $$
    $$ 2)S_{11}= \frac{2a_1+10d}{2} *11=7 \\ S_{22}= \frac{2a_1+21d}{2}*22=16 \\ S_{33}= \frac{2a_1+32d}{2} *33=? \\ \left \{ {{11(2a_1+10d)=14} \atop {11(2a_1+21d)=16}} \right. \\ -\left \{ {{22a_1+110d=14} \atop {22a_1+231d=16}} \right. \\ 121d=2 \\ d= \frac{2}{121} \\ 22a_1=14-110*\frac{2}{121}= \frac{1474}{121} \\ a_1=\frac{67}{121} \\ S_{33}= \frac{2*\frac{67}{121}+32*\frac{2}{121}}{2} *33= \frac{ \frac{1}{121}(2*67+32*2) }{2}*33 = \frac{198}{242}*33 = \frac{594}{22} =27 $$

  • 1. найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой S3=60, S7=56

    2. Найти сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии 42; 34; 26
    3. наидити восемнадцатый член арифметической прогрессии (an), если a1=70, d=-3


    Решение: 3.a(n)=a1+d(n-1)
    a(18)=70-3(18-1)
    a(18)=70-51

    a(18)=19

    1) по формуле Sn=(a1+an)*n/2, 60=(a1+a3)*3/2, проводим все сокращения и получаем 40=a1+a3, тоже самое со второй суммой, 56=(a1+a7)*7/2, 16=a1+a7

    теперь вычитаем: 40=а1+а3

      16=а1+а7 получаем: а3-а7=24, по формуле d=(an-ak)/(n-k), d=(a3-a7)/(3-7)= 24/-4=-6

    теперь находим а1, по нашему первому значению, 40=а1+а3 ==> a1=40-a3 ==> a1=40-(a1+2d) ==> 2a1=28 ==> a1=14

     ответ: d=-6

       a1=14 

    2) а1=42, a2=34 ==> d= -8, по формуле Sn=(2a1+d(n-1))*n/2, S24=(84-8*23)*24/2=-1200

    ОТВЕТ: S24=-1200 

     3) a1=70, d=-3, по формуле an=a1+(n-1)d, a18=70+(18-1)*-3=19

    ответ: а18=19 

  • От деления тринадцатый члена арифметического на третий член арифметической прогрессии в частном получается 3. А от деления 18 члена на 7 член в частности получится 2 в остатке 8. Найти знаменатель и разность


    Решение: A1+12d=3*(a1+2d)⇒a1+12d=3a1+6d⇒2a1=6d⇒a1=3d
    a1+17d=2*(a1+6d)+8⇒a1+17d=2a1+12d+8⇒-a1+5d=8
    -3d+5d=8
    2d=8
    d=4
    a1=3*4=12

    A₁₃:a₃=3 a₁+12d=3*(a₁+2d) a₁+12d=3a₁+6d
    a₁₈:a₇=2(ost.8) ⇒ a₁+17d=2(a₁+6d)+8 ⇒ a₁+17d=2a₁+12d+8⇒
    2a₁=6d a₁=3d
    a₁=5d+8⇒ a₁=5d+8⇒ 3d=5d-8⇒2d=8⇒d=4⇒a₁=3d=3*4=12
    otv. 4;12

  • третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 1 и -11 соответственно. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.


    Решение: Вычли из первого уравнения системы второе уравнение.

    Сначала находите d! D= an-a1/n-1 D=a7-a3/4=-11-1/4=-3. D=-3. Далее находите a1! A1=an-d(n-1)- из формулы an=a1-d(n-1). A1= a7-(-3)(7-1)=-11+18=7. На всякий случай можно сделать проверкуВычли из первого уравнения системы второе уравнение. Сначала находите d D an-a n- D a -a - - - . D - . Далее находите a A an-d n- - из формулы an a -d n- . A a - - - - . На вс...

  • с6 дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013 а разность 8. каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. получилось последовательность однозначных чисел. а) найти 1000 член получившийся прогрессии, б) сумму первых 1000 членов получившийся прогрессии, в) чему ровна наибольшая сумма 1010членов этой прогрессии


    Решение: а) тысячный член исходной прогрессии равен 2013+8*1000=10013
    1+0+0+1+3=5

    б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

    Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.

     2013 mod 9=6 первый член прогрессии 6

    8 mod 9 = 8 поэтому второй член прогрессии (6+8) mod 9 = 5, третий (5+8) mod 9=4, четвертый - 3, пятый - 2, шестой - 1, седьмой (1+8) mod 9= 0 поэтому 9, восьмой- 8, девятый - 7, десятый опять 6

     Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6+5+4+3+2+1+9+8+7=45

     сумма первых 999 (111*9) членов равна 111*45= 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A1(тоесть 6) = 5001

    в) т. к. 1010/9=112, а 1010 mod 9=2, то сумма любых подряд идущих членов равна 112*45 + сумма следующих двух членов. Для того, чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку. 

     получается 112*45+9+8 =5057

     а) 5, б)5001, в)5057

  • с6 дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 1998 а разность 13. каждый член прогрессии заминили суммой его цифр. получилось последовательность однозначных чисел.

    а) найти 300член получившийся прогрессии,

    б) сумму первых трехсот членов получившийся прогрессии,

    в) чуму ровна наименьщая сумма 350 членов этой прогрессии


    Решение: дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 1998 а разность 13. каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так же и действовали до тех пор, пока не получилось последовательность однозначных чисел.

    а) Трехсотый член член исходной прогрессии равен 1998+13*299=5885

    5+8+8+5=26

    2+6=8

    б) Утверждение. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

    Доказательство. Рассмотрим число 

    $$ a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0 $$

    (число, в десятичной записи составленное из цифр $$ a_k $$).

    Из разложения $$ 10^k=\underbrace{99\cdots9}_{(k-1)\,nines}+1 $$ следует требуемое утверждение.

    Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.

    1998 mod 9 = 0, поэтому первый член прогрессии - 9.

    13 mod 9 = 4, поэтому второй член прогрессии 0+4=4, третий 4+4=8, четвертый (8+4) mod 9=3, пятый 3+4=7, шестой (7+4) mod 9=2, седьмой 2+4=6, восьмой (6+4) mod 9 = 1, девятый 1+4=5, десятый опять 5+4=9.

    Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 9+4+8+3+7+2+6+1+5=1+2+.+9=45

    Сумма первых 33*9 членов 33*45=1485

    Искомая сумма равна 

    $$ S_{297}+a_{298}+a_{299}+a_{300}=1485+a_1+a_2+a_3=1485+9+3+7\\=1504  $$

    в) Т. к. 350 / 9 = 38, a 350 mod 9 = 8, то сумма любых 350 подряд идущих членов равна 38*45+сумма последней восьмерки. Для того, чтобы сумма была наименьшей, необходимо, чтобы наибольшее число (т. е. 9) не попало в эту восьмерку. В этом случае сумма будет равна 38*46-9=1739.

    Такой случай реализется, например, при подсчете суммы членов со второго по триста пятьдесят первый.

    а) 8;

    б) 1504;

    в) 1739, при подсчете членов, например, начиная со второго.

  • Дана арефметическая прогрессия а2=18, а3 =14. Найти первый член и разность прогрессии и сумму первых восьми членов прогрессии


    Решение: 1)d=a3-a2=14-18=-4
    2)a2=a1+d
    a1=a2-d
    a1=18-(-4)=18+4=22
    3)s8=(a1+a8)/2 *8
    a8 = a1+7d
    a8=22-28
    a8=-6
    s8=(22-6)/2 * 8 = 16/2 *8 = 8*8=64
    Ответ:d=-4 ; a1=22; s8=64

    разность данной арифметической прогрессии d = а3 - а2 = 14 - 18 = -4

    первый член прогрессии а1 = а2 - d = 18 - (-4) = 18+4 = 22

    сумма первых восьми членов прогрессии можно найти по формуле:

    S8 = (2*a1 + (n-1)*d)*n/2

    S8 = (2*22 + (8-1)*(-4))*n/2 = (44-28)*8/2 = 128/2 = 64

  • Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. получилось последовательность однозначных чисел. а) найти тысячное число получившийся прогрессии,
    б) найдите сумму первой тысячи членов получившейся прогрессии, в) чему равна наименьшая сумма 1010 членов этой прогрессии, идущих подряд?


    Решение: Тут получается зависимость из чисел с периодом девять, 6.1.5.9.4.8.3.7.2 эти девять цифр идут с периодом в девять,

    тысячный член получившейся прогрессии будет =2013+13*999=15000 сумма цифр которого 6, либо т. к эти девять цифр будут идти подряд 111 раз,=999. то тысячное число=6,

    б) сумма первой тысячи цифр

    первые девять цифр 6.1.5.9.4.8.3.7.2. дают сумму= 45

    в первой тысяче они повторятся 111 раз= 45*111 +6. т. к тысячное число 6= 5001

    б) 1010-1008=2, то есть последние должны быть два числа рядом, имеющие наименьшую сумму наименьшую сумму дадут числа 1.5

    =45*112+1+5=5046

<< < 678 9 10 > >>