прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 6

  • В монотонно возрастающей арифметической прогрессии сумма квадратов пятнадцатого и девятнадцатого членов равна 37, а их сумма равна 6. Найти разность арифметической прогрессии.


    Решение: $$ a=(a_{1}.a_{n}) $$ - арифметическая прогрессия
    d>0 - разность арифметической прогрессии
    $$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{19})^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{19}=6}} \right. $$
    $$ a_{19}=a_{15}+4d $$ - подставим в систему
    $$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15}+4d)^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{15}+4d=6}} \right. $$
    $$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15})^{2}+2*a_{15}*4d+16d^{2}=37} \atop {2a_{15}+4d=6}} \right. $$
    $$ \left \{ {{2(a_{15})^{2}+8d*a_{15}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{2*(3-2d)^{2}+8d*(3-2d)+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{2*(9-12d+4d^{2})+24d-16d^{2}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{18+8d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{8d^{2}=37-18} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{d^{2}= \frac{19}{8} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    $$ \left \{ {{d= \frac{ \sqrt{38}}{4} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
    Ответ: $$ d= \frac{ \sqrt{38}}{4} $$

  • В арифметической прогрессии 12 членов. Их сумма равна 354. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номарами как 32:27. Найти разность прогрессии.


    Решение: S(n) = (2*a1+(n-1)*d)/(2)

    S(12) = (2*a1 + 11*d)/(2)

    S(12) = 354

    2*a1 + 11*d = 708 (уравнение 1)

    a(n) = a1 + (n-1)*d

    S(чет) = a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12

    S(чет) = 6*a1 + (1+3+5+7+9+11)*d

    S(чет) = 6*a1 + 36*d

    S(нечет) = a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11

    S(нечет) = 6*a1 + (0+2+4+6+8+10)*d

    S(нечет) = 6*a1 + 30*d

    (6*a1 + 30*d)*27 = (6*a1 + 36*d)*32

    162*a1 + 810*d = 192*a1 + 1152*d

    30*a1 + 342*d = 0 (уравнение 2)

    составим систему уравнений 1 и 2

    2*a1 + 11*d - 708 = 0

    30*a1 + 342*d = 0

    решим эту систему

    a1 = 684,d = -60

    Ответ: d = -60

  • разность арифметической прогрессии равна 6 а сумма ее первых 10 членов равно 340. найти первый и десятый ее члены.


    Решение: S10=2a1+9d

           _________*2=(2a1+9d)*5=(2a1+9*6)*5=240

                 2               10a1+270=340

                                    10a1=340-270

                                        10a1=70

                                        a1=7

                                       a10=a1+9d

                                        a10=7+9*6

                                        a10=7+54

                                          a10=61

  • Сумма первых 4 членов арифметической прогрессии равна 9, а сумма первых 6 членов равна 22,5. Найти разность прогрессии.


    Решение: S4=9
    S6=22,5
    d=?
    Распишем сумму первых 4 и 6 членов, есть две формулы
    (Sn=(a1+an)*n/2 или Sn=(2*a1+d(n-1))*n/2)
    , так как я не знаю какую вы учили, я использую первую, а из неё выведу вторую, которая нам нужна:
    S4=(a1+a4)*4/2=2*(a1+a4)
    S6= (a1+a6)*6/2=3*(a1+a6)
    Распишем по фыормулам а4 и а6:
    а4=а1+3d
    a6=a1+5d
    Подставим в формулы суммы:
    S4=2*(a1+a1+3d)=4a1+6d=9
    S6=3*(a1+a1+5d)=6a1+15d=22,5
    Получили систему, решаем её. Сократим второе уравнение на 3:
    4a1+6d=9
    2a1+5d=7,5
    Домножим второе уравнение на 2:
    4a1+6d=9
    4a1+10d=15
    От второго уравнения отнимем первое:
    4d=6
    d=6/4=3/2=1,5
    Ответ: 1,5

  • 1. Найти сумму 16 членов арифметической прогрессии, если при делении ее восьмого члега на второй в частном получается 4 и в остатке 3, а одиннадцатый ее член в 4 раза больше третьего

    2. ПЕрвый член арифметической прогрессии в 3 раза больше ее разности, сумма членов прогрессии равна 99. Если число членов прогрессии увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 306. Найти первоначальное число членов прогрессии

    3. В арифметической прогрессии сумма десятого и двенадцатого членов равна 6. Найти сумму третьего, тринадцатого и семнадцатого членов этой прогрессии.


    Решение: 1. $$ a_8=4a_2+3; a_{11}=4a_3;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+7d=4(a_1+d)+3;\\ a_1+10d=4(a_1+2d);\\ a_1+7d=4a_1+4d+3;\\ a_1+10d=4a_1+8d;\\ -3a_1=-3d+3;\\ -3a_1=-2d;\\ -2d=-3d+3;\\ d=3;\\ -3a_1=-2*3;\\ a_1=2;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\\ S_{16}=\frac{2*2+(16-1)*3}{2}*16=392 $$

    $$ a_1=3d; S_n=99;\\ S_{2n}=306;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n=\frac{2*3d+(n-1)*d}{2}*n=\frac{n+5}{2}*dn=99;\\ S_{2n}=\frac{2*3d+(2n-1)*d}{2}*2n=\frac{2n+5}{2}*2nd=306;\\ 306:99=2(2n+5):(n+5);\\ 306(n+5)=2*99(2n+5);\\ 153(n+5)=99(2n+5);\\ 17(n+5)=11(2n+5);\\ 17n+85=22n+55;\\ -10n=-30;\\ n=3 $$

    $$ a_{10}+a_{12}=6;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+9d+a_1+11d=6;\\ 2a_1+20d=6;\\ a_1+10d=3\\ a_3+a_{13}+a_{17}=a_1+2d+a_1+12d+a_1+16d=\\=3a_1+30d=3(a_1+10d)=3*3=9 $$

<< < 456 7 8 > >>