найти первый член и разность прогрессии - страница 6
В монотонно возрастающей арифметической прогрессии сумма квадратов пятнадцатого и девятнадцатого членов равна 37, а их сумма равна 6. Найти разность арифметической прогрессии.
Решение: $$ a=(a_{1}.a_{n}) $$ - арифметическая прогрессия
d>0 - разность арифметической прогрессии
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{19})^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{19}=6}} \right. $$
$$ a_{19}=a_{15}+4d $$ - подставим в систему
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15}+4d)^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{15}+4d=6}} \right. $$
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15})^{2}+2*a_{15}*4d+16d^{2}=37} \atop {2a_{15}+4d=6}} \right. $$
$$ \left \{ {{2(a_{15})^{2}+8d*a_{15}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{2*(3-2d)^{2}+8d*(3-2d)+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{2*(9-12d+4d^{2})+24d-16d^{2}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{18+8d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{8d^{2}=37-18} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{d^{2}= \frac{19}{8} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{d= \frac{ \sqrt{38}}{4} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
Ответ: $$ d= \frac{ \sqrt{38}}{4} $$
В арифметической прогрессии 12 членов. Их сумма равна 354. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номарами как 32:27. Найти разность прогрессии.
Решение: S(n) = (2*a1+(n-1)*d)/(2)S(12) = (2*a1 + 11*d)/(2)
S(12) = 354
2*a1 + 11*d = 708 (уравнение 1)
a(n) = a1 + (n-1)*d
S(чет) = a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12
S(чет) = 6*a1 + (1+3+5+7+9+11)*d
S(чет) = 6*a1 + 36*d
S(нечет) = a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11
S(нечет) = 6*a1 + (0+2+4+6+8+10)*d
S(нечет) = 6*a1 + 30*d
(6*a1 + 30*d)*27 = (6*a1 + 36*d)*32
162*a1 + 810*d = 192*a1 + 1152*d
30*a1 + 342*d = 0 (уравнение 2)
составим систему уравнений 1 и 2
2*a1 + 11*d - 708 = 0
30*a1 + 342*d = 0
решим эту систему
a1 = 684,d = -60
Ответ: d = -60
разность арифметической прогрессии равна 6 а сумма ее первых 10 членов равно 340. найти первый и десятый ее члены.
Решение: S10=2a1+9d_________*2=(2a1+9d)*5=(2a1+9*6)*5=240
2 10a1+270=340
10a1=340-270
10a1=70
a1=7
a10=a1+9d
a10=7+9*6
a10=7+54
a10=61
Сумма первых 4 членов арифметической прогрессии равна 9, а сумма первых 6 членов равна 22,5. Найти разность прогрессии.
Решение: S4=9
S6=22,5
d=?
Распишем сумму первых 4 и 6 членов, есть две формулы
(Sn=(a1+an)*n/2 или Sn=(2*a1+d(n-1))*n/2)
, так как я не знаю какую вы учили, я использую первую, а из неё выведу вторую, которая нам нужна:
S4=(a1+a4)*4/2=2*(a1+a4)
S6= (a1+a6)*6/2=3*(a1+a6)
Распишем по фыормулам а4 и а6:
а4=а1+3d
a6=a1+5d
Подставим в формулы суммы:
S4=2*(a1+a1+3d)=4a1+6d=9
S6=3*(a1+a1+5d)=6a1+15d=22,5
Получили систему, решаем её. Сократим второе уравнение на 3:
4a1+6d=9
2a1+5d=7,5
Домножим второе уравнение на 2:
4a1+6d=9
4a1+10d=15
От второго уравнения отнимем первое:
4d=6
d=6/4=3/2=1,5
Ответ: 1,51. Найти сумму 16 членов арифметической прогрессии, если при делении ее восьмого члега на второй в частном получается 4 и в остатке 3, а одиннадцатый ее член в 4 раза больше третьего
2. ПЕрвый член арифметической прогрессии в 3 раза больше ее разности, сумма членов прогрессии равна 99. Если число членов прогрессии увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 306. Найти первоначальное число членов прогрессии
3. В арифметической прогрессии сумма десятого и двенадцатого членов равна 6. Найти сумму третьего, тринадцатого и семнадцатого членов этой прогрессии.
Решение: 1. $$ a_8=4a_2+3; a_{11}=4a_3;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+7d=4(a_1+d)+3;\\ a_1+10d=4(a_1+2d);\\ a_1+7d=4a_1+4d+3;\\ a_1+10d=4a_1+8d;\\ -3a_1=-3d+3;\\ -3a_1=-2d;\\ -2d=-3d+3;\\ d=3;\\ -3a_1=-2*3;\\ a_1=2;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\\ S_{16}=\frac{2*2+(16-1)*3}{2}*16=392 $$$$ a_1=3d; S_n=99;\\ S_{2n}=306;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n=\frac{2*3d+(n-1)*d}{2}*n=\frac{n+5}{2}*dn=99;\\ S_{2n}=\frac{2*3d+(2n-1)*d}{2}*2n=\frac{2n+5}{2}*2nd=306;\\ 306:99=2(2n+5):(n+5);\\ 306(n+5)=2*99(2n+5);\\ 153(n+5)=99(2n+5);\\ 17(n+5)=11(2n+5);\\ 17n+85=22n+55;\\ -10n=-30;\\ n=3 $$
$$ a_{10}+a_{12}=6;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+9d+a_1+11d=6;\\ 2a_1+20d=6;\\ a_1+10d=3\\ a_3+a_{13}+a_{17}=a_1+2d+a_1+12d+a_1+16d=\\=3a_1+30d=3(a_1+10d)=3*3=9 $$