прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 6

  • 1 Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а7=-4.
    2 Число -28 является членом арифметической прогрессии(аn), у которой а1=32, а разность d=-1,5. Найти его номер.


    Решение: 1) a7=a1+d*6

    -4=a1+1.5*6

    -a1=9+4

    a1=-13

    2) -28=a1+d*n

    -28=32-1.5*n

    1.5*n=32+28

    1.5*n=60

    n=60/1.5

    n=40

    (n-номерчлена арифметической прогрессии)

    1) d=1.5

    a7=-4

    Найти а1 = ?

    Решение.

    a7=a1+6d

    -4=a1+6*1,5

    a1=-4-9

    a1=-13

    Ответ: a1=-13

    2) an=-28

    a1=32

    d=-1,5

    Найти n=?

    Решение.

    an=a1+d(n-1)

    an=a1+dn-d

    -28=32-1,5n+1,5

    1,5n=61,5

    n=41

    Ответ: n= 41

  • Разность между пятым и первым членом геометрической прогрессии равна 15, а разность между четвёртым и вторым членами равна 3. Найти эту прогрессию.


    Решение: Запишем условие задачи в виде системы уравнений:
    {a₁q⁴ - a₁ = 15
    {a₁q³ - a₁q = 3.
    Вынесем за скобки общий множитель:
    {a₁(q⁴ - 1) = 15 {a₁(q² - 1)(q² + 1) = 15  
    {a₁q(q² - 1) = 3 {a₁q(q² - 1) = 3.
    Разделим левые и правые части равенств первое на второе:
    (q² + 1) / q = 5.
    Получаем квадратное уравнение:
    q² - 5q + 1 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно q: 
    Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*1=25-4=21;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
    q₁=(√21-(-5))/(2*1)=(√21+5)/2=√21/2+5/2=√21/2+2.5 ≈ 4.791288;
    q₂=(-√21-(-5))/(2*1)=(-√21+5)/2=-√21/2+5/2=-√21/2+2.5 ≈ 0.208712.
    a₁(₁) = 15 / (q₁⁴ - 1) =  0.028517.
    a₁(₂) = 15 / ( (q₂⁴ - 1) =  -15.028517.
    Получаем 2 прогрессии:
    $$ a_n=0.028517*4.791288^{n-1} $$.
    $$ a_n=-15.028517*0.208712^{n-1}. $$

  • Среднее арифметическое первого и третьего членов некоторой геометрической прогрессии на 4 больше второго члена этой прогрессии. Разность между вторым и первым сленом прогрессии равна 4. Найти шестой член прорессии


    Решение: $$ \begin{cases}\frac{b_1+b_3}2=b_2-4\\b_2-b_1=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{b_1(1+q^2)}2=b_1q-4\\b_1(q-1)=4\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}\frac4{q-1}(1+q^2)=\frac{8q}{q-1}-8\\b_1=\frac4{q-1}\end{cases}\\\frac4{q-1}(1+q^2)=\frac{8q}{q-1}-8\\\frac{4+4q^2}{q-1}=\frac{8q-8q+8}{q-1}\\4+4q^2=8\\q^2=1\\q_1=-1,\\q_2=1\;-\;He\;nogx. $$
    Второй корень не подходит, т. к. в таком случае не выполняются условия задачи.
    $$ \begin{cases}q=-1\\b_1=-2\end{cases}\\b_6=b_1q^5=(-2)\cdot(-1)^5=-2 $$

  • Среднее арифметическое первого и третьего членов некоторой геометрической прогрессии на 4 больше второго члена этой прогрессии. Разность между вторым и первым сленом прогрессии равна 4. Найти шестой член прорессии


    Решение: 1) (b1 + b3)/2 = b2+4
    2) b2 - b1 =4 bn=b1*q^(n-1) b2=b1*q b3=b1*q²
    3) из 1) (b1+b1*q²)/2 =q*b1+4 или b1*( 1+q² - 2*q)=8
    4) из 2) q*b1-b1 =4 -> b1=4/(q-1)
    5) Подставляем из 4) b1 в 3) :
    (4/(q-1)) * (1+q² - 2*q) =8, преобразуем и получаем уравнение:
    6) q² - 4q +3= 0, решением этого уравнения являются q1=3 и  q2=1(не удовлетворяет условию задачи)
    Итак, q=3. Из 4) b1=4/2=2 b2=q*b1=6 b3=q² *b1=18
    Подставляем в 1) и 2) (2+18)/2=6+4 - верно 6-2 = 4 - верно
    7) q6 = (q^5)*b1=3^5 * 2 =243*2=486 - ответ

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 6 а разность между первым и третьим членами равна 3. Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии.


    Решение: Исходя из условия, получим систему уравнений

    $$ \left \{ {{b_1+b_1q=6} \atop {b_1-b_1q^2=3}} \right. $$

    $$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {b_1(1-q^2)=3}} \right. $$

    $$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {b_1(1-q)(1+q)=3}} \right. $$

    $$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {6(1-q)=3}} \right. $$

    $$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {1-q=0.5}} \right. $$

    $$ \left \{ {{b_1=4} \atop {q=0.5}} \right. $$

    Находим сумму

    $$ s_6=\frac{b_1(1-q^6}{1-q})=\frac{4(1-\frac{1}{64})}{1-0.5}=\frac{4(1-\frac{1}{64})}{0.5}= $$

    $$ =8(1-\frac{1}{64})=8-\frac{1}{8}=7\frac{7}{8} $$

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 6, а разность между первым и третьим членами равна. Найти сумму первых шести членов прогрессии.


    Решение: B1*q^n-1=b1 При n=1
    B1*q^n-1=b1q pri n=2
    B1*q^n-1=b1q^2 pri n=3 
    $$ \left \{ {{b1+b1q=6} \atop {b1-b1q^2=3}} \right. $$
    $$ \left \{ {{b1=6-b1q} \atop {b1=3-b1q^2}} \right. $$
    6-b1q=3-b1q^2=b1
    $$ \left \{ {{6=b1q} \atop {3=b1q^2}} \right. $$
    $$ \left \{ {{6=b1q} \atop {6=2b1q^2}} \right. $$
    $$ b1q=2b1q^2 $$ | :b1 q=2q^2 | :q
    1=2q
    q=0.5

    b1+b2=6

    b1+b1*q=6

    b1-b3=3

    b1-b1q²=3

    b1(1+q)=6

    b1(1-q²)=3  разделим первое на второе

    (1+q)/(1-q)(1+q)=2

    1/(1-q)=2⇒1=2(1-q)⇒⇒1=2-2q⇒q=1/2

    b1(1+0,5)=6

    b1*1,5=6

    b1=4

    4; 2;1; 1/2; 1/4; 1/8.

    4+2+1+1/2+1/4+1/8=7+7/8=7целых7/8 можно по формуле но так проще

  • Разность арифметической прогрессии третьего и первого члена равна 6? а их произведение равно 27 найти первый член арифметической прогрессии и их разность. Как я понял чтобы здесь решить задачу надо было решить систему уравнений
    а3-а1=6
    а3*а1=27


    Решение: {a₃-a₁=6
    {a₃*a₁=27
    a₃-a₁=6
    a₁+2d-a₁=6
    2d=6
    d=3 - разность арифметической прогрессии
    a₃=a₁+2d=a₁+2*3=a₁+6
    a₃*a₁=27
    (a₁+6)*a₁=27
    a₁²+6a₁-27=0
    По теореме Виета, (a₁)₁=3, (a₁)₂=-9
    (Получаем две прогрессии, удовлетворяющие
    заявленным условиям: 3; 6; 9;. и -9; -6; -3;.)
    Ответ: a₁=3 или a₁=-9, d=3

  • №1 Является ли число 384 членом геометрической прогрессии bn= 3*2(в n степени)? №2Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а седьмой её член на 12 больше третьего. Нужно найти разность и первый член данной прогрессии


    Решение: 1) подставим в формулу число bn=384 bn= 3*2(в n степени)

      384=3*2^n

      128=2^n

      128=2^7 следовательно n=7 

    т. к. n - целое число, то число 384 является членом прогрессии

    2) a2+a4=14

      a7-a3=12

     представим а2, а3, а4, а7 через а1 и d через формулу н-ого члена арифм. прогрессии: a2=a1+d a4=a1+3d a7=a1+6d a3=a1+2d 

    подставим в уравнения, получаем:

    а1+d+a1+3d=14

    a1+6d-a1-2d=12   следовательно  4d=12 d=3 

    подставим d в ппервое и получаем:

    a1+3+a1+9=14

    2a1=2

    a1=1 

    x^2-3y=9

    x=3-y

    (3-y)^2=9

    x=3-y

    9-6y+y^2=9

    x=3-y

    y(6+y)=0

    x=3-y

    y=0, y=-6

    x=3-0, x=3+6

    y=0, y=-6

    x=3, x=9 

  • Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 357, а третий член прогрессии на 255 больше первого. Найти разность между первым и вторым членами прогрессии.


    Решение: B1 + b1q + b1q^2 = 357
    b1q^2 - b1 = 255
    Вычитаем из первого условия второе, тогда получается система:
    b1q^2 - b1 = 255
    b1q + 2b1 = 102
    Выражаем b из второго уравнения, потом подставляем его в первое, получим квадратное уравнение.
    Решив его получим два решения:
    b1 = 17, q = 4
    b1 = 204, q = -3/2
    В первом случае разница между первым и вторым членами прогрессии равна
    17 * 4 - 17 = 51
    Во втором случае 204*(-3/2) - 204 = -510

  • Разность между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии равна 18, а между пятым и третьим членами равна 36. Найти сумму первых девяти членов.


    Решение: По условию задачи:
    b4-b2=18; b5-b3=36.
    Выразим всё через b2:
    $$ b_{2} q^{2} - b_{2}=18; b_{2} q^{3}- b_{2} q=36 $$

    Получилась система уравнений:$$ {{b_{2} q^{2} - b_{2}=18} \atop {b_{2} q^{3}- b_{2} q=36}} \left \{ {{b_{2} (q^{2}-1)=18} \atop {b_{2} q(q^{2}-1)=36}} \right. $$

    Разделим второе на первое, получим: q=2 подставим в первое уравнение: b2*4-b2=18; 3b2=18; b2=6. Найдём b1:b2=b1q; 6=b1*2; b1=3

    Найдём сумму первых девяти членов по формуле:$$ S_{n} = \frac{b_{1}(q^n-1) }{q-1} ; S_{9} = \frac{3*(2^9-1)}{2-1} ; S_{9} = \frac{3*(512-1)}{1} ; S_{9} =1533 $$

<< < 456 7 8 > >>