найти первый член и разность прогрессии - страница 9
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а_n), если а_8=31, а_18=16
Решение: Решение:
Воспользуемся формулой:
an=a1+d(n-1)
a6=a1+d(6-1)=a1+5d
а2=a1+d
Подставим эти данные в а6+а2=-6
(a1+5d)+(a1+d)=-6 -это первое уравнение
a9=a1+d(9-1)=a1+8d
a7=a1+d(7-1)=a1+6d
Подставим эти данные в а9-а7=1
(a1+8d)-(a1+6d)=1-это второе уравнение
Решим систему уравнений:
(a1+5d)+(a1+d)=-6
(a1+8d)-(a1+6d)=1
a1+5d+a1+d=-6
a1+8d-a1-6d=1
2a1+6d=-6
2d=1
d=1/2
Подставим данное значение (d) в первое уравнение:
2a1+6*1/2=-6
2а1+3=-6
2а1=-6-3
2а1=-9
а1=-9 : 2=-4,5
Ответ: а1=-4,5; d=0,5
№1 Найти аn и d арифметической прогрессии, у которой:
а1=10, n=14, S14=1050.
№2
Найти а1 и d арифметической прогрессии, если:
а7=21, S7=205.
№3
В арифметической прогрессии а3+а9=8. Найти S11
№4
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если S5=65 и S10=230.
Решение: s=[2a1+(n-1)d]*n/21050=[20+13d]*7
20+13d=150
13d=130
d=10
a14=a1+13d=130+10=140
2) a7=a1+6d
(a1+a7)*n/2=S
(a1+21)7/2=205
7a1=410-147=263
a1=263/7
21-263/7=-116/7
d=-58/21
3)
a1+2d+a1+8d=8
s11=(a1+a11)*11/2=(2a1+10d)*11/2=88/2=44
4)
(2a1+4d)5/2=65 a1+2d=13 -2a1-4d=-26
(2a1+9d)10/2=230 2a1+9d=46 2a1+9d=46
5d=20 d=4
a1=13-8=5
Помогите найти 1 член арифметической прогресси если известно разность d=3, an=55, n=18
Решение: Дано Решение :
(an)-ариф прогрессия an=a1+(n-1)d
d=3 a18=a1+17d
аn=55 55=a1+17*3
n=18 55=a1+51
Найти: a1+55-51
а1? a1=4
ОТВЕТ:41) Известны первый член и разность арифметической прогрессии b(n) : b1=-20; d=3,15;
Найдите b18,b к+4.
2) Каков номер члена арифметической прогрессии(Zn), равного 4.3. если z1=25.2 и d=-0.38
Решение: 1) b(n) : b1=-20; bn = b1 + d(n – 1)
b1=-20,1
d=3,15
n=18
n18= -20,1 + 3,15(18-1)= 33,45
b к+4 это что?
bk+4 =-20,1 + (k +3)∙3,15
bk+4 =11,45
не уверен конечно
2) Каков номер члена арифметической прогрессии(Zn), равного 4.3. если
z1=25.2 и d=-0.38
Решение аn =а1+(n-1) хd
Подставляем в формулу все
4,3=25,2+(n-1)*(-0,38)
4,3-25.2-0.38=-0,38n
n=561) Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена an=-2(1-n), является арифметической прогрессией.
2) В арифметической прогрессии вычислить:
а7, если а1=-3 1/3, d=-1/3
3) Найти разность арифметической прогрессии и записать её четвертый и пятый члены:
3 1/2, 3, 2 1/2,;
Решение: 1) Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена an=-2(1-n), является арифметической прогрессией.
Приведем эту формулу к привычному виду $$ a_n=a_1+d(n-1) $$
$$ a_n=-2(1-n)=-2+2n=-2+2(n-1+1)=-2+2(n-1)+\\+2=2(n-1)\\a_1=0, d=2 $$
2) В арифметической прогрессии вычислить:
а7, если а1=-3 1/3, d=-1/3
$$ a_1=-3\frac{1}{3}, d=-\frac{1}{3}\\ a_n=a_1+d(n-1)\\ a_7=a_1+6d\\ a_7=-\frac{10}{3}-6*\frac{1}{3}=-\frac{16}{3}=-5\frac{1}{3} $$
3) Найти разность арифметической прогрессии и записать её четвертый и пятый члены:
3 1/2, 3, 2 1/2,;
$$ a_1=3\frac{1}{2}, a_2=3, a_3=2\frac{1}{2}\\ d=a_2-a_1=-\frac{1}{2}\\ a_4=a_3+d, a_4=2\\a_5=1\frac{1}{2} $$
Является ли арифметической прогрессией последовательность(an) заданная фомулой : в)an=n+4 д) an=-0,5n+1 Найдите ее первый член и разность, если она явл. прогрессией.
Решение: является и первая и вторая т. к. любую арифм прогрессию можно задать формулойan=kn+b
а) an=n+4
1) a1=1+5=5;
2) a2=2+5=7;
3) d= a2-a1= 7 - 5 =2
Ответ: 1 член 5, разность 2;
б) an=-0.5n+1
1) a1=-0.5+1=0.5
2) a2=-1+1=0;
3) d= a2-a1=0-0.5=-0.5;
Ответ: 1 член 0.2, разность -2;
В арифметической прогрессии пятый и десятый члены соответственно равны 18 и 13. Найти разность прогрессии.
Решение: A₅=a₁+4d=18
a₁₀=a₁+9d=13
Вычитаем из первого уравнения второе:
-5d=5
d=-1.
Решение:
Воспользуемся формулой:
an=a1+d(n-1)
Подставим в эту формулу известные нам данные:
18=а1+d(5-1)
13=a1+d(10-1)
Решим эту систему уравнений:
18=а1+4d
13=a1+9d решим данную систему уравнений методом сложения, для этого из первого уравнения отнимем второе уравнение:
18-13=а1+4d-a1-9d
5=-5d
d=5: -5=-1- разность прогрессии
Ответ: Разность прогрессии d равна: -1
найти разность арифметической прогрессии, если а8=4; а13=7,5
Решение: Выражаете каждый член ариф. прогрессии через первый член и разность и составляете ситсему уравнений. Первое уравнение: a13 = a1+12d = 7,5,второе уравнение: a8 = a + 7d= 4. Вычитаете уравнения, получается 5d = 3,5, отсюда d = 0,7.
Можно проще решить. Просто отнимаете между собой известные члены и делите это на разность порядковых номеров членов прогрессии, (это такая формула)
Решение:
а13-а8/13-8=7.5-4/5=0.7
Арифметическая прогрессия Сумма первого, второго и третьего членов равна 3. А сумма второго, третьего и пятого равна 11. Найти разность d.
Решение: Формула n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + d(n - 1)a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a1 + a2 + a3 = a1 + a1 + d + a1 + 2d = 3a1 + 3d
3a1 + 3d = 3 (1)
a5 = a1 + 4d
a2 + a3 + a5 = a1 + d + a1 + 2d + a1 + 4d = 3a1 + 7d
3a1 + 7d = 11 (2)
Вычтем (1) из (2)
4d = 8
d = 2
:
1. Последовательность (ап) задана формулой ап—2п~п2. Найти пятый член этой последовательности. 1) -15 2)35 3) 15 4)-5 2. Первый член и разность арифметической прогрессии (ап) равны соответственно 2 и -3. Найдите шестой член прогрессии. 1) 13 2) 17 3)-13 4)16 3. Второй член арифметической прогрессии (ап) равен 4, а шестой член равен 14. Найдите разность этой прогрессии. 1)2,5 2)2 3)3 4) 3,5 4. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, если первый член равен 2, а разность прогрессии равна 4. 1)220 2)100 3)400 4)200 Повышенный уровень. 1. Дана арифметическая прогрессия 3; 2,8; 2,6;.... Сколько в этой прогрессии положительных членов? 2. В арифметической прогрессии (ап) (73—10, 677=40. Найдите £75. 3. Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 40 до 100 включительно. 4. Существует ли арифметическая прогрессия, в которой 674=8, 678=20, £716=44? Если да, то запишите формулу общего члена этой прогрессии. 5. Арифметическая прогрессия задана формулой /7-го члена
Решение: 1) a5 = 2*5 - 5² = 10 - 25 = -15 (ответ 1) )
2) а6 = 2 + (6 - 1)*(-3) = 2 - 15 = -13 (ответ 3) )
3) d = a6 - a2 / 4 = 14-4 /2 = 2,5 (ответ 1) )
4) S10 = ( 2*2 + 9*4) / 2 * 10 = 200 (ответ 4) )
Повыш. уровень.
1) Прогрессия убывающая, с разностью d= - 0,2
Первый член равен 3,
посчитаем, каким по счету будет член, равный нулю. Обозначим его аn, аn=0.
3 : 0,2 = 15,
тогда по формуле аn = а1 + (n - 1)*d найдем n:
0 = 3 + 15*(- 0,2)
0 = 3 + (16 - 1)*(- 0,2)
значит а16 равен нулю, значит в последовательности 15 положительных членов.
2) а3 = 10 => 10 = a1 + 2d
а7 = 10 => 40 = a1 + 6d получили систему.
Из второго вычтем первое уравнение, получим:
30 = 4d => d = 7,5
a1 = 10 - 2d = 10 - 15 = -5
Тогда а5= a1 + 4d = -5 + 4*7,5 = 25
3) Если рассматривать множество натуральных чисел как арифм. прогрессию с первым членом a1 = 1 и разностью d = 1, то задача сводится к нахождению разности S100 - S39,
S100 = (1+100) /2 * 100 = 5050
S39 = (1+39) /2 * 39 = 780
S100 - S39 = 5050 - 780 = 4270
4) d = а8 - а4 / 4 = 20 - 8 /4 = 12/4 = 3
Тогда по формуле аn = а1 + (n - 1)*d найдем чему равен первый член:
а4 = а1 + (4 - 1)*d
8 = а1 + 3*3
а1 = -1
Тогда 16-й член будет равен: а16 = а1 + (16 - 1)*d = -1 + 15*3 = 44
Т. о. действительно такая ар. прогрессия существует и формула общего члена такая: аn = -1 + 3(n - 1) = -1 + 3n - 3 = 3n - 4
аn = 3n - 4
5) аn = 3n - 1
а1 = 3 - 1 = 2
а2 = 6 - 1 = 5
d = а2 - а1 = 5-2 = 3
S = S54 - S13 = 4401 - 260 = 4141
S54 = (2*2 + 53*3) /2 * 54 = (4 + 159) /2 * 54 = 163 * 54 /2 = 4401
S13 = (2*2 + 12*3) /2 * 13 = (4 + 36) /2 * 13 = 20 * 13 = 260
Ответ: сумма членов прогрессии с 14 по 54 включительно равна 4141.
