найти первый член и разность прогрессии - страница 9
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и тридцатого членов равна 58.
Решение: Обозначим: an - n-ный член прогрессии, d - ее разность. Требуется найти a1 и d.
Используем определение n-ного члена арифметической прогрессии:
an = a1 + d*(n-1)
По условию, a5+a9=40, то есть:
a5+a9=(a1+4d)+(a1+8d)=2a1+12d=40 => a1+6d=20 (это, по сути, седьмой член прогрессии, его можно было найти, просто найдя полусумму a5 и a9)
Далее известно, что a7+a13=58, то есть a1+6d+a1+12d=2a1+18d=58 => a1+9d=29 (это 10-й член прогрессии)
Решим систему уравнений:
a1+6d=20
a1+9d=29
Вычтем из второго уравнения первое и получим, что 3d=9, d=3.
Дальше из первого уравнения выразим a1=20-6d, подставим вместо d найденное значение и получим ответ: a1=20-6*3=2.
Таким образом, a1=2, d=3Арифметическая прогрессия.
1. Найти двадцатый член арифметической прогрессии, если a1+a2+a3+a4+a5= 34 и a2*a5=52
2. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что сумма первого и пятого ее членов равно 4, а разность квадратов второго и первого ее членов равна 1
Решение: 1. а₂=а₁₊d; а₃=а₁₊2d; а₄=а₁₊3d; а₅=а₁₊4d.
Подставив эти формулы в первое уравнение, получим: 5а₁+10d=34
a₁+2d=6,8 Отсюда а₁=6,8 - 2d. Во второе уравнение подставим формулы а₂ и а₅ из первой строки.
Получим (а₁+d)*(a₁+4d)=52.
Подставив а₁=6,8 - 2d, получим (6,8-d)(6,8+2d)=52.
-2d²+6,8² -6,8d+13,6d-52=0
2d²-6,8d+5,76=0
10d²-34d+28,8=0
D/4=17²-10*28,8=1
d₁=1,6
d₂=1,8
Тогда а₁=3,6 или а₁=3,2.
Тогда а₂₀=3,6+19*1,6=34 или а₂₀=3,2+19*1.8=37,4
2. а₁+а₁+4d=4
2a₁+4d=4
a₁=2-2d.
a₂²-a₁²=1
(a₂+a₁)(a₂-a₁)=1
(2a₁+d)*d-1=0
(4-4d+d)*d-1=0
(4-3d)*d-1=0
-3d²+4d-1=0
3d²-4d+1=0
D/4=2²-3=1
d=(2+1)/3=1 или d=(2-1)/3=1/3
1) бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада а августе? в декабре?
2) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.
3) Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равна 12, а сумма третьего четвертого и пятого ее членов равна 21. Найти первый член и разность этой прогрессии.
Решение: 1) а1=80d=17
a8=a1+(n-1)*d=80+7*17=199
a12=a1+(n-1)*d=80+11*17=267
2) a1=64
a7=46
an=a1+(n-1)*d
46=64+6d
d=-3
a2=61
a3=58
a4=55
a5=52
a6=49
3)
a2+a3+a4=12
a3+a4+a5=21
a1+d+a1+2d+a1+3d=12
a1+2d+a1+3d+a1+4d=21
3a1+6d=12
3a1+9d=21
a1+2d=4
a1+3d=7
a1=4-2d
a1=7-3d
4-2d=7-3d
d=3
a1=4-2*3=-2
1) Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число -12.
1. аn = 12n - 1
2. аn = 12n
3. аn = -12n + 1
4. аn = - 12n
2) Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии (аn): -42,5; -40; …
1. 250
2. 25
3. 3650
4. 300
3) Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии (хn), если хn = - 3n + 4
4) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а8 = 31, а18= 16.
5) Найдите сумму всех последовательных натуральных чисел с 60 до 110 включительно.
6) Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 4.
Решение: 1) 4. a1 = -12
2) a1 = -42,5; d = 2,5; n = 40; a40 = a1 + 39d = -42,5 + 39*2,5 = 55
S(40) = (a1 + a40)*40/2 = (-42,5 + 55)*20 = 12,5*20 = 250
Ответ: 1. 250
3) xn = -3n + 4
x1 = -3 + 4 = 1; d = -3; n = 6; x6 = -18 + 4 = -14
S(6) = (x1 + x6)*6/2 = (1 - 14)*3 = -13*3 = -39
Ответ: -39
4)
a8 = a1 + 7d = 31
a18 = a1 + 17d = 16
Вычитаем из 2 уравнения первое уравнение
10d = -15
d = -15/10 = -3/2 = -1,5
a8 = a1 - 7*1,5 = 31
a1 = 31 + 7*1,5 = 31 + 10,5 = 41,5
Ответ: a1 = 41,5; d = -1,5
5) a1 = 60; d = 1; n = 110 - 60 + 1 = 51
S(51) = (60 + 110)*51/2 = 170*51/2 = 85*51 = 4335
Ответ: 4335
6) a1 = 12; d = 4; a(n) = 96; n = (96 - 12)/4 + 1 = 21 + 1 = 22
S(22) = (12 + 96)*22/2 = 108*11 = 1188
Ответ: 11881. решите уравнение 4х^2-[=0
2. запишите выраженние 10^-4*100^9
-
10^9 *100^-4
3. упростите (корень из) 4аб
-
(корень из)-7а
4. найдите стоимость карондоша, если извнстно, что срели трех следующих утверждений есть верное:
1) за три таких карандаша заплатили 4р 30коп
2) за три таких карандаша заплатили 4р 31коп
3) за три таких карандаша заплатили 4р 32коп
5. решите неравенство 5х^2-3x-8<0
6. в арефметической прогрессии второй член равен6 а сумма20 первых членов равна 1990 найдите первый член и разность этой прогрессии
7. решите уравнение (х-6)(х+3)^3+(х+3)(х-6)^3
Решение: 1.1)
4х²-х=0
х(4х-1)=0
х=0 или х=0,25
или так2)
4х²=0
х²=4
х=±2
2.
(10⁻⁴·100⁹)÷(10⁹·100⁻⁴)=(10⁻⁴·10¹⁸)÷(10⁹·10⁻⁸)=10¹⁴÷10¹=10¹³
3.
(корень из) 4аб÷(корень из)-7а= 2(корень из) б ÷ (корень из) -7
4.
ответ:3), т. к. 432делится на 3
5.
5х²-3х-8<0
5х²-3х-8=0
D=9+160=169
х₁=(3-13)÷10=-1
х₂=3+13÷10=1,6
ответ: х∈(-1;1,6)
6. я прогрессии решать не умею, не учили
7.(х-6)(х+3)³=(х+3)(х-6)³
(х+3)³÷(х+3)=(х-6)³÷(х-6)
(х+3)²=(х-6)²
х²+6х+9=х²-12х+36
х²+6х+9-х²+12х-36=0
18х=27
х=27÷18=3÷2=1,5
1)
4х^2-х=0
х(4х-1)=0
х=0
4х-1=0
4х=1
х=0,25
Ответ. х=0 и х=0,25
2)
$$ \frac{10^{-4}*100^{9}}{10^{9}*100^{-4}} = \frac{100^{9}*100^{4}}{10^{4}*10^{9}} = \frac{10^{9}*10^{9}*10^{4}*10^{4}}{10^{4}*10^{9}} = 10^{9}*10^{4}=10^{13} $$
3)
$$ \frac{\sqrt{4*a*b}}{-\sqrt{7a}}=\frac{\sqrt{4}*\sqrt{a}*\sqrt{b}}{-\sqrt{7}*\sqrt{a}}=-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{7}}= $$
4) один карандаш стоит 1руб 44 коп
5)
5х^2-3х-8<0
5x^2-3x-8=0
(x-1.6)(x+1)=0
Отмечаем корни на оси и находим знаки.
Решением является -1<x<1.6
6) выразим А1 через А2: 6-d и подставим в формулу суммы. Из нее найдем d:
d=11 - разность этой прогрессии,
6-11=-5 - первый член прогрессии.
Ответ. А1=-5, d=11
7)
(х-6)(х+3)^3=(х+3)(х-6)^3
сократим на выражение (х-6)(х+3):
(х+3)^2=(х-6)^2
x^2+6x+9=x^2-12x+36
6x+12x=36-9
18x=27
x=1.5
Ответ. х=1,5
