найти первый член и разность прогрессии - страница 11
1 Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а7=-4.
2 Число -28 является членом арифметической прогрессии(аn), у которой а1=32, а разность d=-1,5. Найти его номер.
Решение: 1) a7=a1+d*6-4=a1+1.5*6
-a1=9+4
a1=-13
2) -28=a1+d*n
-28=32-1.5*n
1.5*n=32+28
1.5*n=60
n=60/1.5
n=40
(n-номерчлена арифметической прогрессии)
1) d=1.5
a7=-4
Найти а1 = ?
Решение.
a7=a1+6d
-4=a1+6*1,5
a1=-4-9
a1=-13
Ответ: a1=-13
2) an=-28
a1=32
d=-1,5
Найти n=?
Решение.
an=a1+d(n-1)
an=a1+dn-d
-28=32-1,5n+1,5
1,5n=61,5
n=41
Ответ: n= 41
Разность между пятым и первым членом геометрической прогрессии равна 15, а разность между четвёртым и вторым членами равна 3. Найти эту прогрессию.
Решение: Запишем условие задачи в виде системы уравнений:
{a₁q⁴ - a₁ = 15
{a₁q³ - a₁q = 3.
Вынесем за скобки общий множитель:
{a₁(q⁴ - 1) = 15 {a₁(q² - 1)(q² + 1) = 15
{a₁q(q² - 1) = 3 {a₁q(q² - 1) = 3.
Разделим левые и правые части равенств первое на второе:
(q² + 1) / q = 5.
Получаем квадратное уравнение:
q² - 5q + 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно q:
Ищем дискриминант:D=(-5)^2-4*1*1=25-4=21;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
q₁=(√21-(-5))/(2*1)=(√21+5)/2=√21/2+5/2=√21/2+2.5 ≈ 4.791288;
q₂=(-√21-(-5))/(2*1)=(-√21+5)/2=-√21/2+5/2=-√21/2+2.5 ≈ 0.208712.
a₁(₁) = 15 / (q₁⁴ - 1) = 0.028517.
a₁(₂) = 15 / ( (q₂⁴ - 1) = -15.028517.
Получаем 2 прогрессии:
$$ a_n=0.028517*4.791288^{n-1} $$.
$$ a_n=-15.028517*0.208712^{n-1}. $$
Среднее арифметическое первого и третьего членов некоторой геометрической прогрессии на 4 больше второго члена этой прогрессии. Разность между вторым и первым сленом прогрессии равна 4. Найти шестой член прорессии
Решение: $$ \begin{cases}\frac{b_1+b_3}2=b_2-4\\b_2-b_1=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{b_1(1+q^2)}2=b_1q-4\\b_1(q-1)=4\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}\frac4{q-1}(1+q^2)=\frac{8q}{q-1}-8\\b_1=\frac4{q-1}\end{cases}\\\frac4{q-1}(1+q^2)=\frac{8q}{q-1}-8\\\frac{4+4q^2}{q-1}=\frac{8q-8q+8}{q-1}\\4+4q^2=8\\q^2=1\\q_1=-1,\\q_2=1\;-\;He\;nogx. $$
Второй корень не подходит, т. к. в таком случае не выполняются условия задачи.
$$ \begin{cases}q=-1\\b_1=-2\end{cases}\\b_6=b_1q^5=(-2)\cdot(-1)^5=-2 $$
Среднее арифметическое первого и третьего членов некоторой геометрической прогрессии на 4 больше второго члена этой прогрессии. Разность между вторым и первым сленом прогрессии равна 4. Найти шестой член прорессии
Решение: 1) (b1 + b3)/2 = b2+4
2) b2 - b1 =4 bn=b1*q^(n-1) b2=b1*q b3=b1*q²
3) из 1) (b1+b1*q²)/2 =q*b1+4 или b1*( 1+q² - 2*q)=8
4) из 2) q*b1-b1 =4 -> b1=4/(q-1)
5) Подставляем из 4) b1 в 3) :
(4/(q-1)) * (1+q² - 2*q) =8, преобразуем и получаем уравнение:
6) q² - 4q +3= 0, решением этого уравнения являются q1=3 и q2=1(не удовлетворяет условию задачи)
Итак, q=3. Из 4) b1=4/2=2 b2=q*b1=6 b3=q² *b1=18
Подставляем в 1) и 2) (2+18)/2=6+4 - верно 6-2 = 4 - верно
7) q6 = (q^5)*b1=3^5 * 2 =243*2=486 - ответ
В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 6 а разность между первым и третьим членами равна 3. Найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии.
Решение: Исходя из условия, получим систему уравнений$$ \left \{ {{b_1+b_1q=6} \atop {b_1-b_1q^2=3}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {b_1(1-q^2)=3}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {b_1(1-q)(1+q)=3}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {6(1-q)=3}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1(1+q)=6} \atop {1-q=0.5}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1=4} \atop {q=0.5}} \right. $$
Находим сумму
$$ s_6=\frac{b_1(1-q^6}{1-q})=\frac{4(1-\frac{1}{64})}{1-0.5}=\frac{4(1-\frac{1}{64})}{0.5}= $$
$$ =8(1-\frac{1}{64})=8-\frac{1}{8}=7\frac{7}{8} $$
