прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 12

  • В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 6, а разность между первым и третьим членами равна. Найти сумму первых шести членов прогрессии.


    Решение: B1*q^n-1=b1 При n=1
    B1*q^n-1=b1q pri n=2
    B1*q^n-1=b1q^2 pri n=3 
    $$ \left \{ {{b1+b1q=6} \atop {b1-b1q^2=3}} \right. $$
    $$ \left \{ {{b1=6-b1q} \atop {b1=3-b1q^2}} \right. $$
    6-b1q=3-b1q^2=b1
    $$ \left \{ {{6=b1q} \atop {3=b1q^2}} \right. $$
    $$ \left \{ {{6=b1q} \atop {6=2b1q^2}} \right. $$
    $$ b1q=2b1q^2 $$ | :b1 q=2q^2 | :q
    1=2q
    q=0.5

    b1+b2=6

    b1+b1*q=6

    b1-b3=3

    b1-b1q²=3

    b1(1+q)=6

    b1(1-q²)=3  разделим первое на второе

    (1+q)/(1-q)(1+q)=2

    1/(1-q)=2⇒1=2(1-q)⇒⇒1=2-2q⇒q=1/2

    b1(1+0,5)=6

    b1*1,5=6

    b1=4

    4; 2;1; 1/2; 1/4; 1/8.

    4+2+1+1/2+1/4+1/8=7+7/8=7целых7/8 можно по формуле но так проще

  • Разность арифметической прогрессии третьего и первого члена равна 6? а их произведение равно 27 найти первый член арифметической прогрессии и их разность. Как я понял чтобы здесь решить задачу надо было решить систему уравнений
    а3-а1=6
    а3*а1=27


    Решение: {a₃-a₁=6
    {a₃*a₁=27
    a₃-a₁=6
    a₁+2d-a₁=6
    2d=6
    d=3 - разность арифметической прогрессии
    a₃=a₁+2d=a₁+2*3=a₁+6
    a₃*a₁=27
    (a₁+6)*a₁=27
    a₁²+6a₁-27=0
    По теореме Виета, (a₁)₁=3, (a₁)₂=-9
    (Получаем две прогрессии, удовлетворяющие
    заявленным условиям: 3; 6; 9;. и -9; -6; -3;.)
    Ответ: a₁=3 или a₁=-9, d=3

  • №1 Является ли число 384 членом геометрической прогрессии bn= 3*2(в n степени)? №2Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а седьмой её член на 12 больше третьего. Нужно найти разность и первый член данной прогрессии


    Решение: 1) подставим в формулу число bn=384 bn= 3*2(в n степени)

      384=3*2^n

      128=2^n

      128=2^7 следовательно n=7 

    т. к. n - целое число, то число 384 является членом прогрессии

    2) a2+a4=14

      a7-a3=12

     представим а2, а3, а4, а7 через а1 и d через формулу н-ого члена арифм. прогрессии: a2=a1+d a4=a1+3d a7=a1+6d a3=a1+2d 

    подставим в уравнения, получаем:

    а1+d+a1+3d=14

    a1+6d-a1-2d=12   следовательно  4d=12 d=3 

    подставим d в ппервое и получаем:

    a1+3+a1+9=14

    2a1=2

    a1=1 

    x^2-3y=9

    x=3-y

    (3-y)^2=9

    x=3-y

    9-6y+y^2=9

    x=3-y

    y(6+y)=0

    x=3-y

    y=0, y=-6

    x=3-0, x=3+6

    y=0, y=-6

    x=3, x=9 

  • Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 357, а третий член прогрессии на 255 больше первого. Найти разность между первым и вторым членами прогрессии.


    Решение: B1 + b1q + b1q^2 = 357
    b1q^2 - b1 = 255
    Вычитаем из первого условия второе, тогда получается система:
    b1q^2 - b1 = 255
    b1q + 2b1 = 102
    Выражаем b из второго уравнения, потом подставляем его в первое, получим квадратное уравнение.
    Решив его получим два решения:
    b1 = 17, q = 4
    b1 = 204, q = -3/2
    В первом случае разница между первым и вторым членами прогрессии равна
    17 * 4 - 17 = 51
    Во втором случае 204*(-3/2) - 204 = -510

  • Разность между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии равна 18, а между пятым и третьим членами равна 36. Найти сумму первых девяти членов.


    Решение: По условию задачи:
    b4-b2=18; b5-b3=36.
    Выразим всё через b2:
    $$ b_{2} q^{2} - b_{2}=18; b_{2} q^{3}- b_{2} q=36 $$

    Получилась система уравнений:$$ {{b_{2} q^{2} - b_{2}=18} \atop {b_{2} q^{3}- b_{2} q=36}} \left \{ {{b_{2} (q^{2}-1)=18} \atop {b_{2} q(q^{2}-1)=36}} \right. $$

    Разделим второе на первое, получим: q=2 подставим в первое уравнение: b2*4-b2=18; 3b2=18; b2=6. Найдём b1:b2=b1q; 6=b1*2; b1=3

    Найдём сумму первых девяти членов по формуле:$$ S_{n} = \frac{b_{1}(q^n-1) }{q-1} ; S_{9} = \frac{3*(2^9-1)}{2-1} ; S_{9} = \frac{3*(512-1)}{1} ; S_{9} =1533 $$

<< < 101112 13 14 > >>