прогрессия »

найти первый член и разность прогрессии - страница 13

  • разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между третьим и первым равна 9. Найти сумму 8 членов этой прогрессии.


    Решение: b6-b4=b1*q^5-b1*q^3 = b1*q^3(q^2-1)=72

    b3-b1=b1*q^2-b1=b1(q^2-1)=9

    Подставим второе в первое

    b1*(q^2-1)q^3= 9*q^3 = 72

    q^3 = 72/9 = 8

    q = 2

    b1(q^2-1) = b1(4-1)=9

    b1 = 9/3 = 3

    S = b1*(q^n-1)/(q-1)=b1(q^8-1)/(q-1)=3(2^8-1)/1=3*(256-1)=765

    Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

    Sn = b₁·(q^n - 1)/(q - 1)

    Для 8 членов геометрической прогрессии

    S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)

    Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

    bn = b₁·q^(n-1)

    n = 6    b₆ = b₁·q⁵

    n = 4 b₄ = b₁·q³

    n = 3 b₃ = b₁·q²

    По условию:

    b₆ -  b₄  = 72

    b₃ -  b₁  = 9

    или

    b₁·q⁵ -  b₁·q³  = 72   

    b₁·q² - b₁ = 9           

    Преобразуем эти выражения

    b₁·q³·(q² - 1) = 72     (1)

    b₁·(q² - 1) = 9            (2)

    Разделим (1) на (2) и получим

    q³ = 8, откуда

    q = 2

    Из (2) найдём b₁

    b₁ = 9/(q² - 1) = 9/(4 - 1) = 3

    Подставим q = 2 и b₁ = 3 в S₈ = b₁·(q⁸ - 1)/(q - 1)

    S₈ = 3·(2⁸ - 1)/(2 - 1) = 3·(256 - 1) = 765

    Ответ: S₈ = 765

  • Сумма 5-го и 12-го членов геометрической прогрессии равна 24. А произведение 7-го и 10-го равно 119. Найти разность 12-го и 5-го членов.


    Решение: b5+b12 = 24

    b7*b10 =119

    b7*b10 = (b5*q^2)*b10 =b5*(b10*q^2)=b5*b12 =119

     система двух уравнений

    b5+b12 = 24 домножим на b12 ; b5*b12+b12^2 = 24*b12 ; 

    b5*b12 =119

    b5*b12+b12^2 = 24*b12  (1) вычтем (2) из (1)

    b5*b12 =119 (2)

    b12^2 = 24*b12 -119

    b12^2 - 24*b12 +119 =0 квадратное уравнение

    D = 100 ; √D =10

    b12= (24-10 )/2 = 7 ; b5=24-b12=24-7=17 ; b12 - b5 = 7 -17 = -10

    или

    b12=(24+10 )/2 = 17; b5=24-b12=24-17=7 ; b12 - b5 = 17 -7 = 10

    Ответ :   -10  или 10

  • Известны два члена арифметической прогрессии (аn): с5=8,2 и с10=4,7: а) найдите первый член и разность этой прогрессии; б) укажите число положительных членов прогрессии.


    Решение: ...

  • Найти разность арифметической прогрессии в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого является наименьшим из возможных


    Решение: По формуле n-ного члена арифметической прогрессии:

    а2=а1+d; a12=a1+11d. Составим произведение а1*а12=(а1+d)*(a1+11d)=a1^2+12*a1*d+d^2=(a1+6*d)^2-25*d. Данное выражение принимает наименьшее значение, если а1+6d=0, т. е. d=-11

    Ответ: d=-11

    a1=66

    a2*a12=(a1+d)(a1+11d)=a1^2+12a1d+d^2

    a1^2+12a1d+d^2=66^2+12*66*d+d^2=4356+792d+11d^2

    f(d)=4356+792d+11d^2

    f`(d)=792+22d

    f`(d)=0 при 792+22d=0

                      22d=-792

                      d=-36 -наменьшая разность

              

  • 1. дана ариф. прогрессия Сn В КОТОРОЙ

    а) найдите первый член и разность прогрессии

    б) найдите сумму первых 8 членов прогрессии

    2. АРИФ ПРОГРЕССИЯ задана формулой xn=5n-47

    а) найдите сумму первых 10 членов прогрессии.

    Б) сколько в данов прогрессии отрицательных членов


    Решение: 1) В которой что? Где условия?

    2) $$ \\x_n=5n-47\\x_1=5\cdot1-47=-42\\x_2=5\cdot2-47=-37\\\ldots\\d=x_2-x_1=-37-(-42)=-37+42=5\\S_{10}=\frac{2x_1+d(10-1)}2\cdot10=\frac{-84+5\cdot9}2\cdot10=-39\cdot5=-195 $$

    Члены прогрессии будут отрицательными до дех пор, пока не станет верно неравенство 5n-47>0 => 5n>47 => n>9,4. n должно быть целым, т. е. первые 9 членов прогрессии отрицательны, остальные, начиная с десятого, положительны

<< < 111213 14 15 > >>