прогрессия »
найти первый член и разность прогрессии - страница 10
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если
а9+а7=70
а5-а2=15
Решение: $$ a_n=a_1+d(n-1);\\ a_1-\ \ \ d-\\ \left \{ {{a_9+a_7=70;} \atop {a_5-a_2=15;}} \right.==> \left \{ {{a_1+(9-1)d+a_1+(7-1)d=70} \atop {a_1+(5-1)d-a_1-(2-1)d=15}} \right.\\==> \left \{ {{2a_1+8d+6d=70;} \atop {4d-d=15;}} \right. \\ ==> \left \{ {{2a_1+14d=70} \atop {3d=15}} \right.==>\\ \left \{ {{a_1=35-7d} \atop {d=5}} \right. ==> \left \{ {{a_1=35-35} \atop {d=5}} \right.\\==> \left \{ {{a_1=0;} \atop {d=5}} \right. $$
проверим
a9=a1+(9-1)d=0+8*5=40;
a7=a1+(7-1)d=0+0,6*5=30; ==>a9+a7=40+30=70;
a5=a1+(5-1)d=0+4*5=20;
a2=a1+(2-1)d=0+1*5=5;==>a5-a2=20-5=15
действительно, первый элемент прогрессии =0, а разница =5
Три ребра и диагональ прямоугольного параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Найти объѐм прямоугольного параллелепипеда.
Решение: Три ребра a, b, с и диагональ m образуют прогрессию с разностью d.
b = a + d, с = a + 2d, m = a + 3d.
По теореме Пифагора
m^2 = a^2 + b^2 + c^2
(a + 3d)^2 = a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2
a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + a^2 + 2ad + d^2 + a^2 + 4ad + 4d^2
9d^2 = 2a^2 + 5d^2
4d^2 = 2a^2
2d^2 = a^2
a = d*V(2)
Объем параллелепипеда
V = abc = a*(a + d)*(a + 2d) = d*V(2)*(d*V(2) + d)*(d*V(2) + 2d)
V = d^3*V(2)*(V(2) + 1)*(V(2) + 2)
Обозначим стороны параллелепипеда как a, (a+d), (a+2d).
Диагональ (a+3d).
Диагональ равна √((a²) + (a+d)² + (a+2d)²).
После раскрытия скобок и приведения подобных, получим
(a+3d) = √(3а² + 6ad + 6d²).
Возведем обе части в квадрат:
а² + 6ad + 9d² = 3а² + 6ad + 6d²
2а² = 3d² d = а√(2/3).
Объём равен V = a* (a+d)* (a+2d) = а² + 3a²d + 2аd².
Подставив вместо d его значение, получим
V = a³(7 + 3√6).Числа а, b, с составляют арифметическую прогрессию с разностью d=4 Найти числа а, b, с, если а, b, с+8 последовательные
члены геометрическом прогрессии.
Решение: (an) a;b;c d=4
b=a+4
c=b+4=a+4+4=a+8
(an) a; a+4; a+8
(bn)a;b;c+8 c+8=a+8+8=a+16
(bn)a;a+4;a+16
q=(a+4)/a
a+16=aq²
a+16=a((a+4)/a)²
a+16=a(a+4)²/a²
a+16=(a+4)²/a | a≠0
a(a+16)=(a+4)²
a²+16a=a²+8a+16
16a-8a=16
8a=16
a=2
a+4=2+4=6
a+16=2+16=18
(bn) 2; 6; 18Найти 7-й член арифметической прогрессии, где первый = 8, а разность = 0.5
Решение: Вычисляем по формуле СЛЕДУЮЩЕГО члена АРИФМЕТИЧЕСКОЙ прогрессии
A(n+1) = A(n)+ d
В нашем случае A(1)=8 и d= 0.5.
Можно было бы считать так - 8, 8,5, 9, 9,5, 10, 10,5, 11.
Но это долго. и не красиво
Можно сразу сосчитать А(7) = А(1) +(7-1)*0,5 = 8+3 = 11.
Прибавили за один раз все 6 промежутков между А(7) и А(1).
Получилась новая формула
A(n) = A(1) + (n-1*d. промежутков на один меньше, чем чисел.
Ответ: А(7)=11.
An=6n-4, ее разность уменьшили в 2 раза, а первый член оставили без изменений. Найти сумму получившейся прогрессии с 3 по 25 включительно ( арифметическая прогрессия).
Решение: An = 6n - 4а₁ = 6 - 4 = 2 - первый член
а₂ = 6*2 - 4 = 12 - 4 = 8
d = a₂ - a₁ = 8 - 2 = 6
разность уменьшили в 2 раза => d = 6:2 = 3, а₁= 2 (тот же)
Sn = ( 2а₁ + d(n - 1) )/2 * n
S₃ ₋ ₂₅ = S₂₅ - S₂ = ( 2а₁ + d(25 - 1) )/2 * 25 - ( 2а₁ + d(2 - 1) )/2 * 2 =
= ( 2а₁ + 24d)/2 * 25 - ( 2а₁ + d )/2 * 2 = (а₁ + 12d) * 25 - ( 2а₁ + d ) =
= (2 + 12*3) * 25 - ( 2*2 + 3 ) = 38 * 25 - 7 = 943
Ответ: 943
Вычислите сумму корней уравнения: (см вложение)
2) Найти разность ар-й прогресси, если a15 =21 и S14=84
-
3) Мальчик и девочка шагами измеряли одно и то же расстояние в 1152 м. Сколько раз их следы совпали если шаг парня 72см, а шаг девушки 64 см?
Решение: Вычислите сумму корней уравнения:
x*корень(3)/(2*корень(3)-х) = x*2/(5-корень(3)*х)
x*корень(3)/(2*корень(3)-х) - x*2/(5-корень(3)*х) = 0
x*(корень(3)/(2*корень(3)-х) - 2/(5-корень(3)*х)) = 0
x1=0 или корень(3)/(2*корень(3)-х) - 2/(5-корень(3)*х) = 0
корень(3)/(2*корень(3)-х) - 2/(5-корень(3)*х) = 0
{корень(3)(5-корень(3)*х) -2(2*корень(3)-х) }/ {(2*корень(3)-х) * (5-корень(3)*х)} = 0
корень(3)(5-корень(3)*х) -2(2*корень(3)-х) = 0
корень(3)*5-3*х - 4*корень(3)+2х = 0
x2=корень(3)
x1+x2=корень(3)
ответ корень(3)
2) Найти разность ар-й прогресси, если a15 =21 и S14=84
S14=a1+a2+.+a14 = (a15-14*d) + (a15-13*d) +.( a15-1*d) = 14*a15-(1+14)*14/2*d= 14*a15-105*d
d =( 14*a15 - S14)/105 = ( 14*21 - 84)/105 = 2 - это ответ
-
3) Мальчик и девочка шагами измеряли одно и то же расстояние в 1152 м.
Сколько раз их следы совпали если шаг парня 72см, а шаг девушки 64 см?
HOK(72;64)=HOK(9*8;8*8)=9*8*8
N=1152 / (9*8*8) + 1 = 3 - это ответ (следы совпали 3 раза включая стартовое положение )
Сумма первых 12арифметической прогресси равна 354ю отношение суммы членов, стоящих на черных местах среди первых 12, к сумме членов, стоящих на нечетных местах среди 12, равна32:27. найти разность этой погрессии
Решение: $$ S_{12}=\frac{2a_1+11d}{2}\cdot 12=354\\2a_1+11d=59 $$
По условию
$$ \frac{a_2+a_4+.+a_{12}}{a_1+a_3+.+A_{11}}=\frac{32}{27},\\a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=(a_1+d)+(a_!+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+\\+(a_1+9d)+(a_1+11d)=6a_1+36d=6(a_1+6d),\\a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+a_{11}=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+\\+(a_1+6d)+(a_1+8d)+(a_1+10d)=6a_1+30d=6(a_1+5d)\\\frac{32}{27}=\frac{6(a_1+6d)}{6(a_1+5d)}\\32(a_1+5d)=27(a_1+6d)\\5a_1-2d=0\\ \left \{ {{5a_1=2d} \atop {2a_1+11d=59}} \right. \\a_1=\frac{2d}{5}\\2\cdot\frac{2d}{5}+11d=59\\\frac{4d+55d}{5}=59, 59d=5\cdot 59, d=5 $$Найти первый член и разность арифметической прогрессии (bn) если b16= - 37 и b6= -7
Решение: Воспользуемся формулами n-го члена ар. прогрессии и составим и решим систему.аn=а1+d(n-1)
b16=b1+15d
b6=b1+5d
b1+15d=-37
b1+5d=-7
Решим систему способом сложения, для этого второе уравнение системы умножим на -1, получим:
b1+15d=-37
-b1-5d=7
10d = -30
d=-30:10
d=-3
b1+5d=-7
b1+5(-3) = -7
b1-15=-7
b1=-7+15
b1=8
ответ: b1=8; d=-3
Найти 6 член и разность арифметической прогрессии, если a5+a7=54
ещё a2= 39
Решение: 1) a5 = 2*5 - 5² = 10 - 25 = -15 (ответ 1) )
2) а6 = 2 + (6 - 1)*(-3) = 2 - 15 = -13 (ответ 3) )
3) d = a6 - a2 / 4 = 14-4 /2 = 2,5 (ответ 1) )
4) S10 = ( 2*2 + 9*4) / 2 * 10 = 200 (ответ 4) )
Повыш. уровень.
1) Прогрессия убывающая, с разностью d= - 0,2
Первый член равен 3,
посчитаем, каким по счету будет член, равный нулю. Обозначим его аn, аn=0.
3 : 0,2 = 15,
тогда по формуле аn = а1 + (n - 1)*d найдем n:
0 = 3 + 15*(- 0,2)
0 = 3 + (16 - 1)*(- 0,2)
значит а16 равен нулю, значит в последовательности 15 положительных членов.
2) а3 = 10 => 10 = a1 + 2d
а7 = 10 => 40 = a1 + 6d получили систему.
Из второго вычтем первое уравнение, получим:
30 = 4d => d = 7,5
a1 = 10 - 2d = 10 - 15 = -5
Тогда а5= a1 + 4d = -5 + 4*7,5 = 25
3) Если рассматривать множество натуральных чисел как арифм. прогрессию с первым членом a1 = 1 и разностью d = 1, то задача сводится к нахождению разности S100 - S39,
S100 = (1+100) /2 * 100 = 5050
S39 = (1+39) /2 * 39 = 780
S100 - S39 = 5050 - 780 = 4270
4) d = а8 - а4 / 4 = 20 - 8 /4 = 12/4 = 3
Тогда по формуле аn = а1 + (n - 1)*d найдем чему равен первый член:
а4 = а1 + (4 - 1)*d
8 = а1 + 3*3
а1 = -1
Тогда 16-й член будет равен: а16 = а1 + (16 - 1)*d = -1 + 15*3 = 44
Т. о. действительно такая ар. прогрессия существует и формула общего члена такая: аn = -1 + 3(n - 1) = -1 + 3n - 3 = 3n - 4
аn = 3n - 4
5) аn = 3n - 1
а1 = 3 - 1 = 2
а2 = 6 - 1 = 5
d = а2 - а1 = 5-2 = 3
S = S54 - S13 = 4401 - 260 = 4141
S54 = (2*2 + 53*3) /2 * 54 = (4 + 159) /2 * 54 = 163 * 54 /2 = 4401
S13 = (2*2 + 12*3) /2 * 13 = (4 + 36) /2 * 13 = 20 * 13 = 260
Ответ: сумма членов прогрессии с 14 по 54 включительно равна 4141.
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если а6=5 а 21=17
Решение: 17=а1+20д
5=а1+5д - система (вычитание)
12=15д
отсюда д=15\12=5\4
подставляем в любое ур-ие
а1+25/4=5
а1=(-5/4)
А6=5=А1+5d
А21=17=А1+20d
A1=5-5d
5-5d+20d=17
15d= 12(:15)
d=0.8
A1=5-5d=5-5*(0.8)=5-4=1
