найти первый член и разность прогрессии - страница 3
Первый член арифметической прогрессии равен a₁=-10, а ее разность d=3. Найти такое наименьшее n, что сумма первых n членов этой прогрессии Sn≥0.
Решение: Решение:a[1]=-10, d=3Общий член арифметической прогрессии равен:
a[n]=a[1]+(n-1)*d
a[n]=-10+3*(n-1)=3n-3-10=3n-13
Сумма первых n членоварифметической прогрессии равна
S[n]=(a[1]+a[n])\2 *n
S[n]=(-10+3n-13)\2* n=(3n-23)n\2
S[n]>=0
(3n-23)n\2>=0
n=0
3n-23=0 n=23\3
__+_____0___-____23\3__+__________
левая часть неравенства по свойствам квадратической функции положитнльна для вещественных n<=0 или n>=23\3
учитывая, что n - натуральное, окончательно получим что сумма первых членов больше 0, начиная с номера n=8
(7=21\3<23\3<24\3=8)
Ответ: n=8
Четырнадцатый член арифметической прогрессии равен 2.9 а десятый равен 0.5. найдите первый член и разность
Решение: an= a1+d(n−1)a14= a1+13d a10=a1+9d решаем системой, вычитанием
a1+13d=2.9
a1+ 9d =0.5
0 + 4d =2.4
d = 0.6
a1=0.5-9 *0.6= -4.9
an= a1+d(n−1)
a14= a1+13d a10=a1+9d решаем системой, вычитанием
a1+13d=2.9
a1+ 9d =0.5
0 + 4d =2.4
d = 0.6
a1=0.5-9 *0.6= -4.9
Первый член арифметической прогрессии равен - 7/3, разность прогрессии равна 1/4. Без помощи калькулятора найти член прогрессии, ближайший 35/6. Найти номер этого члена прогрессии.
Решение: n-й член прогрессии -14/6+1/4*(n-1)49/6=(n-1)/4
n-1=49*4/6
n=98/3+1=33
R=35/6-(-14/6+32/4)=49/6-32/4=(98-96)/12=1/6
49/6-33/4=(98-99)/12=1/12
34-член прогрессии ближайший к 35/6
Найдём n-й член прогрессии:
-14/6+1/4*(n-1)
49/6=(n-1)/4
n-1=49*4/6
n=98/3+1=33
35/6-(-14/6+32/4)=(98-96)/12=1/6
49/6-33/4=(98-99)/12=1/12
34-номер этого члена
1. Последовательность (c^n) - арифметическая прогрессия. Найти: а) с^15, если c1 = -8, d = 2
б) d, если с1 = 6, c^18=14,5
в) c1, с42 = -20
2. Является ли число 214 членом арифметической прогрессии 6;14;22;. в случаи положительного ответа указать его номер
3)Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна -2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, что бы их сумма была равна -264?
Решение: 1)
1.
а) По формуле с15 = с1 + d(15 - 1) => с15 = - 8 + 2 * 14 = - 8 + 28 = 20
б) По формуле с18 = с1 + d(18 - 1) = > d = (c185 - c1)/17 = (14.5 - 6)/17 = 0,5
в) По формуле c42 = c1 + d(42 - 1) => c1 = c42 - 41d = - 20 - 41d
2)(аn)- арифметическая прогрессия, а1 = 6; а2 = 14 => d = a2 - a1 = 14 - 6 = 8
По формуле аn = a1 + d(n - 1), предположим, что число 214 является членом прогрессии, значит удовлетворяет нашему выражению
214 = 6 + 8(n - 1)
214 = 6 + 8n - 8
8n = 214 + 2
8n = 216
n = 216 : 8
n = 27
a27 = 214.
3) Sn = ((a1 + an)/2 )/n = (a1 + a1 + d(n - 1))/2 )* n = (2a1 - d(n - 1))/2)*n
-264 = (2*12 - 2(n - 1))/2)*n
12 - (n - 1) = - 261
12 - n + 1 = - 261
- n = - 261 - 13
- n = - 274
b = 274
Нужно взять 274 члена прогрессии, чтобы их сумма была равна - 261
В арифметической прогрессии второй член равен 5, а сумма 20 первых членов равна 1460. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
Решение: а2 = а1 + da1 = a2 - d
a1 = 5-d
S20 = (a1+a20)*20/2 = 1460
(a1+a20)*10 = 1460
a1+a20 = 146
a1 + a1+ 19d = 146
2a1 + 19d = 146
2(5-d) + 19d = 146
10 - 2d + 19d = 146
17d = 136
d = 136/17 = 8
a1 = 5-d
a1 = 5-8
a1 = -3
$$ a_{2}=a_{1}+d(n-1)\\5=a_{1}+d(2-1) $$
$$ 5=a_{1}+d a_{1}=5-d\\S_{20}=((2a_{1}+d(n-1))/2)*n $$
$$ 1460=((2a_{1}+19d)/2)*20\\1460=(2a_{1}+19d)*10 $$
$$ 1460=20a_{1}+190d\\146=10a_{1}+19d\\146=10(5-d)+19d $$
$$ 146=50-10d+19d\\146=50+9d\\9d=96\\d=96/9=32/3=10\frac{2}{3}\\a_{1}=5-10\frac{2}\\{3}=-5\frac{2}{3} $$
Ответ:$$ d=10\frac{2}{3} a_{1}=-5\frac{2}{3} $$
