найти первый член и разность прогрессии - страница 3
1) Найти десятый член прогрессии, если первый ее член равен 1, а разность d=4
2) Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией?
3)Найти а1, если d=2; а10=0?
Решение: 1)
a_1 = 1
d = 4
===========
a_10 -
a_n = a_1 + d(n-1)
a_10 = a_1 + 9*d
a_10 = 1 + 9 * 4 = 1 + 36 = 37
2)
Дана чётная последовательность: 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Видно, что чётные числа изменяются на каждое определённое число, а именно 2. Это и есть разность арифметической прогрессии. Значит последовательность чётных чисел является арифметической последовательностью. Таким образом мы можем найти любой член чётной арифметической прогрессии. Например 20
a_20 = a_1 + 19d
a_20 = 2 + 19 * 2 = 2 * (1+19) = 2 * 20 = 40
3)
a_10 = 0
d=2
=============
a_1 -
a_10 = a_1 + 19d
a_1 = a_10 - 19d
a_1 = 0 - 19 * 2 = - 38
1. По заданной формуле п-ого члена последовательности, где аn= n^3-2,
вычислить а1, а2, а5.
2. Вычислить 4 первых члена последовательности, заданной рекуррентно: у1 =3,
у =1/y(n-1)
3. Дана арифметическая прогрессия 25; 30; ….
а) Укажите ее разность
б) Запишите формулу n-ого члена
4. Найдите восьмой член геометрической прогрессии 27; -9; 3;…
5. Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии
16,8; 16,5; 16,2;….
6 Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии с положительными членами, если известно, что в2 = 1/16 и в4 =1
7. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 5, но не делящихся на 7.
Решение: 1/ an=n³-2 a1 = 1-2=-1 a2 =2³-2=6 a5=5³-2=123
2/ y1=3 y=1/y(n-1) y2=1/3 y3=1/1/3=3 y4=1/3
3/ 25 30 35. d=5 an=25+5(n-1)
4/ 27,9, 3 q=-9/27= -1/3 b8=27*(-1/3)⁷
5/ 16.8,16.5, 16.2 a1=16.8 d=16.5-16.8 = -0.3
16.8-0.3(n-1)<0 0.3n-0.3>16.8 0.3n>17.1 n>57 начиная с номера 58
6/ b2=1/16 b4=1 b1*q=1/16 b1*q³=1 b1q³/b1q=q²=16
q=4 b1=1/q³ b1=1/64 b6=4⁵/4⁴=4
s6=(b6*q-b1)/(q-1) s6=(4*4-1/64)/3=5 21/64
б7/ на 5 делятся 100, 105, 115, 120,125,130,135
a1=100 d=5 an=100+5(n-1)<1000 n-1<900/5=180 n<181 n=180
a180=100+5*179=995 s0=(100+995)*180/2=98550
на 7 ДЕЛЯТСЯ 105=7*15, 140=7*20, 175=7*25, 210=7*30.
105,140,175, 210. a1=105 d=35
an=105+35(n-1)<1000 n-1<25.5 n=26 a26=105+35*25=980
(a1+an)n/2 =s=(105+980)*26/2=14105
искомая сумма 98550 -14105 =84445
1. дана арифметическая прогрессия
-25;-22
а) составьте формулу n-го члена прогресси
б)найдите 21-ый член прогрессии
2. дана арифметическая прогрессия (Cn) в которой
C2 =18, C3= 14
а) найдите первый член и разность прогрессии
б) найдите сумму первых 8 членов прогрессии
Решение: 2.a)c3=c2+dd=c3-c2=14-18=-4
d=-4
d=c2-c1
-4=18-c1
-c1=-4-18=-22
-c1=-22
c1=22
c1=22 d=-4
Sn=((2c1+d(n-1))/2)*n
S8=((2*22-4(8-1))/2)*8=((44-28)/2)*8=(16/2)*8=8*8=64
S8=64
1. Б)d=a2-a1
d=-22-(-25)=3
d=3
a21=a1+20d
a21=-25+20*3=-25+60=35
a21=35
1.a) Sn=(a1+an)*n /2
Sn=(2a1+d(n-1)*n ) /2
b) d=3
A21=A1+d (n-1)=35
2. a) a1=a2-d
d=a3-a2=14-18=-4
a1=18-(-4) = 18+4= 24
b)S=32
Сумма первого, второго и третьего членов арифметической прогрессии равна 3. Сумма второго, третьего и пятого членов равна 11. Найдите первый член и разность этой прогрессии. Помогите товарищиии))
Решение: А₁+а₂+а₃=3
а₂+а₃+а₅=11 3а₁+7д=11
а₁+а₁+д+а₁+2д=3 3(а₁+д)=3 а₁+д=1
ς 3а₁+7д=11 а₁=1-д а₁=1-д а₁=1-2 а₁=-1 - первый член прогрессии
- ο
ζа₁+д=1 1-д+3д=5 2д=4 | : 2 д=2 д=2 - разность
_________________
2а₁+6д=10
2(а₁+3д)=10 | : 2
а₁+зд=5 ответ.Сумма первого второго и третьего члена арифметической прогрессии равна 3 сумма второго третьего и пятого членов равна 11 найти первый член и разность этой прогрессии
Решение: Сумма первого второго и третьего члена арифметической прогрессии равна 3 сумма второго третьего и пятого членов равна 11 найти первый член и разность этойпрогрессии
a1+a2+a3=3 ⇒ a1+a1+d+a1+2d=3 ⇒ 3a1+3d=3
a2+a3+a5=11 a1+d+a1+2d+a1+4d=11 3a1+7d=11⇒
a1+d=1
4d=8 ⇒d=2 a1=1-2=-1
·
В монотонно возрастающей арифметической прогрессии сумма квадратов пятнадцатого и девятнадцатого членов равна 37, а их сумма равна 6. Найти разность арифметической прогрессии.
Решение: $$ a=(a_{1}.a_{n}) $$ - арифметическая прогрессия
d>0 - разность арифметической прогрессии
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{19})^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{19}=6}} \right. $$
$$ a_{19}=a_{15}+4d $$ - подставим в систему
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15}+4d)^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{15}+4d=6}} \right. $$
$$ \left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15})^{2}+2*a_{15}*4d+16d^{2}=37} \atop {2a_{15}+4d=6}} \right. $$
$$ \left \{ {{2(a_{15})^{2}+8d*a_{15}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{2*(3-2d)^{2}+8d*(3-2d)+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{2*(9-12d+4d^{2})+24d-16d^{2}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{18+8d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{8d^{2}=37-18} \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{d^{2}= \frac{19}{8} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
$$ \left \{ {{d= \frac{ \sqrt{38}}{4} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right. $$
Ответ: $$ d= \frac{ \sqrt{38}}{4} $$
В арифметической прогрессии 12 членов. Их сумма равна 354. Сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с нечетными номарами как 32:27. Найти разность прогрессии.
Решение: S(n) = (2*a1+(n-1)*d)/(2)S(12) = (2*a1 + 11*d)/(2)
S(12) = 354
2*a1 + 11*d = 708 (уравнение 1)
a(n) = a1 + (n-1)*d
S(чет) = a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12
S(чет) = 6*a1 + (1+3+5+7+9+11)*d
S(чет) = 6*a1 + 36*d
S(нечет) = a1 + a3 + a5 + a7 + a9 + a11
S(нечет) = 6*a1 + (0+2+4+6+8+10)*d
S(нечет) = 6*a1 + 30*d
(6*a1 + 30*d)*27 = (6*a1 + 36*d)*32
162*a1 + 810*d = 192*a1 + 1152*d
30*a1 + 342*d = 0 (уравнение 2)
составим систему уравнений 1 и 2
2*a1 + 11*d - 708 = 0
30*a1 + 342*d = 0
решим эту систему
a1 = 684,d = -60
Ответ: d = -60
разность арифметической прогрессии равна 6 а сумма ее первых 10 членов равно 340. найти первый и десятый ее члены.
Решение: S10=2a1+9d_________*2=(2a1+9d)*5=(2a1+9*6)*5=240
2 10a1+270=340
10a1=340-270
10a1=70
a1=7
a10=a1+9d
a10=7+9*6
a10=7+54
a10=61
Сумма первых 4 членов арифметической прогрессии равна 9, а сумма первых 6 членов равна 22,5. Найти разность прогрессии.
Решение: S4=9
S6=22,5
d=?
Распишем сумму первых 4 и 6 членов, есть две формулы
(Sn=(a1+an)*n/2 или Sn=(2*a1+d(n-1))*n/2)
, так как я не знаю какую вы учили, я использую первую, а из неё выведу вторую, которая нам нужна:
S4=(a1+a4)*4/2=2*(a1+a4)
S6= (a1+a6)*6/2=3*(a1+a6)
Распишем по фыормулам а4 и а6:
а4=а1+3d
a6=a1+5d
Подставим в формулы суммы:
S4=2*(a1+a1+3d)=4a1+6d=9
S6=3*(a1+a1+5d)=6a1+15d=22,5
Получили систему, решаем её. Сократим второе уравнение на 3:
4a1+6d=9
2a1+5d=7,5
Домножим второе уравнение на 2:
4a1+6d=9
4a1+10d=15
От второго уравнения отнимем первое:
4d=6
d=6/4=3/2=1,5
Ответ: 1,51. Найти сумму 16 членов арифметической прогрессии, если при делении ее восьмого члега на второй в частном получается 4 и в остатке 3, а одиннадцатый ее член в 4 раза больше третьего
2. ПЕрвый член арифметической прогрессии в 3 раза больше ее разности, сумма членов прогрессии равна 99. Если число членов прогрессии увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 306. Найти первоначальное число членов прогрессии
3. В арифметической прогрессии сумма десятого и двенадцатого членов равна 6. Найти сумму третьего, тринадцатого и семнадцатого членов этой прогрессии.
Решение: 1. $$ a_8=4a_2+3; a_{11}=4a_3;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+7d=4(a_1+d)+3;\\ a_1+10d=4(a_1+2d);\\ a_1+7d=4a_1+4d+3;\\ a_1+10d=4a_1+8d;\\ -3a_1=-3d+3;\\ -3a_1=-2d;\\ -2d=-3d+3;\\ d=3;\\ -3a_1=-2*3;\\ a_1=2;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\\ S_{16}=\frac{2*2+(16-1)*3}{2}*16=392 $$$$ a_1=3d; S_n=99;\\ S_{2n}=306;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n=\frac{2*3d+(n-1)*d}{2}*n=\frac{n+5}{2}*dn=99;\\ S_{2n}=\frac{2*3d+(2n-1)*d}{2}*2n=\frac{2n+5}{2}*2nd=306;\\ 306:99=2(2n+5):(n+5);\\ 306(n+5)=2*99(2n+5);\\ 153(n+5)=99(2n+5);\\ 17(n+5)=11(2n+5);\\ 17n+85=22n+55;\\ -10n=-30;\\ n=3 $$
$$ a_{10}+a_{12}=6;\\ a_n=a_1+(n-1)*d;\\ a_1+9d+a_1+11d=6;\\ 2a_1+20d=6;\\ a_1+10d=3\\ a_3+a_{13}+a_{17}=a_1+2d+a_1+12d+a_1+16d=\\=3a_1+30d=3(a_1+10d)=3*3=9 $$
