прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии

  • Решите неравенство:10x в квадрате -7x+1<0
    Решить уравнение:x в 4 степени -xквадрат-12=0
    Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, в которой а1=-8, d=4


    Решение: 1)D=49-40=9
    x1=7+3/2*10=1/2
    x2=7-3/10*2=1/2
    (x-1/2)(X-1/5)<0
    X ПРИНАДЛЕЖИТ (1/5;1/2)
    2)Это биквадратное уравнение поэтому:
    пусть х² = t, тогда х в 4 степени = t²
    t² - t - 12= 0
    t1=-3 t2=4
    3)a10= -8 =9*4=28
    S10=-8+28/2 *10= 10/2*10= 50

    $$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n $$

  • 1.Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6;… Найдите номер члена этой прогрессии, равного -15,8. 2.Найдите сумму первых четырнадцати членоварифметической прогрессии, заданной формулой аn=5n-1 3.Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии. 4.Найдите четвертый член геометрической прогрессии: 8; -4... 5.Дана геометрическая прогрессия:8;-4... Найдите номер члена этой прогрессии, равного .1\32 6.Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой bn=2 в степени n-3


    Решение: 1) a1=8.2, a2=6.6
    d=a2-a1=6.6-8.2=-1.6

    -15.8=a1+(n-1)d
    -15.8=8.2+(n-1)*(-1.6)
    (n-1)*(-1.6)=-24
    n-1=15
    n=16

    2) a1=5-1=4, a2=10-1=9
    d=a2-a1=9-4=5
    a14=a1+13d=4+13*5=4+65=69

    S=(a1+a14)/2 *14=(a1+a14)*7=(4+69)*7=73*7=511

    3) a3=a1+2d=6 => 2a1+4d=12
    a5=a1+4d=10 

    2a1+4d-a1-4d=12-10
    a1=2

    4) b1=8, b2=-4
    q=b2/b1=-4/8=-0.5
    b4=b1*q^3=8*(-0,125)=-1

    5) b1=8, b2=-4
    q=b2/b1=-0.5

    1/32 = b1*q^(n-1)
    1/32 = 8 *(-0.5)^(n-1)
    (-0.5)^(n-1)=1/256
    n-1 = 8
    n = 9

    6) b1=2^(1-3)=2^-2=0.25
    b2=2^(2-3)=2^-1=0.5
    q=b2/b1=0.5/0.25=2

    S=b1 * (q^10-1)/(q-1) = 0.25 *(2^10-1)/(2-1) = 0.25* 1023 = 255.75

  • 1) знаменатель геометрической прогрессии равен -2, сумма ее первых пяти членов равна 5,5. найдите пятый член этой прогрессии.


    2) в арифметической прогрессии (An) a1=3,a60=57 найдите s60


    Решение: Сумма (n) первых членов геометрической прогрессии: S=b1*(q^n-1)/(q-1).

    Подставляем в формулу:

    S5=b1(q^5-1)/q-1

    Т. к. сумма равна 5.5, следовательно,

    5,5=b1(-2^5-1)/-3

    -16,5=-33b1, отсюда выражаем b1,

    b1=0,5

    Чтобы найти b5, подставляем в формулу bn=b1*q^4

    Получаем b5=b1*q^4

    b5=o,5*(-2)^4=0.5*16=8

    Ответ:b5=8

  • 1) Второй член арифметической прогрессии составляет 88% от первого. сколько процентов от первого члена составляет пятый член этой прогрессии?

    2)Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение суммы первых ее девяти членов к сумме следующих за ними девяти членов этой же прогрессии равно 512.


    Решение: 1) это, наверное, геометрическая прогрессиия.

    q = 0,88

    b₃ = b₁ * q² = 0,7744 b₁

    Ответ: 77,44 %

    2) Представим суму первых 9-ти и следующих 9-ти членов прогрессии.

    S₁₋₉ = b₁ + b₁q + b₁q² + b₁q³ + b₁q⁴ + b₁q⁵ + b₁q⁶+ b₁q⁷+b₁q⁸ =

    = b₁ (1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶+ q⁷+q⁸).

    S₁₀₋₁₈ = b₁q⁹ (1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶+ q⁷+q⁸).

    $$ \frac{b_{1} * (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5} + q^{6}+ q^{7}+q^{8})}{b_{1}q^{9} * (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5} + q^{6}+ q^{7}+q^{8})} = 512\\ \frac{1}{q^{9}} = 512 $$

    q = 0,5

  • Три числа образуют арифметическую прогрессию. если к первому числу прибавить 8, то получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. найдите знаменатель геометрической прогрессии


    Решение: пусть а, a+d, a+2d - три числа, образующие арифмитическую прогрессию, тогда

    a+8, a+d, a+2d - три числа образующие геометричесскую прогрессию

    отсюда и из условия имеем

    a+8+a+d+a+2d=26 (условие задачи - сумма членов геометричесской прогрессии равна 26)

    3a+3d=18

    a+d=6 (*)

    d=6-a

    (a+d)^2=(a+8)(a+2d)  (использовано свойство, если дано три последовательные члены геометрической прогрессии, то квадрат среднего равен произведению первого и третьего члена)

    6^2=(a+8)(12-a)  (используем (*) )

    36=12a+96-a^2-8a

    a^2-4a-60=0

    D=256=16^2

    a1=(4+16)/2=10

    a2=(4-16)=-6

    b[1]=a=10

    b[2=]a+d=6

    q=b[2]/b[1]=6/10=0.6


    или

    b[1]=a=-6

    b[2]=a+d=6

    q=b[2]/b[1]=6/(-6)=-1

  • 1. Если из первых чисел членов геометрической прогрессии вычесть соответственно 0,5,1, 4, 12, то получатся первые четыре члена арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести ее членов

    2) Пусть последовательность (cn) - последовательность, предел которой равен 8. Из последовательности (cn) вычеркнули:

    а) шесть первых членов

    б) все члены с четными номерами

    Будет ли оставшаяся последовательность сходящейся, и если да, то чему равен ее предел?


    Решение: B bq bq^2 bq^3 - члены геометрической прогрессии
    b-0,5 bq-1 bq^2-4 bq^3-12 - члены арифметической прогрессии
    ******************
    (bq^2-4)-(b-0,5) = 2*((bq-1) - (b-0,5))
    (bq^3-12)-(b-0,5) = 3*((bq-1) - (b-0,5))
    **************
    bq^2-b-3,5 = 2bq-2b+1
    bq^3-b-11,5 = 3bq-3b+1,5
    **************
    bq^2-2bq+b=4,5
    bq^3-3bq+2b=13
    **************
    b=4,5/(q^2-2q+1)
    b=13/(q^3-3q+2)
    **************
    b=4,5/(q^2-2q+1)
    4,5(q^3-3q+2)=13(q^2-2q+1)
    **************
    b=4,5/(q^2-2q+1)
    9q^3-27q+18=26q^2-52q+26
    **************
    b=4,5/(q^2-2q+1)
    9q^3 - 26q^2 + 25q - 8 = 0
    *************
    b=4,5/(q^2-2q+1)
    9q^3 - 26q^2 + 25q - 8 = (9q^3 - 9q^2)-26q^2+9q^2 + 25q - 8 =
    = (9q^3 - 9q^2)-(17q^2-17q) + 25q-17q - 8 =
    = (9q^3 - 9q^2)-(17q^2-17q) + 8q - 8 = (q-1)(9q^2-17q+8)=(q-1)^2(9q-8)=0
    q=1- ложный корень
    q = 8/9 - знаменатель прогрессии
    b=4,5/(q^2-2q+1)=4,5/((8/9)^2-2*(8/9)+1)= 364,5

    b+bq+bq^2+bq^3+bq^4+bq^5 = b*(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5) = 364,5*(1+(8/9)+(8/9)^2+(8/9)^3+(8/9)^4+(8/9)^5) = 1662+53/162 = 1662,32716  сумма первых шести ее членов

    Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность
    это обозначает, что оставшаяся последовательность будет сходящейся в обоих случаях и ее предел равен 8

  • Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15.
    Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по единице, а к третьему члену
    прибавить единицу, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию.
    Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.


    Решение: Сумма равна 120 числа: 3;5;7


    an члены арифметической прогрессии
    bn члены арифметической прогрессии

    Сумма 3 первых членов арифметической прогрессии
    a1+a2+a3=15

    b1=a1-1
    b2=a2-1
    b3=a3+1
    b1+b2+b3=a1-1+a2-1+a3+1=a1+a2+a3-1=15-1=14
    S3=b1+b2+b3=14
    Сумма 3 первых членов геометрической прогрессии:

    S3=b1*(q³-1)/(q-1)=b1*(q-1)*(q²+q+1)/(q-1)=b1*(q²+q+1)
    S3=(a1-1)*(q²+q+1)=14

    S3=14 если значения в скобках будут 2 и 7,
    т. е. 2*7=14
    Составим два уравнения (одно квадратное)

    (a1-1)=2 и (q²+q+1)=7  D=b2−4ac=12−4·1·(−6)=1+24=25   √D=√25=5
     a1=3         q²+q+1=7   q1=(−b+√D)/2a=(−1+5)/2·1=4/2=2                                   
       q²+q-6=0    q2=(−b-√D)/2a=(−1-5)/2·1==6/2=-3                                 
     q=2        отрицательный корень -3 не рассматриваем                              
    b1=a1-1=3-1 =2
    b2=b1*q=2*2 =4
    b3=b1*q²=2*4=8

    a1         =3
    a2=b2+1=4+1=5
    a3=b3-1=8-1=7               
     
    Sn=(a1+an)*n/2
    d=a2-a1=5-3=2
    a10=a1+d(n-1)=3+2(10-1)=21
    сумму первых десяти членов арифметической прогрессии:
    S10=(3+21)*5-24*5=120


  • 1. Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если сумма n её первых членов вычесляется по формуле Sn = 5n² - 4n.

    2. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии, равна 15. Если от них отнять соответстенно 2, 3 и 3, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму десяти первых членов данной 2 арифметической прогрессии.



    Решение: 1) $$ S_{n}=5n^2-4n\\ $$ так как прогрессия арифметическая то 
     $$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\\\\ 10n-8=2a_{1}+d(n-1) \\\\ 10n-8=2a_{1}+dn-d\\\\ n=1\\\\ 2=2a_{1}\\\\ a_{1}=1\\\\ n=2\\\\ d=10\\\\ a{8}=a_{1}+7d=1+7*10=71 $$ 
      Ответ $$ a_{8}=71 $$

    2) $$ a_{1}+a_{2}+a_{3}=15\\\\ \frac{a_{2}-3}{a_{1}-2}=\frac{a_{3}-3}{a_{2}-3}\\\\ 3a_{1}+3d=15\\ a_{1}+d=5\\ a_{2}=5\\\\ \frac{2}{3-d}=\frac{2+d}{2}\\\\ (3-d)(2+d)=4\\\\ 6+3d-2d-d^2=4 \\\\ -d^2+d+2=0\\\ d^2-d-2=0\\\ D=1-4*-2=3^2\\\\ d=\frac{1+3}{2}=2\\\\ d=\frac{1-3}{2}=-1<0\\\\ a_{1}=3\\\\ S_{10}=\frac{2*3+9*2}{2}*10=120 $$

  • Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500. Найти сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.


    Решение: $$ a_n=a_1+(n-1)* $$
    $$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
    $$ a_{10}=19=a_1+9d $$
    $$ S_{50}=2500=(2a_1+49d)*25= $$
    $$ 100=2a_1+49d $$
    $$ 100-19*2=49d-9d*2 $$
    $$ 62=31d $$
    $$ d=2 $$
    $$ a_1=19-9*2=1 $$
    $$ a_3+a_{12}+a_{20}=a_1+2d+a_1+11d+a_1+19d=\\\\3a_1+32d=3*1+32*2=3+64=67 $$

  • Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых девятнадцати членов равна 475. Найти сумму пятого, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии


    Решение:

    $$ a_7=19,\ => a_1+6d=19\\ S_{19}=475,\ => \dfrac{2a_1+18d}{2}*19=475\ => \\\\ \left\{\begin{matrix} a_1+6d=19 \\ 19(a_1+9d)=475 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} a_1+6d=19 \\ a_1+9d=25 \end{matrix}\right. <=>\\ \left\{\begin{matrix} 3d=6 \\ a_1=19-6d \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} d=2 \\ a_1=19-12=7 \end{matrix}\right. $$
    $$ a_5+a_{12}+a_{20}=a_1+4d+a_1+11d+a_1+19d=3a_1+34d=\\ =3*7+34*2=21+68=89. $$
    a a d S dfrac a d left begin matrix a d a d end matrix right. left begin matrix a d a d end matrix right. left begin matrix d a - d end matrix right. left begin matrix d a -...

1 2 3 > >>