сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 2
Десятый член арифметической прогрессии равен -29, а сумма первых одиннадцати членов равна -187. Найдите сумму девятого, одиннадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии
Решение: 1. S(11) = (2a(1) + 10d)/2 * 11 = -187a(1) + 5d = -187/11 = -17
a(6) = -17
2. Составим систему уравнений: a(1) + 5d = -17
a(1) + 9d = -29
3. Следовательно d = -3, а a = -2, тогда
a(9) + a(11) + a(18) = 3*a(1) + 35d = - 6 - 105 = - 111
Ответ: - 111
Пятый член арифметической прогрессии равен 23, а восьмой член 35. найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.
Решение:Аn=а₁+ (n-1)д Определим дискриминант:
а₅=а₁+4д; откуда а₁=а₅-4д
а₈=а₁+7д; откуда а₁=а₈-7д; приравняем выражения для а₁:
а₅-4д=а₈-7д; а₈-а₅=7д-4д, 35-23=3д, д=4
Определим а₁ из любого выражения, например:
а₁= а₅-4·4=23-16=7;
также : а₁₀=а₁+9·4=43;
Σ=(а₁+а₁₀)·n:2=(7+47):5 =50·5=250
Десятый член арифметической прогрессии равен 17, а пятый член равен 4.
Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.
Решение: А10=а5+5d
а10- десятый член арифметической прогрессии
а5 - пятый член арифметической прогрессии
17=4+5d
5d=13
d=2,6 - разность прогрессии
а5=а1+4d
4=а1+4*2,6
а1= -6,4 - первый член арифметической прогрессии
По формуле выводим остальные члены арифметической прогрессии и получаем числовой ряд.
-6,3; -3,8; -1,2; 1,4; 4; 6,6; 9,2; 11,8; 14,4; 17; 19,6; 22,2; 24,8; 27,4; 30.
И вычисляем сумму, которая равна 177,1
1.1. 4-й член арифметической прогрессии равен 9, а 8-й член равен -7. сумма первых 5 членов прогрессии равна?
1.2. если 2-й и 5-й члены арифметической прогрессии равны 5 и 2 соответственно, то чему равно сумма первых 10 членов этой прогрессии?
1.3. 100-й член арифметической прогрессии равен 100, а 200-1 равен -100. найдите сумму членов этой прогрессии от 10-ого до 90-ого
2.1. в арифметической прогрессии 1-й член равен 33, разнность прогрессии равно -7, а сумма всех членов прогрессии 45. число членов в этой прогрессии равно?
2.2. если 3-й член арифметической прогрессии равен 9, 1-й член равен 5, а сумма n первых членов равна 165, то n равно?
2.3. найти число членов в прогрессии -10,14,18,406,410
Решение: 1.1. a8=a4+4dd=(-7-9)/4=-4 а1=21
s5=(2а1+4d)/2 *5=(42-16)/2 *5=65
1.2. a5=a2+3d
d=(2-5)/3=-1
a1=6
s10=(12-9)/2 *10=15
2.1.45=(66-7(n-1))/2 *n
90=66n-7n(n-1)
7n^2-73n+90=0 решите квадратное уравнение, найдете n (только положительное)
2.2. d=(9-5)/2=2
165=(5+2(n-1))/2 *n
330=5n+2n(n-1)
2n^2+3n-330=0 решите квадратное уравнение, найдете n (только положительное)
Первый член арифметической прогрессии равен 2, а десятый-десяти. Найти сумму десяти членов этой прогрессии.
Решение: Если х2 это второй член арифметической прогрессии, то это решается так:
Sn - сумма членов арифметической прогрессии
Sn= n(a1 + a2)/2
Находим первый член арифметической прогрессии: a2 - d = а1
-2 - 1,2 = -3,2
n = 10
S10 = 10(-3,2 - 2)/2 = -26
Ответ: -26сумма равен (а1+а10)n/2= (2+10)10/2=60
1. Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6;… Найдите номер члена этой прогрессии, равного -15,8.
2. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn=5n-1
3. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.
4. Найдите четвертый член геометрической прогрессии: 8; -4.
5. Дана геометрическая прогрессия:8;-4. Найдите номер члена этой прогрессии, равного.1\32
6. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой bn=2 в степени n-3
Решение: 1) a1=8.2, a2=6.6
d=a2-a1=6.6-8.2=-1.6
-15.8=a1+(n-1)d
-15.8=8.2+(n-1)*(-1.6)
(n-1)*(-1.6)=-24
n-1=15
n=16
2) a1=5-1=4, a2=10-1=9
d=a2-a1=9-4=5
a14=a1+13d=4+13*5=4+65=69
S=(a1+a14)/2 *14=(a1+a14)*7=(4+69)*7=73*7=511
3) a3=a1+2d=6 => 2a1+4d=12
a5=a1+4d=10
2a1+4d-a1-4d=12-10
a1=2
4) b1=8, b2=-4
q=b2/b1=-4/8=-0.5
b4=b1*q^3=8*(-0,125)=-1
5) b1=8, b2=-4
q=b2/b1=-0.5
1/32 = b1*q^(n-1)
1/32 = 8 *(-0.5)^(n-1)
(-0.5)^(n-1)=1/256
n-1 = 8
n = 9
6) b1=2^(1-3)=2^-2=0.25
b2=2^(2-3)=2^-1=0.5
q=b2/b1=0.5/0.25=2
S=b1 * (q^10-1)/(q-1) = 0.25 *(2^10-1)/(2-1) = 0.25* 1023 = 255.75В арифметической прогрессии пятый член равен 3 а пятнадцатый равен 23 найти сумму первых десяти членов прогрессии
Решение: Формула n-го члена арифметической прогрессии: a n= a₁+d*(n-1)
по условию: а₅=3,⇒a₅=a₁+4d
а₁₅=23, ⇒a₁₅=a₁+14d
составим и решим систему уравнений способом подстановки:
{a₁+4d=3 {a₁=3-4d
a₁+14d=23 3-4d+14d=23
10d=20, d=2
{a₁=-5
d=2
S₁₀=((2a₁+9d)/2)10=(2а₁+9d)/5
S₁₀=(1*(-5)+9*2)/5=13/5=2,6
S₁₀=2,6$$ a _{5} =3 \\ a _{15} =23 \\a _{5} =a _{1} +4d \\ a _{15} =a _{1} +4d \\ a_{1}+4d=3/*(-1) \\ a_{1}+14d=23\\ -a_{1}-4d=-3\\ a_{1}+14d=23 \\ 10d=20\\d=2\\a _{1} +4*2=3\\a _{1} =3-8=-5 \\ S= \frac{2a _{1} +9d}{2} *10=\\= \frac{2*(-5)+9*2}{2} *10= \frac{-10+18}{2} *10=\\= \frac{8}{2} *10=4*10=40 $$
В арифметической прогрессии семнадцатый член равен 94, сорок первый равен -2, а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. Найдите n
Решение: Это убывающая арифметическая прогрессия
пусть а- первый член,d-разность
тогда 17 член равен
94=a+(17-1)*d=a+16d
и 41 член равен
-2=а+(41-1)*d=a+40*d
решаем систему а=158 d= -4
сумма первых членов находятся по формуле
S=((a+b)/2)*n а-первый член, в-энный член
у нас а=158
b=158+(n-1)*d=158-4*(n-1)
сумма равна 0, значит
0=()158-2(n-1))*n
(160-2n)*n=0
n=80
ответ 80В арифметической прогрессии шестой член равен 10, а сумма второго и восьмого членов равна 12.
Сумма первых двенадцати членов прогрессии равна _____.
Решение: Составим систему :
$$ \\ \left \{ {{a_6 = 10} \atop {a_2 + a_8 = 12}} \right. \\ $$
===
Мы знаем что :
$$ \\ a_n = a_1 + d(n-1) \\ $$, значит:
$$ a_6 = a_1 + 5d \\ a_2 = a_1 + d \\ a_8 = a_1 + 7d \\ $$
===
Подставляем в систему:
$$ \\ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {a_1 + d + a_1 + 7d = 12}} \right. \\ $$
===
$$ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {2a_1 + 8d = 12 | / 2}} \right. \\ $$
===
$$ \left \{ {{a_1 + 5d = 10 } \atop {a_1 + 4d = 6}} \right. \\ $$
===
Вычитаем второе уравнение системы из первого:
$$ a_1 - a_1 + 5d - 4d = 10 - 6 \\ d = 4 \\ $$
===
Находим первый и двенадцатый член:
Нам известен шестой член, значит из него мы можем найти и первый.
$$ a_6 = a_1 + 5d \\ a_1 = a_6 - 5d \\ a_1 = 10 - 5*4 = 10 - 20 = -10 \\ $$
Найдём двенадцатый член:
$$ a_12 = a_1 + 11d \\ a_12 = -10 + 11 * 4 = -10 + 44 = 34 \\ $$
Найдём сумму двенадцати членов:
$$ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \\ \\ S_12 = \frac{(-10 + 34)*12}{2} = 24 * 6 = 144 $$
Ответ: 144в арифметической прогрессии 17-й член равен 90,40-й член равен -2 а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. найдите n
Решение: a17=90a40=-2
Sn=0
Sn=(2a1+d(n-1))*n/2=0
a1+39d=-2
a1+16d=90
39d-16d=-2-90
23d=-92
d=-4
Убывающая
a1=154
Sn=(2*154-(n-1)*4)n/2=0
n=78
