сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 4
В арифметической прогрессии сумма первых тридцати членов равна 3645. Чему равен седьмой член, если первый равен 20
Решение: Сумма первых n членов арифм. прогрессии вычисляется по формуле:
$$ Sn= \frac{ a_{1} +a_{n} }{2} *n $$
$$ 3645= \frac{ 20+a_{30} }{2} *30 $$
$$ 20+a_{30}= \frac{3645*2}{30} $$
$$ 20+a_{30}=243 $$
$$ a_{30} =223 $$
n член арифм. прогрессии вычисляется по формуле:
$$ a_{n} = a_{1} +d*(n-1) $$
формула для №30
$$ 223= 20 +d*(30-1) $$
$$ 223= 20 +d*29 $$
$$ 29d=203 $$
$$ d= \frac{203}{29} \\ d=7 $$ формула для №7
$$ a_{7} = 20 +7*(7-1) \\ a_{7}=20+7*6 \\ a_{7} =62 $$ \({a_n} \)- арифметическая прогрессия
$$ a_1=20 \\ S_{30} =3645 \\ S_{n} = \frac{2a_1+(n-1)*d}{2} *n \\ S_{30} = \frac{2a_1+29d}{2} *30 \\ \frac{2a_1+29d}{2} *30=3645 \\ ({2a_1+29d}) *15=3645 \\ {2a_1+29d}=243 \\ a_1=20 \\ 2*20+29d=243 \\ 40+29d=243 \\ 29d=243-40 \\ 29d=203 \\ d=203:29 \\ d=7 \\ a_n=a_1+(n-1)*d \\ a_7=a_1+6d \\ a_7=20+6*7=20+42=62 $$
Ответ: 62Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 120, а девятый ее член равен 48. Найдите сумму первых семи членов.
Решение: (а1+а5)*5/2 = 120(а1+а5)*5 = 120 * 2 /5
(а1+а5) = 48
2а1 + 4d = 48, разделим обе части на 2 для упрощения
а1+2d = 24
теперь:
а9 = а1 + 8d
составим систему:
а1 + 8d = 48
а1 + 2d = 24
отниме:
а1 - а1 + 8d - 2d = 48 - 24
6d = 24
d = 4
а1 = 48 - 8d
a1 = 48 - 8*4 =16
a7 = a1+ 6d = 16 + 6*4 = 16+24 = 40
S7 = (a1 + a7)*7/2
S7 = (16+40)*7/2 = 196
S5=(2a1+4d)*5\2=120
a9=a1+8d=48
это система)
из второго выражаем а1a1=48-8d
подставляем в первое
5(2(48-8d)+4d)\2=120
5(96-16d+4d)=240
96-12d=48
12d=48
d=4
a1=48-8d=48-32=16
S7=7(2a1+6d)\2=7(32+24)\2=7*56\2=196
Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 80. А ее пятый член равен 6. Найти сумму второго и четвертого членов прогрессии.
Решение: S_10 = 80, а_5 = 6. Найти а_2 + а_4.
Составим систему.
{s_10 = (2a_1 + 9d)*10/2 {80 = (2a_1 + 9d)*5 -> 2a_1 + 9d = 16
{a_5 = a_1 + 4d { 6 = a_1 + 4d -> a_1 = 6 - 4d
2*(6 - 4d) + 9d = 16
12 - 8d + 9d = 16
d = 16 - 12
d = 4
a_1 = 6 - 4d = 6 - 4*4 = 6 - 16 = - 10
a_2 = a_1 + d = -10 + 4 = -6
a_4 = a_2 + 2d = -6 + 2*4 = -6 + 8 = 2
a_2 + a_4 = -6 + 2 = -4.
Ответ.4
Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 9. найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии если ее четвертый член равен 9
Решение: Пусть первое число прогрессии = х, а второе - х+а, тогда третье число = х+2а. Получаем, что сумма первых трех чисел = 3х+3а = 9, тогда х+а (второй член прогрессии) = 9/3 = 3. А четвертый член (х+3а) = 9.
Тогда из четвертого вычитаем второй и получим: х+3а - (х+а) = 9-3 или 2а = 6. Тогда а = 3, а х = 3-3 = 0. Следоватлеьно, пятый член прогрессии будет равен: х+4а = 0+4*3 = 12. А сумма первых пяти членов: 9+9+12 = 30.
найти сумму семи первых членов арифметической прогрессии. если ее второй член в два раза больше первого. а четвертый член равен 12
Решение: a(n) = a (n-1) + da(4) = 12
a(2) = 2*a(1)
d = a(2) - a(1)
-Решение-
d = 2*a - a = a
ФОРМУЛА СУММЫ ЧЛЕНОВ АР. ПРОГР.:
S(n)= ( ( 2*a(1)+d*(n-1) )/2)*n
S(7) = ( ( 2a+6a ) / 2 ) *7 = 4a * 7 = 28a
a(4) = a(1) *4 = 12/4 = 3
S(7) = 28* 3 = 84
Ответ: 84
1. В арифметической прогрессии с нечетным числом членов средний член равен 17, а сумма всех слагаемых на 112 больше их числа. Найдите число членов прогрессии
2. в геометрической прогрессии a1=64,q=1/2. найдите, чему равно a9 и произведение первых тринадцати членов
Решение: По свойству арифметической прогрессии суммы слагаемых отстоящих на одинаковых местах от концов равны
слагаемых 2n+1
значит а1+а2n+1=a2+a2n+a3+a2n-1=.=2 a n+1=2·17=34
S 2n+1=(a1+a2n+1)·(2n+1)/2=17(2n+1)
Известно, что S 2n+1 на 112 больше количества слагаемых, а их 2n+1
17(2n+1)=112+2n+1
32n=96
n=3
число членов прогресссии 2n+1=2·3+1=7
Первое задание:
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если А4= 10, А7=19.
Второе задание :
Четвертый член равен 9, а девятый член -(-6). Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54?
Третье задание:
Найдите сумму все отрицательных членов арифметической прогрессии: -7.1; -6.3,
Четвертое задание:
Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии : 6.3;5.8.
Решение: 1) а4=а1+3d=10 | (-1)a7=a1+6d=19;
-a1-3d=-10
a1 +6d=19;
d=3, значит а1=10-9=1.
S10=(2а1+9d)/2*10=145
1) Ответ:19-10=9
9/3=3
d=3
a1=a4-3d
a1=1
a10=a1+9d
a10=28
S10=((a1+a10)/2)*10
S10=145
2)
Дано:(An)-арифметическая прогрессия
A4=9
A9=-6
Sn=54
Найти:n
Решение:
A1+An
Sn=- *n
2
{A4=A1+3d
{A9=A1+8d
{A1+3d=9
{A1+8d=-6
{A1=9-3d
{9-3d+8d=-6
5d=-15
d=-3
A1=18
18+An
Sn=- *n
2
18+An
54= - *n
2
An=A1+(n-1)d
An=18+(n-1)*-3
18+18+(n-1)*-3
- *n=54
2
решаем
n1=4
n2=9
18+9 27*4
S4= - *4=-=27*2=54
2 2
18-6 12
S9=- * 9=-*9=6*9=54
3) a)Разности прогрессии d = -7,1 -( -6,3) = 0,8
b) Формула общего члена а(n) = -7,1 +0,8(n-1)
c) найдём число отрицательных членов данной прогрессии
-7,1 +0,8(n-1)< 0
0,8n< 9,875
n< 9
d) последний отрицательный член этой прогрессии стоит на 9 месте и равен
а(9) = -7,1 +0,8*8 = -0,7
e) S = (-7,1-0,8)*9/2 = - 28,35 4) а1=6.3 ; а2=5.8
5.8 - 6.3 = -0.5 = с это разность прогрессии
найдем число положительных членов в прогрессии:
6.3/0.5 = 12.6 значит положит членов 13
находим а13= а1 + с*12=0.3 (видно, что следующий член а14=а13 - 0.5= -0.2 будет меньше 0)
формула для суммы х членов арифметической прогрессии:
(а1 + ах)*х/2
в нашем случае: (6.3 + 0.3)*13/2 = 42.91) сумма первого и 37го членов арифметической прогрессии равна 167. Чему равен 25й член этой прогрессии?
и вот такое
2) к графику функции f(x)=(3x+4)/x в точке пересечения с одной из осей проведена касательная. Найдите угловой коэффициент этой касательной
Решение: 1. Рассмотрим уравнение: $$ y=4x-3.5-5x^2 $$Обратим внимание на тот факт, что $$ -x^2 $$
Т. е. мы имеем параболу, обращённую вниз.
Следовательно, наибольшее значение функции будет при $$ x = 0 $$
Наибольшее значение функции будет равно $$ (0,3.5) $$
2. Рассмотрим функцию $$ f(x)=\frac{3x+4}{x} $$
Точка пересечения будет с осью х, так как x ≠ 0
Понимая, что это гипербола, приведём уравнение к виду углового коэффициента:
$$ f(x)=4\frac{1}{x}+4 $$
Найдём точку пересечения с осью х
$$ 0=4\frac{1}{x}+4 $$
$$ x=-\frac{4}{3} $$
Найдём угловой коэффициент касательной в данной точке $$ x=-\frac{4}{3} $$
Найдём значение производной f’(x) и подставим туда значение \( x=-\frac{4}{3} \\ f’(x)=-\frac{4}{x^2} \\ \frac{-4}{(-4/3)^2} = -\frac{9}{4} \)
3. Найдите все значения х, при которых значения выражений 3х – 2, 3 – х, 8х являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
4. Найдите сумму первых 95 членов арифметич. прогрессии, если ее шестой член равен -23, а четырнадцатый -27
5. Сумма седьмого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 6. Пятый ее член на 12 больше второго. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.
Решение: 3) Пусть d - знаменатель прогрессии. Тогда d=3-x-(3x-2)=-4x+5. С другой стороны, d=8x-(3-x)=9x-3. Приравнивая эти два равенства, получаем уравнение -4x+5=9x-3, откуда 13х=8 и х=8/13. Тогда d=33/13, и числа 3x-2=-2/13, 3-x=31/13 и 8x=64/13 действительно являются членами арифметической прогрессии, так как 31/13=-2/13+33/13 и 64/13=31/13+33/13. Ответ: x=8/13.
4) a14=a6+8*d. Так как а6=-23 и а14=-27, то для определения знаменателя прогрессии d получаем уравнение -23+8d=-27, откуда d=-1/2. Тогда сумма первых 95 членов прогрессии S95=95*(a1+a95)/2. a1=a6-5d=-23-5*(-1/2)=-20,5, a95=a1+94*d=-20,5+94*(-1/2)=-67,5, тогда S95=95*(-20,5-67,5)/2=-4180. Ответ: -4180
5) из условия a5=a2+3d=a2+12 сразу находим знаменатель прогрессии d=4. Из условия a4+a7=a4+a4+3d=2a4+12=6 находим a4=-3. Тогда a3=a4-d=-3-4=-7 и a2=a3-d=-7-4=-11. Ответ: a2=-11, a3=-7Если сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна сумме трех следующих членов этой же прогрессии и равна 30, то 2 член этой прогрессии равен.
Решение: 1.
Найдём сумму первых семи членов арифметической прогрессии
S = (2a₁ + (n-1)d) * n /2
S₇ = (2a₁ + 6d) * 7 / 2 = (a₁ + 3d) * 7
По условию эта сумма равна 30.
S₇ = 30
(a₁ + 3d) * 7 = 30 => 7a₁ + 21d = 30
2.
Найдём сумму трёх следующих членов арифметической прогрессии (с 8 по 10)
S₈₋₁₀ = (a₁ + 7d + a₁ + 9d) * 3 / 2 = (2a₁ + 16d) * 3 / 2 = (a₁ + 8d) * 3
По условию эта сумма равна 30.
S₈₋₁₀ = 30
(a₁ + 8d) * 3 = 30 => a₁ + 8d = 10
3.
Имеем систему двух уравнений:
{7a₁ + 21d = 30
{a₁ + 8d = 10
Второе уравнение умножим на (- 7)
{7a₁ + 21d = 30
{a₁ + 8d = 10 | * (-7)
Получим
{7a₁ + 21d = 30
{- 7a₁ - 56d = - 70
Сложив эти уравнения, имеем:
7a₁ + 21d - 7a₁ - 56d = 30 - 70
- 35d = - 40
Сократим на (-5)
7d = 8
d = 8/7 - знаменатель прогрессии
Подставив в уравнение a₁ + 8d = 10 значение d = 8/7, найдём а₁
a₁ + 8 * 8/7 = 10
a₁ = 10 - 64/7 = 70/7 - 64/7 = 6/7
а₁ = 6/7 - первый член прогрессии
4.
Найдём а₂ - второй член данной прогрессии
a₂ = a₁ + d
a₂ = 6/7 + 8/7 = 14/7 = 2
a₂ = 2
Ответ: 2
