прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 4

  • 1. Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6;… Найдите номер члена этой прогрессии, равного -15,8.

    2. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn=5n-1

    3. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.

    4. Найдите четвертый член геометрической прогрессии: 8; -4.

    5. Дана геометрическая прогрессия:8;-4. Найдите номер члена этой прогрессии, равного.1\32

    6. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой bn=2 в степени n-3


    Решение: 1) a1=8.2, a2=6.6
    d=a2-a1=6.6-8.2=-1.6

    -15.8=a1+(n-1)d
    -15.8=8.2+(n-1)*(-1.6)
    (n-1)*(-1.6)=-24
    n-1=15
    n=16

    2) a1=5-1=4, a2=10-1=9
    d=a2-a1=9-4=5
    a14=a1+13d=4+13*5=4+65=69

    S=(a1+a14)/2 *14=(a1+a14)*7=(4+69)*7=73*7=511

    3) a3=a1+2d=6 => 2a1+4d=12
    a5=a1+4d=10 

    2a1+4d-a1-4d=12-10
    a1=2

    4) b1=8, b2=-4
    q=b2/b1=-4/8=-0.5
    b4=b1*q^3=8*(-0,125)=-1

    5) b1=8, b2=-4
    q=b2/b1=-0.5

    1/32 = b1*q^(n-1)
    1/32 = 8 *(-0.5)^(n-1)
    (-0.5)^(n-1)=1/256
    n-1 = 8
    n = 9

    6) b1=2^(1-3)=2^-2=0.25
    b2=2^(2-3)=2^-1=0.5
    q=b2/b1=0.5/0.25=2

    S=b1 * (q^10-1)/(q-1) = 0.25 *(2^10-1)/(2-1) = 0.25* 1023 = 255.75

  • В арифметической прогрессии пятый член равен 3 а пятнадцатый равен 23 найти сумму первых десяти членов прогрессии


    Решение: Формула n-го члена арифметической прогрессии: a n= a₁+d*(n-1)
    по условию: а₅=3,⇒a₅=a₁+4d
     а₁₅=23, ⇒a₁₅=a₁+14d
    составим и решим систему уравнений способом подстановки:

     {a₁+4d=3 {a₁=3-4d
      a₁+14d=23 3-4d+14d=23

    10d=20, d=2
    {a₁=-5
     d=2
    S₁₀=((2a₁+9d)/2)10=(2а₁+9d)/5
    S₁₀=(1*(-5)+9*2)/5=13/5=2,6
    S₁₀=2,6

    $$ a _{5} =3 \\ a _{15} =23 \\a _{5} =a _{1} +4d \\ a _{15} =a _{1} +4d \\ a_{1}+4d=3/*(-1) \\ a_{1}+14d=23\\ -a_{1}-4d=-3\\ a_{1}+14d=23 \\ 10d=20\\d=2\\a _{1} +4*2=3\\a _{1} =3-8=-5 \\ S= \frac{2a _{1} +9d}{2} *10=\\= \frac{2*(-5)+9*2}{2} *10= \frac{-10+18}{2} *10=\\= \frac{8}{2} *10=4*10=40 $$

  • В арифметической прогрессии семнадцатый член равен 94, сорок первый равен -2, а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. Найдите n


    Решение: Это убывающая арифметическая прогрессия
    пусть а- первый член,d-разность
    тогда 17 член равен
    94=a+(17-1)*d=a+16d
    и 41 член равен
    -2=а+(41-1)*d=a+40*d
    решаем систему а=158 d= -4
    сумма первых членов находятся по формуле
    S=((a+b)/2)*n а-первый член, в-энный член
    у нас а=158
    b=158+(n-1)*d=158-4*(n-1)
    сумма равна 0, значит
    0=()158-2(n-1))*n
    (160-2n)*n=0
    n=80
    ответ 80

  • В арифметической прогрессии шестой член равен 10, а сумма второго и восьмого членов равна 12.
    Сумма первых двенадцати членов прогрессии равна _____.


    Решение: Составим систему :
    $$ \\ \left \{ {{a_6 = 10} \atop {a_2 + a_8 = 12}} \right. \\ $$
    ===
    Мы знаем что :
    $$ \\ a_n = a_1 + d(n-1) \\ $$, значит:
    $$ a_6 = a_1 + 5d \\ a_2 = a_1 + d \\ a_8 = a_1 + 7d \\ $$
    ===
    Подставляем в систему:
    $$ \\ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {a_1 + d + a_1 + 7d = 12}} \right. \\ $$
    ===
    $$ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {2a_1 + 8d = 12 | / 2}} \right. \\ $$
    ===
    $$ \left \{ {{a_1 + 5d = 10 } \atop {a_1 + 4d = 6}} \right. \\ $$
    ===
    Вычитаем второе уравнение системы из первого:
    $$ a_1 - a_1 + 5d - 4d = 10 - 6 \\ d = 4 \\ $$
    ===
    Находим первый и двенадцатый член:
    Нам известен шестой член, значит из него мы можем найти и первый.
    $$ a_6 = a_1 + 5d \\ a_1 = a_6 - 5d \\ a_1 = 10 - 5*4 = 10 - 20 = -10 \\ $$
    Найдём двенадцатый член:
    $$ a_12 = a_1 + 11d \\ a_12 = -10 + 11 * 4 = -10 + 44 = 34 \\ $$
    Найдём сумму двенадцати членов:
    $$ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \\ \\ S_12 = \frac{(-10 + 34)*12}{2} = 24 * 6 = 144 $$
    Ответ: 144

  • в арифметической прогрессии 17-й член равен 90,40-й член равен -2 а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. найдите n


    Решение: a17=90

    a40=-2

    Sn=0

    Sn=(2a1+d(n-1))*n/2=0

    a1+39d=-2

    a1+16d=90

    39d-16d=-2-90

    23d=-92

    d=-4

    Убывающая

    a1=154

    Sn=(2*154-(n-1)*4)n/2=0

    n=78 

<< < 234 5 6 > >>