прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 6

  • Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₂ = - 6; a₃ = -2
    Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если х₂ = -2,4 и d = 1,2
    Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии, если b₂ = - 1/32; b₃ = 1/16



    Решение: D=a{3} -a{2}=-2+6=4
     a{1}=-10
      a{15} = a{1} +(n-1)*4 = -10+14*4=46 

    Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₂ = - 6; a₃ = -2
    d=4
    a1=-10
    a15=a1+14d=-10+56=46
    Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если х₂ = -2,4 и d = 1,2
    x1=-3.6
    d=1.2
    S10=(2a1+9d)/2*10=(-7.2+10.8)/2*10=18
    Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии, если b₂ = - 1/32; b₃ = 1/16
    q=1/16 : -1/32= -2
    b1=1/64
    b12=b1^q^11=1/64*(-2)^11=-32

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.


    Решение:

    Из первого условия получаем уравнение b₁+b₂+b₃=91
    b₁+b₁q+b₁q²=91
    b₁*(1+q+q²)=91 (1)
     из второго условия следует, что b₂+27-(b₁+25)=(b₃+1)-(b₂+27)
    b₂-b₁+2=b₃-b₂-26
    2b₂+28=b₁+b₃
    b₁-2b₂+b₃=28
    b₁(1-2q+q²)=28 (2)
    Поделим (1) на (2)
    Получим (1+q+q²)/(1-2q+q²)=13/4
    4+4q+4q²=13-26q+13q²
    9q²-30q+9=0
    3q²-10q+3=0
    D/4=25-9=16
    q₁=3
    q₂=1/3
    найдем b₁
    b₁(1+3+3²)=91
     b₁=7
    или b₁(1+1/3+1/3²)=91
    13/9*b₁=91
    b₁=63
    Тогда b₇=b₁*q⁶=7*3⁶=7*729 - больше 1000
    или b₇=63*(1/3)⁶=7*3²/3⁶=7/3⁴=7/81
    Ответ:b₇=7/81

    $$ b_1=7; b_2=21; b_3=63 $$

  • Методом математической индукции докажите
    1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
    2) \( \displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2} \)формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
    3) формулу общего члена геометрической прогрессии
    \( \displaystyle b_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \) при \( q eq 1 \)


    Решение: 1)
    База индукции: 1

    $$ a_1=a_1+d*0=a_1 $$ проверено.

    Предположим, что утверждение верно для n=k.
    $$ a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d $$
    Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.
    $$ a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk $$
    Так как, следуя предположению $$ a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d $$ то прибавив к данному выражению d. Мы получим следующий член $$ a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk $$.
    Т. е. предположение верно. Ч. Т. Д.

    2)
    $$ S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2} $$
    База : 1
    Проверка: \( S_1= \frac{2a_1}{2}=a_1 \). 

    Предположение: $$ n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2} $$
    Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при \(n=k+1\):

    Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):
    $$ S_{k+1}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= \frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\\= \frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= \frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\\ = \frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2} $$
    т. е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч. Т. Д.

    3)
    Это не формула общего члена, это формула суммы.
    При q=1 получается деление на ноль, поэтому сразу пишем \(q eq 1\)
    База: 1
    $$ b_1= \frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1 $$
    Предположим, что формула верна для: n=k.
    Покажем и докажем что формула верна для n=k+1:
    Как и с суммой арифм. прогрессии мы добавим k+1 член к сумме.
    $$ b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q} $$
    Ч. Т. Д.

  • Какое число не является членом арифметической прогрессии 3;9;15

    А:21 Б:51 В:46 Г:63

    Найти десятый член арифметической прогрессии, если А9 +А11=350

    Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2;7;12


    Решение: 1. прогрессия идет через 6, значит 3;9;15;21;27;33;39;45;51;57;63;69, так как 46 здесь нет, то ответ В: 46

    2. А9+А11=350

    А(9+11)=350

    А(20)=350

    если А20=350, то А10=А20:2

    А10=350:2

    А10=175

    Ответ: десятый член этой геометрической прогрессии равен 175

    3. прогрессия идет через 5, значит 10 первых членов будут: 2;7;12;17;22;27;32;37;42;47

    2+7+12+17+22+27+32+37+42+47= 245

  • Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S=2n^2+3n. найти 15 член этой прогрессии


    Решение: Очевидно что: a15=s(15)-s(14)= 2*15^2+3*15 -2*14^2 -3*14=2*(15^2-14^2) +3=
    2*1*29+3=61
    Ответ:61. Преимущество данного метода он годится не только для арифметической прогрессии. Но и других последовательностей. По сумме n члена последовательности всегда можно определить ее n член.
    W(n)=Sw(n)-Sw(n-1) 

  • Последовательности заданы несколькими первыми числами.
    Одни из них -геометрическая прогрессия. Укажите её
    1)28;24;22;20;.
    2)5/16;5/8;5/4;5/2
    3)17;19;21;23;
    4)4/5;5/6;6/7;7/8.
    2. Последовательность (an) арифметическая прогрессия. Найди сумму первых членов если a3=15;a4=12


    Решение:

    1
    1)28;24;22;20;.
    24/28=6/7;22/24=11/12
    6/7≠11/12 не является
    2)5/16;5/8;5/4;5/2
    5/8:5/16=5/8*16/5=2;5/4:5/8=5/4*8/5=2;5/2:5/4=5/2*4/5=2
    q=2 является
    3)17;19;21;23;
    19/17≠21/19
    не является
    4)4/5;5/6;6/7;7/8.
    5/6:4/5=5/6*5/4=25/24;6/7:5/6=6/7*6/5=36/35
    25/24≠36/35
    не является
    2
    a3=15;a4=12
    d=a4-a3=12-15=-3
    a1=a3-2d=15-2*(-3)=15+6=21
    a2=a1+d=21-3=18
    a1+a2=21+18=39

  • дана арифметическая прогрессия: 6;8;10;. Найдите сумму первых шестидесяти её членов


    Решение: По формуле арифметической прогрессии получаем.

    S60=2a1+(n-1)d/2 и всё умноженное на n

    d=8-6=2

    n=60

    Подставляем по формуле и получаем S60=(12+59*2)*30=3900

    Ответ:S60=3900

    A1 = 6, An = A1+(n-1)d, d = A2 - A1 = 2 - разность прогрессии

    А60 = A1+59d = 6 + 118 = 124

    S = (A1 + A60)*n/2 = 130*60/2 = 3900

  • Дана арифметическая прогрессия 6;8;10;. найдите сумму первых 60 ее членов


    Решение: $$ S_{60}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n $$

    $$ a_1=6 $$

    $$ a_2=8 $$

    $$ d=a_2-a_1=8-6=2 $$

    $$ n=60 $$

    $$ S_{60}=\frac{2\cdot6+(60-1)\cdot2}{2}\cdot 60=\\=(12+59\cdot2)\cdot30=(12+118)\cdot30=130\cdot30=3900 $$

    Ответ: 3900.

    По формуле арифметической прогрессии получаем.

    S60=2a1+(n-1)d/2 и всё умноженное на n

    d=8-6=2

    Подставляем по формуле и получаем S60=(12+59*2)*30=3900

    Ответ:S60=3900

  • Дана арифметическая прогрессия -6;-2;2. Найдите сумму первых пятидесяти ее членов


    Решение: d=4 это разность прогрессии
    формула суммы членов арифметической прогрессии
    S(n)=(a1+a(n))*n/2 то есть сумма первого и n члена умножается на количество членов и делится пополам
    a(n)=a1+(n-1)d 

    S=(-6+190)*50/2=4600

  • Дана арифметическая прогрессия 3, 2, 7. Найдите сумму первых восьми её членов.


    Решение: Все время прибавляется "-5" => 3-2-7-12-17-22-27-32= -116

    Разность арифметической прогрессии (НА сколько каждый следующий элемент прогрессии отличается от предыдущего) = РАЗНОСТИ между следующим и предыдущим элементами прогрессии, т. е.
    d=-7-(-2)=-7+2=-5
    a1=3, n=8,
    S=(2*a1+(n-1)*d):2*n=(2*3+7*(-5))*0,5*8=-116

<< < 456 7 8 > >>