прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 8

  • 1. В арифметической прогрессии с нечетным числом членов средний член равен 17, а сумма всех слагаемых на 112 больше их числа. Найдите число членов прогрессии
    2. в геометрической прогрессии a1=64,q=1/2. найдите, чему равно a9 и произведение первых тринадцати членов


    Решение: По свойству арифметической прогрессии  суммы слагаемых отстоящих на одинаковых местах от концов равны
    слагаемых 2n+1
    значит а1+а2n+1=a2+a2n+a3+a2n-1=.=2 a n+1=2·17=34
    S 2n+1=(a1+a2n+1)·(2n+1)/2=17(2n+1)
    Известно, что S 2n+1 на 112 больше количества слагаемых, а их 2n+1
    17(2n+1)=112+2n+1
    32n=96
    n=3
    число членов прогресссии 2n+1=2·3+1=7


  • Первое задание:

    Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если А4= 10, А7=19.

    Второе задание :

    Четвертый член равен 9, а девятый член -(-6). Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54?

    Третье задание:

    Найдите сумму все отрицательных членов арифметической прогрессии: -7.1; -6.3,

    Четвертое задание:

    Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии : 6.3;5.8.


    Решение: 1) а4=а1+3d=10 | (-1)

    a7=a1+6d=19;

    -a1-3d=-10

    a1 +6d=19;

    d=3, значит а1=10-9=1.

    S10=(2а1+9d)/2*10=145

    1) Ответ:

    19-10=9

    9/3=3

    d=3

    a1=a4-3d

    a1=1

    a10=a1+9d

    a10=28

    S10=((a1+a10)/2)*10

    S10=145

    2)

    Дано:(An)-арифметическая прогрессия

    A4=9

    A9=-6

    Sn=54

    Найти:n

    Решение:

      A1+An 

    Sn=- *n 

      2 

    {A4=A1+3d

    {A9=A1+8d 

    {A1+3d=9

    {A1+8d=-6

    {A1=9-3d

    {9-3d+8d=-6 

    5d=-15

    d=-3

    A1=18

      18+An

    Sn=- *n 

      2 

      18+An

    54= - *n

      2 

    An=A1+(n-1)d

    An=18+(n-1)*-3

    18+18+(n-1)*-3

    - *n=54

      2 

    решаем

    n1=4

    n2=9

      18+9 27*4

    S4= - *4=-=27*2=54 

      2 2

      18-6 12

    S9=- * 9=-*9=6*9=54

    3) a)Разности прогрессии d = -7,1 -( -6,3) = 0,8
    b) Формула общего члена а(n) = -7,1 +0,8(n-1)
    c) найдём число отрицательных членов данной прогрессии
     -7,1 +0,8(n-1)< 0
     0,8n< 9,875
    n< 9
    d) последний отрицательный член этой прогрессии стоит на 9 месте и равен
    а(9) = -7,1 +0,8*8 = -0,7
    e) S = (-7,1-0,8)*9/2 = - 28,35 4)  а1=6.3 ; а2=5.8 
    5.8 - 6.3 = -0.5 = с это разность прогрессии 
    найдем число положительных членов в прогрессии: 
    6.3/0.5 = 12.6 значит положит членов 13 

    находим а13= а1 + с*12=0.3 (видно, что следующий член а14=а13 - 0.5= -0.2 будет меньше 0) 

    формула для суммы х членов арифметической прогрессии: 
    (а1 + ах)*х/2 

    в нашем случае: (6.3 + 0.3)*13/2 = 42.9

  • 1) сумма первого и 37го членов арифметической прогрессии равна 167. Чему равен 25й член этой прогрессии?
    и вот такое
    2) к графику функции f(x)=(3x+4)/x в точке пересечения с одной из осей проведена касательная. Найдите угловой коэффициент этой касательной


    Решение: 1. Рассмотрим уравнение:  $$ y=4x-3.5-5x^2 $$

    Обратим внимание на тот факт, что $$ -x^2 $$

    Т. е. мы имеем параболу, обращённую вниз.

    Следовательно, наибольшее значение функции будет при $$ x = 0 $$

    Наибольшее значение функции будет равно $$ (0,3.5) $$

    2. Рассмотрим функцию $$ f(x)=\frac{3x+4}{x} $$

      Точка пересечения будет с осью х, так как x ≠ 0

        Понимая, что это гипербола, приведём уравнение к виду углового коэффициента:

      

       $$ f(x)=4\frac{1}{x}+4 $$

      Найдём точку пересечения с осью х

       $$ 0=4\frac{1}{x}+4 $$

       $$ x=-\frac{4}{3} $$

    Найдём угловой коэффициент касательной в данной точке $$ x=-\frac{4}{3} $$

    Найдём значение производной f’(x) и подставим туда значение \( x=-\frac{4}{3} \\ f’(x)=-\frac{4}{x^2} \\ \frac{-4}{(-4/3)^2} = -\frac{9}{4} \). Рассмотрим уравнение   y x- . - x Обратим внимание на тот факт что -x Т. е. мы имеем параболу обращ нную вниз. Следовательно наибольшее значение функции будет при x Наиболь...

  • 3. Найдите все значения х, при которых значения выражений 3х – 2, 3 – х, 8х являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
    4. Найдите сумму первых 95 членов арифметич. прогрессии, если ее шестой член равен -23, а четырнадцатый -27
    5. Сумма седьмого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 6. Пятый ее член на 12 больше второго. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.


    Решение: 3) Пусть d - знаменатель прогрессии. Тогда d=3-x-(3x-2)=-4x+5. С другой стороны, d=8x-(3-x)=9x-3. Приравнивая эти два равенства, получаем уравнение -4x+5=9x-3, откуда 13х=8 и х=8/13. Тогда d=33/13, и числа 3x-2=-2/13, 3-x=31/13 и 8x=64/13 действительно являются членами арифметической прогрессии, так как 31/13=-2/13+33/13 и 64/13=31/13+33/13. Ответ: x=8/13.
    4) a14=a6+8*d. Так как а6=-23 и а14=-27, то для определения знаменателя прогрессии d получаем уравнение -23+8d=-27, откуда d=-1/2. Тогда сумма первых 95 членов прогрессии S95=95*(a1+a95)/2. a1=a6-5d=-23-5*(-1/2)=-20,5, a95=a1+94*d=-20,5+94*(-1/2)=-67,5, тогда S95=95*(-20,5-67,5)/2=-4180. Ответ: -4180 
    5) из условия a5=a2+3d=a2+12 сразу находим знаменатель прогрессии d=4. Из условия a4+a7=a4+a4+3d=2a4+12=6 находим a4=-3. Тогда a3=a4-d=-3-4=-7 и a2=a3-d=-7-4=-11. Ответ: a2=-11, a3=-7

  • Если сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна сумме трех следующих членов этой же прогрессии и равна 30, то 2 член этой прогрессии равен.


    Решение: 1.
    Найдём сумму первых семи членов арифметической прогрессии
    S = (2a₁ + (n-1)d) * n /2 
    S₇ = (2a₁ + 6d) * 7 / 2 = (a₁ + 3d) * 7 
    По условию эта сумма равна 30.
    S₇ = 30
    (a₁ + 3d) * 7 = 30 => 7a₁ + 21d = 30
    2.
    Найдём сумму трёх следующих членов арифметической прогрессии (с 8 по 10)
    S₈₋₁₀ = (a₁ + 7d + a₁ + 9d) * 3 / 2 = (2a₁ + 16d) * 3 / 2 = (a₁ + 8d) * 3
    По условию эта сумма равна 30.
    S₈₋₁₀ = 30
    (a₁ + 8d) * 3 = 30 => a₁ + 8d = 10 
    3.
    Имеем систему двух уравнений:
    {7a₁ + 21d = 30 
    {a₁ + 8d = 10
    Второе уравнение умножим на (- 7) 
    {7a₁ + 21d = 30 
    {a₁ + 8d = 10 | * (-7) 
    Получим
    {7a₁ + 21d = 30 
    {- 7a₁ - 56d = - 70 
    Сложив эти уравнения, имеем:
    7a₁ + 21d - 7a₁ - 56d = 30 - 70  
    - 35d = - 40
     Сократим на (-5) 
    7d = 8
    d = 8/7 - знаменатель прогрессии
     Подставив в уравнение a₁ + 8d = 10 значение d = 8/7, найдём а₁
    a₁ + 8 * 8/7 = 10
    a₁ = 10 - 64/7 = 70/7 - 64/7 = 6/7
    а₁ = 6/7 - первый член прогрессии
    4.
    Найдём а₂ - второй член данной прогрессии
    a₂ = a₁ + d 
    a₂ = 6/7 + 8/7 = 14/7 = 2
    a₂ = 2
    Ответ: 2