прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 7

  • В арифметической прогрессии сумма первых тридцати членов равна 3645. Чему равен седьмой член, если первый равен 20


    Решение: Сумма первых n членов арифм. прогрессии вычисляется по формуле:
    $$ Sn= \frac{ a_{1} +a_{n} }{2} *n $$
    $$ 3645= \frac{ 20+a_{30} }{2} *30 $$
    $$ 20+a_{30}= \frac{3645*2}{30} $$
    $$ 20+a_{30}=243 $$
    $$ a_{30} =223 $$
    n член арифм. прогрессии вычисляется по формуле:
    $$ a_{n} = a_{1} +d*(n-1) $$
    формула для №30
    $$ 223= 20 +d*(30-1) $$
    $$ 223= 20 +d*29 $$
    $$ 29d=203 $$
    $$ d= \frac{203}{29} \\ d=7 $$ формула для №7
    $$ a_{7} = 20 +7*(7-1) \\ a_{7}=20+7*6 \\ a_{7} =62 $$ \({a_n} \)- арифметическая прогрессия
    $$ a_1=20 \\ S_{30} =3645 \\ S_{n} = \frac{2a_1+(n-1)*d}{2} *n \\ S_{30} = \frac{2a_1+29d}{2} *30 \\ \frac{2a_1+29d}{2} *30=3645 \\ ({2a_1+29d}) *15=3645 \\ {2a_1+29d}=243 \\ a_1=20 \\ 2*20+29d=243 \\ 40+29d=243 \\ 29d=243-40 \\ 29d=203 \\ d=203:29 \\ d=7 \\ a_n=a_1+(n-1)*d \\ a_7=a_1+6d \\ a_7=20+6*7=20+42=62 $$
    Ответ: 62

  • Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 120, а девятый ее член равен 48. Найдите сумму первых семи членов.


    Решение: (а1+а5)*5/2 = 120

    (а1+а5)*5 = 120 * 2 /5

    (а1+а5) = 48

    2а1 + 4d = 48, разделим обе части на 2 для упрощения

    а1+2d = 24

    теперь:

    а9 = а1 + 8d

    составим систему:

    а1 + 8d = 48

    а1 + 2d = 24

    отниме:

    а1 - а1 + 8d - 2d = 48 - 24

    6d = 24

    d = 4

    а1 = 48 - 8d

    a1 = 48 - 8*4 =16

    a7 = a1+ 6d = 16 + 6*4 = 16+24 = 40

    S7  = (a1 + a7)*7/2

    S7 = (16+40)*7/2 = 196

    S5=(2a1+4d)*5\2=120

    a9=a1+8d=48

    это система)
    из второго выражаем а1

    a1=48-8d

    подставляем в первое

    5(2(48-8d)+4d)\2=120

    5(96-16d+4d)=240

    96-12d=48

    12d=48

    d=4

    a1=48-8d=48-32=16

    S7=7(2a1+6d)\2=7(32+24)\2=7*56\2=196

  • Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 80. А ее пятый член равен 6. Найти сумму второго и четвертого членов прогрессии.


    Решение: S_10  =  80,  а_5  =  6.  Найти  а_2  +  а_4.
    Составим  систему.
    {s_10  =  (2a_1  +  9d)*10/2   {80  =  (2a_1  +  9d)*5 ->  2a_1  +  9d  =  16
    {a_5  =  a_1  +  4d  { 6  =  a_1  +  4d  ->  a_1  =  6  -  4d
    2*(6  -  4d)  +  9d  =  16
    12  -  8d  +  9d  =  16
    d  =  16  -  12
    d  =  4
    a_1  =  6  -  4d  =  6  -  4*4  =  6  -  16  =  -  10
    a_2  =  a_1  +  d  =  -10  +  4  =  -6
    a_4  =  a_2  +  2d  =  -6  +  2*4  =  -6  +  8  =  2
    a_2  +  a_4  =  -6  +  2  =  -4.
    Ответ.4

  • Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 9. найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии если ее четвертый член равен 9


    Решение: Пусть первое число прогрессии = х, а второе - х+а, тогда третье число = х+2а. Получаем, что сумма первых трех чисел = 3х+3а = 9, тогда х+а (второй член прогрессии) = 9/3 = 3. А четвертый член (х+3а) = 9.
    Тогда из четвертого вычитаем второй и получим: х+3а - (х+а) = 9-3  или 2а = 6. Тогда а = 3, а х = 3-3 = 0. Следоватлеьно, пятый член прогрессии будет равен: х+4а = 0+4*3 = 12. А сумма первых пяти членов: 9+9+12 = 30.

  • найти сумму семи первых членов арифметической прогрессии. если ее второй член в два раза больше первого. а четвертый член равен 12


    Решение: a(n) = a (n-1) + d

    a(4) = 12

    a(2) = 2*a(1)

    d = a(2) - a(1)

    -Решение-

    d = 2*a - a = a

    ФОРМУЛА СУММЫ ЧЛЕНОВ АР. ПРОГР.:

    S(n)= ( (    2*a(1)+d*(n-1)    )/2)*n

    S(7) =  ( ( 2a+6a ) / 2 ) *7 = 4a *  7 = 28a

                                                                          a(4) = a(1) *4 = 12/4 = 3

    S(7) = 28* 3 = 84

    Ответ: 84

<< < 567 8 9 > >>