прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 5

  • В арифметической прогрессии 21-й член равен −33, 38-й член
    равен 1, а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. Найдите n.


    Решение: \( a_n \) - арифметическая прогрессия

    $$ a_{21} =-33 $$

    $$ a_{38}=1 $$

    $$ S_{n} =0 $$

    $$ S_{n} = \frac{2a_1+(n-1)*d}{2} *n $$

    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$

    $$ a_{21} =a_1+20*d $$

    $$ a_{38} =a_1+37*d $$

    $$ \left \{ {{a_1+20d=-33} \atop {a_1+37d=1}} \right. $$
    $$ \left \{ {{-17d=-34} \atop {a_1+20d=-33}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-33-20d}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-33-20*2}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-73}} \right. \\ \frac{2*(-73)+(n-1)*2}{2} *n=0 \\ \frac{2*(-73+n-1)}{2} *n=0 \\ (n-74) *n=0 \\ n=74 $$ или n=0 - не удовлетворяет условию

    Ответ: 74

  • В арифметической прогрессии 18-й член равен -74, 37-й равен 2, а сумма первых n членов прогрессии равнв нулю. Найти n


    Решение: а1 + 17d = -74

    a1 + 36d = 2 (объединить эти два ур-я в систему, из второго вычесть первое ур-е)

    получится 

    19d = 76

    d = 4

    a1 + 17*4 = -74

    a1 = -142

    $$Sn =  \frac{2*a1 + (n-1)d}{2}*n \\ \frac{2*(-142) + (n-1)4}{2} *n = 0 $$ 

    все сократим получится

    -142 + 2n - 2 = 0

    2n = 144

    n = 72

  • найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если седьмой член равен 18,5, а семнадцатый равен -26,5


    Решение: 1. По формуле n-го числа an = a1 + (n-1)*d записываем a7 и a17:
    a7 = a1 +6d и a17 = a1 + 16d
    Решаем систему (вычитанием):
    18,5 = a1 +6d
    -26,5 = a1 + 16d
    a1 сокращается, получаем:
    -10d = 45
    d = -4.5
    2. Подставляем d = -4.5 в a7 и находим a1:
    18,5 = a1+6*(-4.5), откуда a1=45.5
    3. Подставляем в формулу Sn = (2a1 + (n-1)*d)/2*n
    S20 = (2*45.5+19*(-4.5))/2*20 = 5.5/2*20 = 55

    Ответ: 55
     

  • Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии если первый член равен 2 а седьмой член равен 20


    Решение: 1) Возрастающая арифметическая прогрессия, где n=3 ;
    а1=2, а2=5, а3=8, а4=11, а5=14, а6=17, а7=20, а8=23, а9=26, а10=29, а11=32, а12=35, а13=38, а14=41, а15=44, а16=47, а17=50, а18=53, а19=56, а20=59.

    Сумма чисел= (2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+ 35+38+41+44+47+50+53+56+59)=610.

  • Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии если её третий член равен -5, а пятый равен 2,4.


    Решение: A3=a1+2d; a5=a1+4d
    a1+2d=-5; a1+4d=2.4
    a1=-5-2d; a1=2.4-4d
    -5-2d=2.4-4d
    2d=7.4
    d=3.7
    a1=-5-2*3.7=-12.4
    S15=(2a1+d(n-1))/2 *n = (-24.8+3.7*14)/2 *15 = 202.5

    А_3  =  -5,  а_5  =  2,4  S_15  -  арифметическая  прогрессия.
    а_5  =  а3  +  2d  ->  2.4  =  -5  +  2d,  2d  =  5  +  2.4  -> d  =  3.7
    a_3  = a_1  +  2d  ->  -5  =  a_1  +  2*3.7,  a-1  =  -5  -  7.4  ->  a_1  =  -12.4
    S_15  =  (2a_1  +  14d)*15/2
    S_15=  (2*(-12.4)  +  14*3.7)*15/2  =  27*15/2  =  202.5
    Ответ.  202,5

<< < 345 6 7 > >>