прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 5
Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии равна 9 1/3, а разница между первым и третьим равна 2/3. найти четвертый член и номер члена прогрессии который равен -6
Решение: Составляем систему и решаем её:
а1+а3=9 1/3
а1-а3=2/3
выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение:
а1=9 1/3-а3
9 1/3-а3-а3=2/3 приводим подобные
-2а3=-8 2/3 делим на (-2), получаем: а3=4 1/3
находим а1: а1=9 1/3 - 4 1/3 =5.
найдем разность прогрессии d: а3=а1+2*d откуда d=(а3-а1)/2,
d=(4 1/3 - 5)/2= - 1/3
по формуле найдем а4: а4=а1+3d, а4 = 5 + 3* (-1/3)=5-1=4
чтобы найти номер члена надо использовать формулу: а с индексом n=а1+d*(n-1)
подставляем значения и находим n: -6=5-1/3*(n-1)
-1/3*(n-1)=-11
n-1=33
n=34
ответ: 4; 34Третий член арифметической прогрессии равен 11, первый член равен 3, найти сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: a1 = 3; a3 = 11; S10 --
a3 = a1 + 2d
11 = 3 + 2d
d = 4
a10 = a1 + 9d
a10 = 3 + 9 * 4 = 39
s10 = (a1 + a10)10 / 2
s10 = (3 + 39)10 /2 = 210
Ответ: 210
Находим разность прогресси: d=(11-3)/2=4 ;
Найдем 10-ый член прогрессии: a(10)=3+4*9=39;
И теперь уже находим суммус первых 10 членов: S(10)=(10*(3+39))/2=420/2=210.
Ответ: S(10)=210
Найти число членов арифметической прогресси, если известно, что её первый член равен 48, второй 44, а сумма всех членов равна 300.
Решение: Решение:
Дано:
а1=48
а2=44
Sn=300
Найти n ?
Sn=(a1+an)*n/2
an=a1+d*(n-1)
d=a2-a1=44-48=-4
an=48+(-4)*(n-1)
an=48-4n+4=52-4n
Подставим значение a1, an и S=300 в формулу Sn
300=[48+(52-4n)]*n/2
300*2=(48+52-4n)*n
600=(100-4n)*n
600=100n-4n^2
4n^2-100n+600=0 сократим, разделив каждый член уравнения на 4
n^2-25n+150=0
n1,2=(25+-D)/2*1
D=√(25²-4*1*150)=√(625-600)=√25=5
n1,2=(25+-5)/2
n1=(25+5)/2=30/2=15
n2=(25-5)/2=20/2=10
Проверим каждое из членов n1 и n2, подставив в формулу Sn=300
S15=[48+(52-4*15)]*15/2
300=[48+(52-60)]*7,5
300=(48-8)*7,5
300=40*7,5
300=300 - соответствует условию задачи
S10=[48+(52-4*10)]*10/2
300=[48+(52-40)]*5
300=(48+12)*5
300=60*5
300=300 -соответствует условию задачи
Ответ: в этой задаче имеет место два ответа число n1=15 и n2=10
1. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 6,9,12, чтобы их сумма была равна 132?
2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \( x_{n} \), если \( x_{3} \)=36,\( x_{4} \)=972.
3. Найти сумму всех натуральных чисел кратных 6 и меньше 200.
Решение: 1) для начала найдем разность арифм. прогрессии
$$ d=a_{n+1}-a_n \\ d=9-6=3 $$
формула для нахождения суммы членов прогрессии имеет вид
$$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
подставим известные данные
$$ 132= \frac{2*6+(n-1)*3}{2}*n \\ 264= 12n+3n^2-3n \\ 3n^2+8n-264=0 \\ D=3232 \\ n_1=-10.8 \\ n_2=8.1 $$
отрицательное значение нам не подходит, а второе округляем вверх n=9
2) найдем знаменатель геом. прогрессии
$$ q= \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ q= \frac{972}{36} =27 $$
сумма членов прогрессии находится по формуле
$$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ S_5= \frac{36(1-27^5)}{1-27}= \frac{36-516560652}{-26} =19867716 $$
Три числа, сумма которых равна 15,6, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии.
Решение: Пусть первое число x, тогда первый член геом. прогрессии x, второй \( qx \), третий \(q^2x\)Второй член арифм. прогрессии x, четырнадцатый $$ x+12d $$, пятидесятый $$ x+48d $$
Получается следующая система равенств:
$$ xeq0,\;deq0,\;qeq0\\ \begin{cases} qx=x+12d\\ q^2x=x+48d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} d=\frac{qx-x}{12}\\ d=\frac{q^2x-x}{48} \end{cases}\\ \frac{qx-x}{12}=\frac{q^2x-x}{48}\\ 4x(q-1)=x(q^2-1)\\ 4q-4=q^2-1\\ q^2-4q+3=0\\ D=16-4\cdot3=4\\ q_1=3,\;q_2=1 $$
Предположим, что знаменатель геом. прогрессии не равен 1, иначе решение задачи не имеет смысла.
Пусть q=3. Сумма трёх данных чисел есть сумма первых трёх членов геом. прогрессии с первым членом x и знаменателем q=3. Найдём x:
$$ S_3=\frac{x(q^3-1)}{q-1}\\ \frac{x(3^3-1)}{3-1}=15,6\\ 26x=31,2\\ x=1,2 $$
Тогда сумма первых 6 членов этой прогрессии
$$ S_6=\frac{1,2(3^6-1)}{3-1}=\frac{1,2\cdot728}{2}=0,6\cdot728=436,8 $$
Найдите сумму первых пяти членов:
а) арифметической прогрессии 2;5;8.
б) геометрической прогрессии 1;3;9.
Решение: Арифметическая:s=((2a1+d(n-1))/2)*n
d=a2-a1=5-2=3
d-разность
a2=5
a1=2
s=((2*2+3(5-1))/2)*5=40
n-количество членов прогрессии
геометрическая:s=b1*(q^n-1)/q-1
q=q2/q1=3/1=3
s=1*(3^5-1)/5-1=60.5
q-знаменатель
n-кол-во членов прогрессии
1) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (xn), если x2=-2,4 и d=1,2 2) Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии(bn), если
b2=-1\32
b3=1\16
Решение: 1) S10=( х1+х10):2*10х10=х1+9d
х1=х2-d
х1=-3,6
х10=-3,6+9*1,2
х10=7,2
S10= (-3,6+7,2)*5
S10= 18
2)Cначала найдем q
q=b3/b2
q= -2
b12=b1*q11
b1=b2/q
b1=-1/32 / -2
b1=1/64
b12= 1/64*(-2)^11
b12=-32
Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой геометрической прогрессии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся первые три члена некоторой арифметической прогрессии. Найдите сумму первых ста членов исходной арифметической прогрессии.
Решение:
Пусть первый, второй и пятый члены исходной арифметической прогрессии
а1 = х
а2 = x + d
а5 = x + 4d
Они же - это первые три члена геометрической прогрессии:
b1 = x, b2 = x + d, b2 = x + 4d,
значит
$$ \frac{x + d}{x} = \frac{x + 4d}{x + d} \\ (x + d)^{2} = x(x + 4d) \\ x^{2} + 2xd + d^{2} = x^{2} +4xd \\ d^{2} = 2xd \\ d = 2x $$
$$ x = \frac{d}{2} $$
Из них получаем первые три члена другой арифметической прогрессии:
с1 = b1+1 = x +1,
с2 = b2+1 = x + d +1,
с3 = b2 - 3 = x + 4d - 3
Тогда
$$ (x + d +1) - (x +1) = (x + 4d - 3) - (x + d +1) \\ x + d +1 - x - 1 = x + 4d - 3 - x - d - 1 \\ d = 3d - 4 \\ 2d = 4 \\ d = 2 $$
Значит а1 = х = d/2 = 2/2 = 1.
Тогда сумма первых ста членов исходной арифметической прогрессии равна:
$$ S_{100} = \frac{2 a_{1}+99d }{2} *100 = \frac{2 *1+99*2 }{2} *100 = (1+99)*100 = \\ = 100*100 = 10000 $$
Ответ: 10000.
Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой
геометрической прогрессии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся первые три члена некоторой арифметической прогрессии. Найдите сумму первых ста членов исходной арифметической прогрессии.
Решение: Так как члены представляют собой арифметическую прогрессию, то a2=a1+d, a5=a1+4d, где d - знаменатель арифметической прогрессии. Но так как эти же члены являются членами геометрической прогрессии, то a2=a1*q и a5=a1*q², где q - знаменатель геометрической прогрессии. По условию, a2+1=a1+1+d1, a5-3=a1+1+2d1, или a2=a1+d1, a5=a1+4+2d1. Из первого уравнения находим d1=d. Так как a5=a1+4d, то из второго уравнения следует уравнение 4d=4+2d, откуда d=2. Теперь, заменяя a2 на a1+2 и a5 на a1+8, получаем уравнения a1+2=a1*q, a1+8=a1*q². Из первого уравнения следует a1=2/(q-1). Подставляя это выражение во второе уравнение, приходим к квадратному уравнению q²-4q+3=0. Дискриминант D=(-4)²-4*1*3=4=2². Отсюда q=(4+2)/2=3 либо q=(4-2)/2=1. Но если q=1, то все члены геометрической прогрессии, а с ней и все члены исходной арифметической прогрессии, были бы равны, что было бы возможно лите при d=0. Но так как d=2≠0, то q≠1. Значит, q=3. Тогда a1=2/(3-1)=1, и искомая сумма S100=100*(a1+a100)/2=50*(a1+a100). Но a100=a1+99d=1+99*2=199, и тогда S100=50*(1+199)=10 000. Ответ: 10 000.1. Найдите 18 член арифметической прогрессии если a1=7, d=4;
2. Найдите сумму 16-ти первых членов арифметической прогрессии: -8; -4; 0.;
3. Найдите сумму пятидесяти первых четных натуральных чисел;
4. Найдите седьмой член геометрической прогрессии если b1=-25 и q=-1/5
Решение: №1 а18=7+17*4=7+68=75
№2 d=-4-(-8)=-4+8=4
а16=-8+15*4=-8+60=-52
S=(-8+52)/2 * 16=44/2 * 16=22*16=352
№3 а1=2, d=2
а50=2+2*49=2+98=100
S=(2+100)/2 * 50=102/2 *50=51*50=2550
№4 b7=-25* (-1/5)^6=-25/5^6=-1/5^4=-1/6253.
2; 4; 6;.
А₁=2
А₂=4
d=A₂-A₁=4-2=2
A₅₀=A₁+49d=2+49*2=2+98=100
S₅₀=(A₁+A₂)n =(2+100)*50=102*25=2550
2 2
Ответ: 2550
4.
b₇=b₁*q⁶=-25*(-1/5)⁶ =-5² * (1/5)⁶ = -5² * (5⁻¹)⁶ = -5² * 5⁻⁶ = -5⁻⁴ = -1/625
Ответ: -1/625
