прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 3

  • В арифметической прогрессии 21-й член равен −33, 38-й член
    равен 1, а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. Найдите n.


    Решение: \( a_n \) - арифметическая прогрессия

    $$ a_{21} =-33 $$

    $$ a_{38}=1 $$

    $$ S_{n} =0 $$

    $$ S_{n} = \frac{2a_1+(n-1)*d}{2} *n $$

    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$

    $$ a_{21} =a_1+20*d $$

    $$ a_{38} =a_1+37*d $$

    $$ \left \{ {{a_1+20d=-33} \atop {a_1+37d=1}} \right. $$
    $$ \left \{ {{-17d=-34} \atop {a_1+20d=-33}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-33-20d}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-33-20*2}} \right. \\ \left \{ {{d=2} \atop {a_1=-73}} \right. \\ \frac{2*(-73)+(n-1)*2}{2} *n=0 \\ \frac{2*(-73+n-1)}{2} *n=0 \\ (n-74) *n=0 \\ n=74 $$ или n=0 - не удовлетворяет условию

    Ответ: 74

  • В арифметической прогрессии 18-й член равен -74, 37-й равен 2, а сумма первых n членов прогрессии равнв нулю. Найти n


    Решение: а1 + 17d = -74

    a1 + 36d = 2 (объединить эти два ур-я в систему, из второго вычесть первое ур-е)

    получится 

    19d = 76

    d = 4

    a1 + 17*4 = -74

    a1 = -142

    $$Sn =  \frac{2*a1 + (n-1)d}{2}*n \\ \frac{2*(-142) + (n-1)4}{2} *n = 0 $$ 

    все сократим получится

    -142 + 2n - 2 = 0

    2n = 144

    n = 72

  • найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если седьмой член равен 18,5, а семнадцатый равен -26,5


    Решение: 1. По формуле n-го числа an = a1 + (n-1)*d записываем a7 и a17:
    a7 = a1 +6d и a17 = a1 + 16d
    Решаем систему (вычитанием):
    18,5 = a1 +6d
    -26,5 = a1 + 16d
    a1 сокращается, получаем:
    -10d = 45
    d = -4.5
    2. Подставляем d = -4.5 в a7 и находим a1:
    18,5 = a1+6*(-4.5), откуда a1=45.5
    3. Подставляем в формулу Sn = (2a1 + (n-1)*d)/2*n
    S20 = (2*45.5+19*(-4.5))/2*20 = 5.5/2*20 = 55

    Ответ: 55
     

  • Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии если первый член равен 2 а седьмой член равен 20


    Решение: 1) Возрастающая арифметическая прогрессия, где n=3 ;
    а1=2, а2=5, а3=8, а4=11, а5=14, а6=17, а7=20, а8=23, а9=26, а10=29, а11=32, а12=35, а13=38, а14=41, а15=44, а16=47, а17=50, а18=53, а19=56, а20=59.

    Сумма чисел= (2+5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+ 35+38+41+44+47+50+53+56+59)=610.

  • Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии если её третий член равен -5, а пятый равен 2,4.


    Решение: A3=a1+2d; a5=a1+4d
    a1+2d=-5; a1+4d=2.4
    a1=-5-2d; a1=2.4-4d
    -5-2d=2.4-4d
    2d=7.4
    d=3.7
    a1=-5-2*3.7=-12.4
    S15=(2a1+d(n-1))/2 *n = (-24.8+3.7*14)/2 *15 = 202.5

    А_3  =  -5,  а_5  =  2,4  S_15  -  арифметическая  прогрессия.
    а_5  =  а3  +  2d  ->  2.4  =  -5  +  2d,  2d  =  5  +  2.4  -> d  =  3.7
    a_3  = a_1  +  2d  ->  -5  =  a_1  +  2*3.7,  a-1  =  -5  -  7.4  ->  a_1  =  -12.4
    S_15  =  (2a_1  +  14d)*15/2
    S_15=  (2*(-12.4)  +  14*3.7)*15/2  =  27*15/2  =  202.5
    Ответ.  202,5

  • Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии, если ее третий член равен -6, а шестой равен 1,2.


    Решение: Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии, если ее третий член равен -6, а шестой равен 1,2.

    S15=[(а1+а15)/2 ]·15=[(2а1+14d)/2 ]·15

    найдем а1 и d

    а3=а1+2d=-6 а1+2d=-6
    a6=а1+5d=1,2 а1+5d=1,2 ⇔ 3d =7,2 ⇔ d =2,4 ⇔ a1=-6-2·2,4=-10,8

    S15=[(2а1+14d)/2 ]·15=  [2(-10,8)+14·(2,4))/2 ]·15=
    =[-10,8+7·2,4]·15=6·15=90

  • Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 225, а второй член равен 3. тогда сумма третьего и пятого её членнов равна


    Решение: Пусть первый член а, тогда второй а+d, третий а+2d. из этого a+(a+d)+(a+2d).+(a+14d)=225=15a+14d=225? получаем систему
    15a+105d=225
    a+d=3
    получаем из второго выражения (a+d=3), что а=3-d
    вставляем это в верхнее выражение 15(3-d)+105d=225, находим, что d=2, а а=3-2=1
    третий член равен a+2d=1+2*2=5, пятый  a+4d=1+4*2=9
    их сумма 5+9=14

    1\2(а1+А15)*15=225; 1\2(а1+а1+14д)=15; а1+7д=15 ; а2=а1+д; а1+д=3; 6д=12; д=2; а3=а1+2д; а5=а1+4д; а1=3-д=3-2; д=2; а1+2д+а1+4д=2а1+6д=2*1+6*2=14. Все) 

  • Найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, зная, что ее шестой член равен 4


    Решение: I- ый член арифм. прогрессии: \( a_i=a_1+(i-1)k;\) Тогда 6-й и 11-й равны соответственно \( a_6=a_1+5k;\) и \( a_11=a_1+10k;\) Выразим 1 и 11 члены через 6: \( a_6=a_1+5k; a_11=a_6+5k; \) Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна: \( S_n=(a_1+a_n)/2 n \)  Соответственно  сумма первых 11 членов равна: \( S_11=(a_1+a_11)/2 11=(a_6-5k+a_6+5k)/2 11= (2a_6)/2 11=11a_6 \) Подставляя значение 6-го члена равного 4, получаем $$S=11*4=44 $$

  • Найдите сумму 10 членов арифметической и геометрической возрастающих прогрессий, если известно, что первый член каждой прогрессии равен 2; третьи члены прогрессий равны между собой; пятый член арифметической прогрессии на 10 больше второго члена геометрической прогрессии.


    Решение: 1) Запишем прогрессии
    а (Арифмет.): 2; а2; а3; а4; а5; а6; а7; а8; а9; а10.

    b (Геометр.): 2; а5 - 10; а3; b4; b5; b6; b7; b8; b9; b10.

    2) Возьмём в систему: 

    q = b2/b1 = (a5 - 10) / 2 = 2*d - 4 

    {а3 = а1 + 2*d = 2 + 2*d

    {a3 = 2 * q^2 => a1 + 2*d = 2*(q^2)
    2 + 2*d = 8*d^2 - 32*d + 32
    8*d^2 - 34*d + 30 = 0

    4*d^2 - 17*d + 15 = 0 Дискр. = 49
    [ d = 3 Случай а
    [ d = 1.25 Случай б

     
    а) d = 3

    q = 2 

    q = -2 НЕ подходит, т. к. п. д. з. не выполняется условие: а5 = b2 + 10 

    a: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29.

    b: 2; 4; 8.

    Sa = (a1 + a10)/ 2 * 10 = 155

    Sb = b1*(1 - q^10)/ 1 - q = 2046

    б) d = 1,25

    q = 1.5 НЕ подходит, т. к. п. д. з. не выполняется условие: а5 = b2+10 

    q = -1.5 

    a: 2; 3,25; 4,5; 5,75; 7.

    b: 2; -3; 4,5. 

    Sa = (a1 + a10)*10 / 2 = 76.25

    Sb = b1*(1 - q^10) / (1-q) = - 45.3 
        Oтвет: 1) Sa = 155

      Sb = 2046

      2)  Sa = 76.25
      Sb = -45.3




  • Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите первый член арифметической прогрессии, при условии, что он не равен её второму члену.


    Решение: Члены арифметической прогрессии обозначим An, геометрической Bn.
    Тогда имеем:
    13A1+78d=130(из формулы суммы первых членов арифметической прогрессии Sn=((2A1+d(n-1))/2)*n), что равносильно
    A1+6d=10

    A4=A1+3d=B1 
    A10=A1+9d=B1*q
    A7=A1+6d=B1*q^2

    B1*q^2=10
    B1+3d=10
    B1+6d=B1*q

    B1=10/q^2(Выражаем B1 из первого уравнения)
    B1=10-3d(Выражаем B1 из второго уравнения)
    3d=10-B1(теперь 3d из второго)
    3d=10-10/q^2(подставляем сюда значение B1 из первого)
    10+3d=10/q(подставляем вместо B1 соответственно 10-3d и 10/q^2)
    10+10-10/q^2=10/q
    20-10/q^2-10/q=0
    20q^2-10q-10=0
    2q^2-q-1=0
    D=1+8=9
    q1=(1-3)/4=-1/2
    q2=(1+3)/4=1
    Зная q, можно найти все остальное:
    B1*q^2=10
    B1=10/q^2
    3d=10-B1
    Для q=-1/2 B1=40, 3d=10-40=-30, d=-10
    Для q=1 B1=10, 3d=10-B1=0, d=0.
    Так как нам известно что первый член арифметической прогрессии не равен второму, то корень q=1 не подходит (так как d=0). Значит, d=-10.
    Найдем A1.
    A1+3d=B1
    A1-30=40
    A1=70.
    Ответ: A1=70.

<< < 123 4 5 > >>