прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 9

  • Дана арифметическая прогрессия y1=−323,y2=−113,… Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.


    Решение: С помощью y1 И y2 найдем d(разность ариф. прогрессии).
    d=y2-y1=-113+323=210
    Находим y6 для того, чтобы найти сумму первых шести членов этой прогрессии.
    y6=y1+5d=y2+4d=-113+210*4=727
    S6=((y1+y6)/2)*6=1212
    Формула нахождения суммы ариф. прогрессии:
    Sn  = ((a1 + an)/2)*n  

    , ответ 1212

    С помощью y И y найдем d разность ариф. прогрессии .d y -y - Находим y для того чтобы найти сумму первых шести членов этой прогрессии.y y d y d - S y y Формула нахождения сум...

  • 1. Дана арифметическая прогрессия -2,0,2,4.

    Найдите сумму первых петнадцати ее членов.

    2. из формулы s=at^2/2 выразите a


    Решение: №1) Дано:  -2,0,2,4. арифметическая прогрессия

      Найти: S14

      Решение:

    а1 = -2

    d = a4-a3 = 4-2 = 2

    Sn = ((2а1+d*(n-1)) / 2 ) *n

    S14 = ((2*(-2)+2*(14-1)) / 2 ) *14 = 154

    Ответ: S14 = 154.

    №2)

    s=at^2/2

    а = (2 * s) / t ^ 2 
    Ускорение равно отношению удвоенного расстояния на квадрат времени. 

    1) a1=-2 d=a2-a1=2

    a15=a1+(n-1)*d a15= -2+(15-1)*2 a15=26

    Sn=((a1+an)/2)*n S15=((-2+26)/2)*15 S15=180

  • 1) В трапеции ABCD AB=BC=CD. Точки K,L,M и N - середины сторон трапеции. Найдите наибольший угол четырёхугольника KLMN, если угол BAD равен 40∘. Ответ дайте в градусах.

    2) В стакане с ручками стоят 6 ручек, которые еще пишут, и 4 ручки, которые уже не пишут. Случайно выбирается одна ручка, с какой вероятностью она пишет?

    3) Дана арифметическая прогрессия y1=−323,y2=−113,… Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

    4) Диагонали ромба равны 24 и 7,5. Найдите его площадь.

    5) Какие из следующих утверждений верны? В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC угол A равен 43∘, угол C равен 72∘,AC - меньшая сторона. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Любые два равнобедренных треугольника подобны.


    Решение: К задаче №1.

    1) KB=BL (так как AB=BC и точки K и L - середины)

    2) угол ABC=140 градусов (т. к. сумма углов при боковой стороне трапеции 180) (180-40=140)

    3) угол KLB=углу BKL=20 градусов (свойство равнобедренного треугольника) (180-140)/2=20

    4) треугольник LCM=треугольнику KBL (по 1-му признаку и п.1)

    5) Наибольший угол KLMN равен 180-2*20=140

    Этот четырёхугольник является ромбом, т. к. KL=LM=MN=NA (это средние линии треугольников ABC и ADC)

    К задаче №3.

    1) найдём d=y2-y1=-113+323=210

    2) По формуле суммы n членов арифметической прогрессии:

    S(6)=6*(2*(-323)+210*5)/2=1212

    К задаче №4.

    1) Воспользуйтесь формулой S ромба=(1/2)*d1*d2, получим 24*7,5/2=90

    К задаче №5.

    Верными являются утверждения №1 и 4

  • Дана арифметическая прогрессия ( Cn ) c5 = 27 c27 = 60 найдите сумму первых 8 членов прогрессии


    Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии:
    $$ c_n=c_1+(n-1)d $$
    $$ c_5=c_1+4d, \\ 27=c_1+4d \\ c_{27}=c_1+26d, \\ 60=c_1+26d, $$
    Осталось решить систему двух уравнений с двумя переменными $$ c_1 $$  и  d
    $$ \left \{ {{c_1+4d=27} \atop {c_1+26d=60}} \right. $$
    Вычитаем из второго уравнения первое:
    22d=33
    d=1,5
    c₁=27-4d=27-4·1,5=27-6=21
    c₈=c₁+7d=21+7·1,5=31,5
    $$ S_8= \frac{c_1+c_8}{2}\cdot n= \frac{21+31,5}{2}\cdot 8=210 $$

  • Дана арифметическая прогрессия аn. известно что а1+а4+а13 =-27 Найдите сумму первых 11 членов?


    Решение: Мы знаем формулу суммы арифметической прогрессии вида

    $$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n $$

    У нас же с данным значением найти сумму 11 она будет выглядеть так

    $$ S_{11}=\frac{2a_{1}+10d}{2}*11 $$

    Сл-но для нас надо найти главное значение вверху дроби. Я сделала так

    Представим а1+а4+а13 =-27 так а1+а1+3d+а1+12d=-27

    Выносим общий множитель

    3(а1+5d)=-27

    а1+5d=-9

    Теперь полученное значение а1+5d=-9 прибавляем к прошлой сумме 3а1+15d=-27 и у нас получается

    4a1+20d=-36  Можно сказать вот мы и нашли то чт нам нужно. Делим получившееся выражения на 2

    4a1+20d=-36 | :2

    2a1+10d=-18 Вот что мы и  искали. Ну а теперь нам легко найти сумму

    $$ S_{11}=\frac{2a_{1}+10d}{2}*11 $$

    В эту формулу подставляем найденные значения и получаем

    $$ S_{11}=\frac{-18}{2}*11=-9*11=-99 $$

  • Тема: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

    Из пункта A выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в том же направлении из пункта В отправился легковой автомобиль, который в первый час прошёл 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта B до пункта А равно 135?


    Решение: Скорость грузового - 40, легкового - 50

    за первый час легковой догонит грузового на 50-40=10 км

    за второй на 10+(55-40)=25 км. и тд. каждый час все больше.

    Положим, что первый член равен 10, тогда второй - 15, третий 20 и т. д.

    Сумма членов прогрессии 10,15,20,25. должна равнятся 135

    Сумма АП равна $$ S=\frac{a1+an}{2}n $$, но т. к. последний член не известен выразим an через a1 и n: $$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$ и формулу суммы можно переписать в виде $$ S=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)d}{2}n=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}n $$

    Подставим известные данные

    $$ 135=\frac{2*10+(n-1)5}{2}n $$

    $$ 135=10n+\frac{5n^{2}}{2}-\frac{5n}{2}-135=0 $$

    Решим квадратное уравнение

    $$ 5n^{2}+15n-270=0 $$

    Положительный корень x = 6 показывает количество членов Ап. т. е. часов за которые легковой догонит грузового

  • найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии
    а) -23,20
    и объясните почему именно та или иная формула.


    Решение: -23 -20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 Sn=(a1+an/2)*n=(-23+(-2)/2)*6=-75

    Sn Сумма первых  членов арифметической прогрессии

    a1первый член прогрессии

    an член с номером n

     n— количество суммируемых членов

    1) а1=-23 d=-20+23=3

    2) по формуле н-ого члена

    а(n)=а1+(n-1)d

    а8= -23+(8-1)3=-2

    3) по формуле S(n)=((а1+аn)/2)*8

    S8=((-23-2)/2)*8=100

    - - - - - - - - Sn a an n - - - Sn Сумма первых  членов арифметической прогрессии a первый член прогрессии an член с номером n  n количество суммируемых членов а - d - по фор...

  • Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии (An) если известно что А1=73, d=-1


    Решение: Нужно найти S100. Берем основную формулу 2A1+(n-1)×d/2 *n

    n- индекс, допустим нужно найти сумму 50 членов, тогда n=50, если 10 то n=10

    Подставляем

    S₁₀₀=73+(100-1)×(-1)/2 ×100=-1450

    Для нахождения членов арифметической прогрессии, при известном первом члене и d, нужно к каждому последующему члену добавлять число d. Тоесть, для нахождения второго члена нужно A1+d=A2

    A3=A2+d

    A4=A3+d

    и так далее.

  • Сумма первых 8ми членов арифметической прогрессии равна 88, сумма 3го и5го членов равна 18, найти 7 член прогрессии


    Решение: $$ S_{n}= \frac{2a_1+(n-1)d}{2} *n $$
    $$ a_n=a_1+(n-1)d $$
    $$ S_8= \frac{2a_1+7d}{2} *8 $$
    $$ a_3=a_1+2d $$
    $$ a_5=a_1+4d $$
    $$ a_3+a_5=a_1+2d+a_1+4d=2a_1+6d $$
    $$ \left \{ {{ \frac{2a_1+7d}{2}*8=88 } \atop {2a_1+6d=18}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ \frac{2a_1+7d}{2}=11 } \atop {2a_1+6d=18}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ {2a_1+7d}=22 } \atop {2a_1+6d=18}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ {d}=22-18 } \atop {2a_1+6d=18}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ {d}=4 } \atop {a_1+3d=9}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ {d}=4 } \atop {a_1+3*4=9}} \right. $$
    $$ \left \{ {{ {d}=4 } \atop {a_1=-3}} \right. $$
    $$ a_7=a_1+6d=-3+6*4=-3+24=21 $$
    Ответ: $$ 21 $$

  • 1. Известно, что в арифметической прогрессии сумма ее первых 11 членов равна 22. Чему равна сумма а4+2а6+а8.

    2. В арифметической прогрессии сумма трех членов равна 30, а6-а4=-4 и аn=-10. Чему равно n?


    Решение: 1. s=((2a1+10d) /2) *11

    2a1+10d = 1

    a1+3d+2a1+10d+a1+7d = 2(a1+10d)=2

    2/ 30=2a1+2d /2 *3

    a1+5d-a1-3d=-4

    2d=-4

    d=-2

    30=2a1-4 /2 *3

    2a1=24

    a1=12

    an = a1+d(n-1)

    -10= 12+(-2)(n-1)

    n-1=11

    n=12

    2. если а6-а4=-4, то d=-2
    S3=(а1+аn)/2 * n, 30=(a1-10)/2*3, 30=(3a1-30)/2, 60=3a1-30, 3a1=90, a1=30
    an=a1+(n-1)d,10=30+(n-1)*(-2),10=30-2n+2, 2n=2+30+10, 2n=42,
    n=21 
    1. Sn=(a1+an)/2 * n, 22=(a1+a11)/2 * 11, 22=(11a1+11a11)/2, 44=11a1+11a11, 4=a1+a11.
    В эту формулу подставляем наши данные :
    $$ a_{1+p}+a_{n-p}=a_{1}+a_{n} $$ 
    получаем а4+а8=а1+а11 б а4+а8=4
    и 2а6=а1+а11, 2а6=4
     а4+2а6+а8 - (а4+а8)+2а6=4+4=8

<< < 789 10 11 > >>