прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 9

  • Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии равна 9 1/3, а разница между первым и третьим равна 2/3. найти четвертый член и номер члена прогрессии который равен -6


    Решение: Составляем систему и решаем её:
    а1+а3=9 1/3
    а1-а3=2/3
    выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение:
    а1=9 1/3-а3
    9 1/3-а3-а3=2/3 приводим подобные
    -2а3=-8 2/3 делим на (-2), получаем: а3=4 1/3
    находим а1: а1=9 1/3 - 4 1/3 =5.
    найдем разность прогрессии d: а3=а1+2*d откуда d=(а3-а1)/2,
    d=(4 1/3 - 5)/2= - 1/3
    по формуле найдем а4: а4=а1+3d, а4 = 5 + 3* (-1/3)=5-1=4
    чтобы найти номер члена надо использовать формулу: а с индексом n=а1+d*(n-1)
    подставляем значения и находим n: -6=5-1/3*(n-1)
    -1/3*(n-1)=-11
    n-1=33
    n=34
    ответ: 4; 34

  • Третий член арифметической прогрессии равен 11, первый член равен 3, найти сумму первых десяти членов прогрессии.


    Решение: a1 = 3; a3 = 11; S10 -

    -

    a3 = a1 + 2d

    11 = 3 + 2d

    d = 4

    a10 = a1 + 9d

    a10 = 3 + 9 * 4 = 39

    s10 = (a1 + a10)10 / 2

    s10 = (3 + 39)10 /2 = 210

    Ответ: 210

    Находим разность прогресси: d=(11-3)/2=4 ;

    Найдем 10-ый член прогрессии: a(10)=3+4*9=39;

    И теперь уже находим суммус первых 10 членов: S(10)=(10*(3+39))/2=420/2=210.

    Ответ: S(10)=210

  • Найти число членов арифметической прогресси, если известно, что её первый член равен 48, второй 44, а сумма всех членов равна 300.


    Решение: Решение:
    Дано:
    а1=48
    а2=44
    Sn=300
    Найти n ?
    Sn=(a1+an)*n/2
    an=a1+d*(n-1)
    d=a2-a1=44-48=-4
    an=48+(-4)*(n-1)
    an=48-4n+4=52-4n
    Подставим значение a1, an и S=300 в формулу Sn
    300=[48+(52-4n)]*n/2
    300*2=(48+52-4n)*n
    600=(100-4n)*n
    600=100n-4n^2
    4n^2-100n+600=0 сократим, разделив каждый член уравнения на 4
    n^2-25n+150=0
    n1,2=(25+-D)/2*1
    D=√(25²-4*1*150)=√(625-600)=√25=5
    n1,2=(25+-5)/2
    n1=(25+5)/2=30/2=15
    n2=(25-5)/2=20/2=10
    Проверим каждое из членов n1 и n2, подставив в формулу Sn=300
    S15=[48+(52-4*15)]*15/2
    300=[48+(52-60)]*7,5
    300=(48-8)*7,5
    300=40*7,5
    300=300 - соответствует условию задачи

    S10=[48+(52-4*10)]*10/2
    300=[48+(52-40)]*5
    300=(48+12)*5
    300=60*5
    300=300 -соответствует условию задачи

    Ответ: в этой задаче имеет место два ответа число n1=15 и n2=10




  • 1. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 6,9,12, чтобы их сумма была равна 132?
    2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \( x_{n} \), если \( x_{3} \)=36,\( x_{4} \)=972.
    3. Найти сумму всех натуральных чисел кратных 6 и меньше 200.


    Решение: 1) для начала найдем разность арифм. прогрессии
    $$ d=a_{n+1}-a_n \\ d=9-6=3 $$
    формула для нахождения суммы членов прогрессии имеет вид
    $$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
    подставим известные данные
    $$ 132= \frac{2*6+(n-1)*3}{2}*n \\ 264= 12n+3n^2-3n \\ 3n^2+8n-264=0 \\ D=3232 \\ n_1=-10.8 \\ n_2=8.1 $$
    отрицательное значение нам не подходит, а второе округляем вверх n=9

    2) найдем знаменатель геом. прогрессии
    $$ q= \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ q= \frac{972}{36} =27 $$
    сумма членов прогрессии находится по формуле
    $$ S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\ S_5= \frac{36(1-27^5)}{1-27}= \frac{36-516560652}{-26} =19867716 $$

  • Три числа, сумма которых равна 15,6, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии.


    Решение: Пусть первое число x, тогда первый член геом. прогрессии x, второй \( qx \), третий \(q^2x\)

    Второй член арифм. прогрессии x, четырнадцатый $$ x+12d $$, пятидесятый $$ x+48d $$

    Получается следующая система равенств:

    $$ xeq0,\;deq0,\;qeq0\\ \begin{cases} qx=x+12d\\ q^2x=x+48d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} d=\frac{qx-x}{12}\\ d=\frac{q^2x-x}{48} \end{cases}\\ \frac{qx-x}{12}=\frac{q^2x-x}{48}\\ 4x(q-1)=x(q^2-1)\\ 4q-4=q^2-1\\ q^2-4q+3=0\\ D=16-4\cdot3=4\\ q_1=3,\;q_2=1 $$

    Предположим, что знаменатель геом. прогрессии не равен 1, иначе решение задачи не имеет смысла.

    Пусть q=3. Сумма трёх данных чисел есть сумма первых трёх членов геом. прогрессии с первым членом x и знаменателем q=3. Найдём x:

    $$ S_3=\frac{x(q^3-1)}{q-1}\\ \frac{x(3^3-1)}{3-1}=15,6\\ 26x=31,2\\ x=1,2 $$

    Тогда сумма первых 6 членов этой прогрессии 

    $$ S_6=\frac{1,2(3^6-1)}{3-1}=\frac{1,2\cdot728}{2}=0,6\cdot728=436,8 $$

<< < 789 10 11 > >>