сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 11
Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₂ = - 6; a₃ = -2
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если х₂ = -2,4 и d = 1,2
Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии, если b₂ = - 1/32; b₃ = 1/16
Решение: D=a{3} -a{2}=-2+6=4
a{1}=-10
a{15} = a{1} +(n-1)*4 = -10+14*4=46Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₂ = - 6; a₃ = -2
d=4
a1=-10
a15=a1+14d=-10+56=46
Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если х₂ = -2,4 и d = 1,2
x1=-3.6
d=1.2
S10=(2a1+9d)/2*10=(-7.2+10.8)/2*10=18
Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии, если b₂ = - 1/32; b₃ = 1/16
q=1/16 : -1/32= -2
b1=1/64
b12=b1^q^11=1/64*(-2)^11=-32Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.
Решение:Из первого условия получаем уравнение b₁+b₂+b₃=91
$$ b_1=7; b_2=21; b_3=63 $$
b₁+b₁q+b₁q²=91
b₁*(1+q+q²)=91 (1)
из второго условия следует, что b₂+27-(b₁+25)=(b₃+1)-(b₂+27)
b₂-b₁+2=b₃-b₂-26
2b₂+28=b₁+b₃
b₁-2b₂+b₃=28
b₁(1-2q+q²)=28 (2)
Поделим (1) на (2)
Получим (1+q+q²)/(1-2q+q²)=13/4
4+4q+4q²=13-26q+13q²
9q²-30q+9=0
3q²-10q+3=0
D/4=25-9=16
q₁=3
q₂=1/3
найдем b₁
b₁(1+3+3²)=91
b₁=7
или b₁(1+1/3+1/3²)=91
13/9*b₁=91
b₁=63
Тогда b₇=b₁*q⁶=7*3⁶=7*729 - больше 1000
или b₇=63*(1/3)⁶=7*3²/3⁶=7/3⁴=7/81
Ответ:b₇=7/81Методом математической индукции докажите
1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
2) \( \displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2} \)формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
3) формулу общего члена геометрической прогрессии
\( \displaystyle b_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \) при \( q eq 1 \)
Решение: 1)
База индукции: 1
$$ a_1=a_1+d*0=a_1 $$ проверено.
Предположим, что утверждение верно для n=k.
$$ a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d $$
Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.
$$ a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk $$
Так как, следуя предположению $$ a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d $$ то прибавив к данному выражению d. Мы получим следующий член $$ a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk $$.
Т. е. предположение верно. Ч. Т. Д.
2)
$$ S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2} $$
База : 1
Проверка: \( S_1= \frac{2a_1}{2}=a_1 \).
Предположение: $$ n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2} $$
Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при \(n=k+1\):
Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):
$$ S_{k+1}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= \frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\\= \frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= \frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\\ = \frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2} $$
т. е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч. Т. Д.
3)
Это не формула общего члена, это формула суммы.
При q=1 получается деление на ноль, поэтому сразу пишем \(q eq 1\)
База: 1
$$ b_1= \frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1 $$
Предположим, что формула верна для: n=k.
Покажем и докажем что формула верна для n=k+1:
Как и с суммой арифм. прогрессии мы добавим k+1 член к сумме.
$$ b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q} $$
Ч. Т. Д.Какое число не является членом арифметической прогрессии 3;9;15
А:21 Б:51 В:46 Г:63
Найти десятый член арифметической прогрессии, если А9 +А11=350
Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2;7;12
Решение: 1. прогрессия идет через 6, значит 3;9;15;21;27;33;39;45;51;57;63;69, так как 46 здесь нет, то ответ В: 462. А9+А11=350
А(9+11)=350
А(20)=350
если А20=350, то А10=А20:2
А10=350:2
А10=175
Ответ: десятый член этой геометрической прогрессии равен 175
3. прогрессия идет через 5, значит 10 первых членов будут: 2;7;12;17;22;27;32;37;42;47
2+7+12+17+22+27+32+37+42+47= 245
Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле S=2n^2+3n. найти 15 член этой прогрессии
Решение: Очевидно что: a15=s(15)-s(14)= 2*15^2+3*15 -2*14^2 -3*14=2*(15^2-14^2) +3=
2*1*29+3=61
Ответ:61. Преимущество данного метода он годится не только для арифметической прогрессии. Но и других последовательностей. По сумме n члена последовательности всегда можно определить ее n член.
W(n)=Sw(n)-Sw(n-1)
