прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 11

  • Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма третьего и седьмого равна 13, а произведение четвёртого и шестого равно 42.


    Решение: Sn=((2a1+(n-1)*d)/2)*n

    a3 = a1+(n-1)*d 

    составим систему

    a3+a7=13

    a4*a6=42

    преобразуем

    a1+2d+a1+6d = 13 (отсюда выразим a1 = (13-8d)/2 и подставим во второе выражение)

    (a1+3d) * (a1+5d) = 42

    после упрощения

    169 - 4*d^2 = 168

    d = 1/2

    тогда a1 = 4.5

    Sn = ((9+4)/2)*5 = 32.5

  • Cумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 100, а сумма первых 10 членов этой прогрессии равна 10. найдите наименьший положительный член прогрессии


    Решение: Вроде так:
    по формуле суммы п членов арифм. прогрессии получим:
    $$ \frac{2 a{1}+d(20-1) }{2}*20=100 \frac{2 a{1}+d(10-1) }{2}*10=10 $$
    решим систему уравнений
    $$ \left \{ {{2a1+19d=10} \atop {2a1+9d=2}} \right. $$
    10d=8
    d=8/10=0.8
    a1=(2-9d)/2=(2-9*0.8)/2=-2.6
    a4=-2.6+4*0.8=0.6

    A1+a1+d+.+a1+19d=20a1+190d=100
    a1+a1+d+.+a1+9d=10a1+45d=10
    20a1+190d=100
    20a1+90d=20
    100d=80
    d=0.8
    10a1+36=10
    a1=-2.6
    a1+(n-1)d>0
    -2.6+0.8n-0.8>d
    0.8n>-3.4
    n>4.25
    n=5
    a5=-2.6+4*0.8=0.6

  • Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 117, а сумма последовательных членов этой прогрессии, начиная с десятого номера и до пятнадцатого включительно, равна 213. Найдите четвертый член прогрессии.


    Решение: $$ (a_n)\\S_9=117\\S_{10-15}=213\\a_4-\\\\S_9= \frac{2a_1+8d}{2}*9=(a_1+4d)*9=9a_1+36d\\\\S_{10-15}=S_{15}-S_9\\S_{15}= \frac{2a_1+14d}{2}*15=(a_1+7d)*15=15a_1+105d\\\\S_{10-15}=15a_1+105d-(9a_1+36d)=15a_1+105d-9a_1-36d=\\=6a_1+69d\\\\ \left \{ {{9a_1+36d=117} \atop {6a_1+69d=213}} \right.\\\\ \left \{ {{a_1+4d=13|*(-2)} \atop {2a_1+23d=71}} \right.\\\\ \left \{ {{-2a_1-8d=-26} \atop {2a_1+23d=71}}+ \right.\\\\15d=45\\d=3\\\\a_1+4*3=13\\a_1+12=13\\a_1=1\\\\a_4=a_1+3d=1+3*3=1+9=10 $$
    Ответ: 10

  • 1) Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 0, а сумма четвертого, пятого и шестого членов равна 18. Найти шестой член прогрессии
    2) Шестой и девятый члены арифметической прогрессии равны, соответственно, 15 и 21. Найдите шестнадцатый член этой прогрессии.


    Решение: Sn = (2a1 + (n-1)d)n/2
    S3 = (2a1 +2d)3/2 = 0
    2a1 + 2d = 0
    an = a1 + (n-1)d
    a4 = a1 + 3d
    a5 = a1 + 4d
    a6 = a1 + 5d
    a4+a5+a6 = a1 + 3d+ a1 + 4d + a1 + 5d = 3a1 + 12d = 18
    Система  2a1 + 2d = 0 и 3a1 + 12d = 18
    a1 + d = 0
    a1+ 4d = 6
    a1 = -d
    -d + 4d = 6
    3d = 6
    d = 2
    a1 = -2
    a6 = -2 + 5*2 = -2 + 10 = 8
    2) an = a1 + (n-1)d
    a6 = a1 + 5d
    a9 = a1 + 8d
    Система
    a1 + 5d = 15 
    a1 + 8d = 21
    a1 = 15 - 5d
    15 - 5d + 8d = 21
    3d = 6
    d = 2
    a1 = 15 - 2*5 = 5
    a16 = 5 + 2*15 = 5 + 30 = 35

  • Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна -2, а сумма второго и шестого ее членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.


    Решение: Система
    a₁+a₅=-2 a₁+a₁+4d=-2 2a₁+4d=-2
    a₂+a₆=2; a₁+d+a₁+5d=2 2a₁+6d=2
    отнимем
    -2d=-4
    d=2
    a₁=-5
    s₁₀=((2*a₁+9d)/2)*10=40

    Система
    a₁+a₅=-2 a₁+a₁+4d=-2 2a₁+4d=-2
    a₂+a₆=2; a₁+d+a₁+5d=2 2a₁+6d=2
    отнимем
    -2d=-4
    d=2
    a₁=-5
    s₁₀=((2*a₁+9d)/2)*10=40

  • Сумма первых семнадцати членов арифметической прогрессии равна 85, а сумма первых ее двадцати одного члена равна 189. Сколько положительных трехзначных чисел содержится в этой прогрессии?",


    Решение: S17=85

    S21=189

    система:

    2a1+16d=10

    2a1+20d=18

    a1+8d=5

    a1+10d=9

    a1=-11

    d=2

    ОТВЕТ: 450

    см. влож

    S S система a d a d a d a d a - d ОТВЕТ см. влож...

  • Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 124, а сумма четырех последних ее членов -156. сколько членов в этой прогрессии, если известно, что их сумма равна 350?


    Решение: S4 = 124
    Sn-3,n=156
    Sn=350
    n-
    3 записи условия дадут нам 3 уравнения, с которыми мы и будем возиться.
    1) S4 = 124
    (a1 + a4)·4/2 = 124
    а1 + а4 = 62
    а1 + а1 + 3d = 62
    2a1 + 3d = 62 ⇒ 2a1 = 62 - 3d
    2) (an-3 + an)·4/2 = 156
    a1 +d(n-4) + a1 + d (n-1) 78 
    2a1 + d( n - 4 + n -1) = 78
    2a1 + d(2n -5) = 78
    62 -3d + d(2n - 5) = 78
    d(-3 +2n - 5) = 78 - 62
    d(2n - 8) = 16 ⇒ d = 16/(2n - 8)
    3) Sn = 350
    (a1 + an)·n/2 = 350
    (a1 + a1 + d(n - 1))·n = 700
    (2a1 + d(n - 1))·n = 700
    ( 62 - 3d + d(n -1)·n = 700
    (62 +d(-3 + n -1))·n = 700
    (62 +d(n - 4))·n = 700
    (62 + 16/2(n-4)·(n -4))·n = 700
    70n = 700
    n = 100

  • В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна 14, сумма первых двенадцати членов равна 129. Найдите количество первых членов прогрессии, которые необходимо взять, чтобы их сумма была равна 195.


    Решение: A3+a5=14
    S12=129
    Sn=195
    Решение:
    По формуле: an=a1+(n-1)d
    a3=a1+2d
    a5=a1+4d
    a3+a5=(a1+2d)+(a1+4d)=2a1+6d=14
    отсюда:
    a1+3d=7 (*)
    По формуле: Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2
    S12=(2a1+11d)*12/2=(2a1+11d)*6=129
     отсюда:
    (2a1+11d)*6=129 (**)
    Решим систему уравнений (*) и (**):
    a1+3d=7
    (2a1+11d)*6=129 
     a1=7-3d 
    12a1+66d=129 
    12*(7-3d)+66d=129 
    84-36d+66d=129 
    -36d+66d=129-84
    30d=45
    d=1,5
     a1=7-3*1,5=7-4,5=2,5 
    Аналогично по формуле: Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2
    Sn=(2*2,5+(n-1)*1,5)*n/2=(5+(n-1)*1,5)*n/2=195
    (5+(n-1)*1,5)*n=195*2
    (5+1,5n-1,5)*n=390
    (3,5+1,5n)*n=390
    1,5n^2+3,5n-390=0 умножим на 2
    3n^2+7n-780=0
    D=7^2-4*3*(-780)=49+9360=9409
    n1=(-7+97)/(2*3)=90/6=15
    n2=(-7-97)/(2*3)=-104/6=-52/3 не подходит
    Ответ: n=15/

  • Найти число членов арифметической прогрессии в которой сумма n первых членов равна (-25) а1=3 аn=-13


    Решение: Для прогрессии есть формула:
    an = a1 + (n-1)d
    a1 = 3
    an = -13
    Sn = -25
    Самое быстрое решение тут - метод подбора. 
    От a1 до an у нас должно идти какое-то количество чисел, чтоб их сумма была равна -25. 
    Попробуем вставить между ними число -5.
    -5 - потому что 3 - 8 = -5 и -13 + 8 = -5 то есть среднее между ними
    3 - 5 - 13 = -15 получается. Нам это не подходит. 
    Вставить 2 числа между 3 и -13 не получится, потому что 3 - (-13) = 16, а 16 на 3 не делится.
    Поэтому вставим 3 числа.
    16 : 4 = 4
    3 - 4 = -1
    -1 - 4 = -5
    -5 - 4 = -9
    Считаем сумму:
    3 - 1 - 5 - 9 - 13 = -25
    Число членов прогрессии = 5:
    a1 = 3
    a2 = -1
    a3 = -5
    a4 = -9
    a5 = -13
    Если не нравится делать методом подбора - можно сделать по формуле. Там и короче получается, просто методом подбора - понятнее.
    
    S = n(a1 + an)/2
    S = -25
    n(a1+an)/2 = -25
    n(a1+an) = -25 * 2 
    n(a1+an) = -50
    n(3-13) = -50
    -10n = -50
    n = 5
    Ответ: Число членов = 5

  • найдите три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.


    Решение: 1). Пусть первый член прогрессии равен a, а разность равна d.
    Сумма n первых членов равна
    (2*a+d*(n-1))*n/2=3n²
    2*a-d+d*n=6n
    2*a-d=(6-d)*n
    Чтобы равенство выполнялось независимо от n необходимо выполнение условия 6-d=0 => d=6. 
    Получим 2*a-6=0 => a=3
    Это приводит нас к ответу. Первые члены 3, 9, 15.

<< < 91011 12 13 > >>