прогрессия »
сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 13
В арифметической прогрессии сумма первого и шестого членов равна 11, а сумма второго и четвертого членов равна 10. Найти сумму шести членов этой
прогрессии.
Решение: {a1+ a6=11 a2+a4=10
Выразим а2, а4, а6 через первый член арифметической прогрессии и разность прогрессии (d)
a2=a1+d a4=a1+3d a6=a1+5d и подставим в систему:
{a1+a1+5d=11 a1+d+a1+3d=10
{2a1+5d=11 2a1+4d=10
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на (-1) и сложим со вторым:
{-2a1-5d=-11 + 2a1+4d=10
-d=-1
d=1
2a1+4=10
a1=3 (подставили найденное значение d во второе уравнение системы и нашли первый член прогрессии.)
По формуле суммы n-первых членов прогрессии найдём сумму первых шести членов этой прогрессии:
S6=(2·3+5 )\2·6=33 (Sn=(2a1+d(n-1))\2·n)
ответ:33В арифметической прогрессии сумма девяти первых членов равна 36, а сумма первых двадцати пяти членов равна 275. Найдите сумму первых четырнадцати членов данной прогрессии.
Решение: Привет, смотри решение в прикрепленных файлах, ответ не целое число, но он в любом случае правильный, я проверил через 2 суммы, если хочете, проверь сам.
В арифметической прогрессии сумма второго, третьего и шестого члена равна 53, а сумма первого и десятого равна 50. На каком месте в этой прогрессии стоит число 2003.
Решение: получается система$$ a_{1} + a_{10}=50 \\ a_{2}+a_{3}+a_{6}=53 $$
арифметическая прогрессия $$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$
значит
$$ \begin{cases} 2a_{1}+9d=50\\3a_{1}+8d=53 \end{cases} $$
складываем получаем $$ a_{1}-d=3 \\ d= a_{1} -3 $$
подставляем в первое уравнение получаем
$$ 11 a_{1}=77$$ a1=7 значит d=4теперь из 2003 вычитаем а1 получаем 2003-7=1996
1996\d=1996\4=499
значит 2003 500сотый член прогрессии.
Ответ:500
В арифметической прогрессии сумма первых 15 членов равна 20, а сумма первых 20 членов равна 15. Найдите сумму первых 35 членов
Решение: Дано:
S₁₅=20
S₂₀=15
=======
Формула
$$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n $$
Поэтому
$$ S_{15}= \frac{2a_1+14d}{2}\cdot 15 \\ \\ S_{20}= \frac{2a_1+19d}{2}\cdot 20 $$
Решаем систему
$$ \left \{ { \frac{2a_1+14d}{2}\cdot 15=20 \atop { \frac{2a_1+19d}{2}\cdot 20=15}} \right. $$
Упрощая получим
$$ \left \{ {30a_1+210d=40 \atop { 40a_1+380d=30}} \right. $$
или
$$ \left \{ {3a_1+21d=4 \atop { 4a_1+38d=3}} \right. $$
Умножим первое уравнение на 4, второе на (-3)
$$ \left \{ {12a_1+84d=16 \atop { -12a_1-114d=-9}} \right. $$
складываем
-30d=7
d=-7/30
3а₁=4-21·(-7/30)
3а₁=8,9
а₁=89/30
$$ S_{35}= \frac{2a_1+34d}{2}\cdot 35= \frac{178- \frac{238}{30} }{2}\cdot 35 $$
В арифметической прогрессии (аn) сумма пятого и десятого членов равна -9, а сумма четвертого и шестого членов равна -4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии
Решение: Решение таково. Нету решения.А5 + а10 = -9
а4 + а6 = -4
подставим, что известно:
а1 + 4d + a1 + 9d = -9
a1 + 3d + a1 + 5d = -4
или
2а1 +13d = -9
2a1 +8d = -4
Давай вычтем из первого уравнения второе (2а1 сократятся)
5d = -5
d = -1
Найдём а1
2а1 + 8d = - 4
2a1 - 8 = - 4
2a1 = 4
a1 = 2
Теперь надо найти а10
а10 = а1 + 9d = 2 + 9·(-1) = -7
S10 = ( 2 -7)·10/2= - 5·5 = -251) Сумма трех последовательных членов арифметической прогрессии равна 117, Найти первый член если второй член больше первого в 3 раза
Решение:
Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии равна 66, а произведение её второго члена на третий равно 528. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение: S(8)=(a1+a8)*8/2=66(a1+a1+7d)*4=66
2*a1+7d=16,5
S(4)=(a1+a4)*4/2=21
(a1+a1+2d)*2=21
Решим систему уравнений:
2*a1+7d=16,5
2*a1+2d=10,5
применим метод сложения:
5d=6,5
d=1,3
2а1+2*1,3=10,5
а1+1,3=10,5:2
а1+1,3=5,25
а1=3,95
Ответ:3,95
Среди первых десяти членов арифметической прогрессии сумма членов стоящих на нечётных местах равна 45, а сумма членов стоящих на чётных местах равна 60. найти первый член прогрессии
Решение: Данную прогрессию можно разделить на две арифметических прогрессии, где в одной члены четные, а в другой - нечетные.
Так, как d принадлежит общей прогрессии и это единое число, то количество членов в двоих получившихся прогрессиях равно 10/2=5.
Отсюда в каждой сотворенной прогрессии d удваивается.
Дальше во вложении.
Ответ: -3.
сумма первых 8 членов арифметической прогрессии 32, сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 200. Найдите сумму 28 членов арифметической прогрессии
Решение: Арифметическая прогрессия однозначно определяется первым членом и разностью.
Есть формула, выражающая сумму М членов прогрессии через первый член и разность
S(M)=(a1+a1(M-1)d)M/2
Записав эту формулу сначала для 8 членов, а потом для 20, получим два линейных уравнения с переменными a1 и d
Решив их, подставим в формулу для суммы 28 членов. Всё.Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю, а сумма первых четырех членов равна 1.
Решение: Все решается по формуле n-го члена и суммы n-х членов арифметической прогрессии
